Velocità

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In fisica, la velocità è definita come la derivata della posizione nel tempo, ovvero il tasso di cambiamento dello spazio in funzione del tempo. Quando non specificato per velocità si intende la velocità istantanea. La velocità è sempre uno spazio diviso un tempo, quindi nel SI si misura in metri al secondo. La variazione della velocità è l'accelerazione o decelerazione se diminuisce.

Nel linguaggio comune velocità può avere significati più generali, come la rapidità di fare qualcosa nel tempo.

Indice

1 Velocità media e istantanea
2 Velocità scalare
3 Rapidità
4 Grafico spazio-tempo e velocità-tempo
5 Velocità in due dimensioni
6 Caduta nel campo gravitazionale
7 Velocità limite
8 Composizione delle velocità
9 Composizione delle velocità in relatività speciale
10 Ricavare la posizione dalla velocità
11 Voci correlate
12 Altri progetti

[modifica] Velocità media e istantanea

In fisica, la velocità indica la rapidità di moto (modulo), la direzione e il verso di un corpo in movimento. È quindi una grandezza vettoriale che si riduce ad una grandezza scalare in casi particolari come ad esempio nel moto rettilineo uniforme in cui si danno per scontati direzione e verso della velocità e quindi diventa significativo solo il modulo. Tale valore si misura in metri al secondo, in base al Sistema Internazionale.

Generalmente si fa distinzione tra:

velocità media: rapporto tra lo spostamento e la durata dell'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:

$\vec {v} = \frac {\vec {s_2}-\vec {s_1}}{t_2-t_1} = \frac {\Delta \vec {s}}{\Delta t}$

dove $\Delta\vec {s}=\vec {s_2}-\vec{s_1}$ è lo spostamento, $\vec {s_2}$ e $\vec {s_1}$ sono i vettori posizione e $Δ t = t 2 - t 1$ è l'intervallo di tempo impiegato ad effettuare lo spostamento;

velocità istantanea: limite della velocità media per intervalli di tempo molto brevi ovvero derivata della posizione rispetto al tempo:

$\vec {v} = \lim_{t\to t_0}\frac {\vec {s}(t)-\vec {s}(t_0)}{t-t_0}=\frac {\operatorname {d}\vec {s}}{\operatorname {d} t}$ .

Si noti che la velocità media è proprio la media della velocità istantanea in uno tempo finito $Δ t = t 2 - t 1$ :

$<\vec v>=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}\vec s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \frac{\vec s(t_2)-\vec s(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\vec s}{\Delta t}$

avendo usato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

[modifica] Velocità scalare

La velocità scalare media è una grandezza scalare ed è definita come lo spazio totale percorso diviso il tempo impiegato:

$<v_s> = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Si noti come questa definizione sia molto diversa dalla velocità vettoriale media, per esempio nel moto circolare, cioè il moto che avviene lungo una circonferenza, dopo un periodo T, cioè dopo aver fatto un giro, la velocità vettoriale è nulla, perché il punto di arrivo e quello di partenza coincidono ( $\Delta\vec s=0$ ), mentre la velocità scalare media è uguale a $\frac{2\pi R}{T}$ con R il raggio della circonferenza.

Conoscere lo spazio totale non è sempre semplice, nel caso di una traiettoria curva $γ$ la velocità scalare è:

$<v_s> = \frac{1}{\Delta t}\int_\gamma\,\mathrm{d}s = \frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2}||v(t)||\,\mathrm{d}t$

dove l'integrale non è altro che la lunghezza della curva che descrive la traiettoria.

La velocità scalare non è semplicemente la norma della velocità vettoriale media, anzi si può dimostrare che la prima è sempre maggiore o uguale della seconda.

[modifica] Rapidità

Talvolta, per analogia con la lingua inglese, si usa il termine rapidità per indicare la velocità in valore assoluto (ovvero il modulo del vettore velocità). In inglese si indica infatti con speed la rapidità e con velocity la velocità in senso vettoriale.

[modifica] Grafico spazio-tempo e velocità-tempo

Per studiare dal punto di vista geometrico la velocità è comodo ricorrere a due tipi di grafici, quello spazio-tempo e quello velocità tempo:

L'esempio mostra un grafico di uno spostamento unidimensionale e si può notare come i due grafici siano tra di loro correlati.

[modifica] Velocità in due dimensioni

Utilizzando uno spazio bidimensionale la velocità media e quella istantanea si possono scomporre.

$\vec {v} = \frac {\Delta s_x}{\Delta t}\vec {i} + \frac {\Delta s_y}{\Delta t}\vec {j}$

Lo stesso modulo del vettore velocità è scomponibile nei suoi componenti e si può ricavare da questi:

$v = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2}$

ove $v_x = \frac {\Delta s_x}{ \Delta t}$ e $v_y = \frac {\Delta s_y} {\Delta t}$ .

L'angolo formato dal vettore v con l'asse temporale sarà dato da:

$\tan \alpha = \frac {v_x}{v_y}$

mentre ogni componente, usando una tecnica tipica dei vettori, si calcola come:

$v_x = v \cos \alpha \,\!$

$v_y = v \, \mathrm{sen} \, \alpha \,\!$

[modifica] Caduta nel campo gravitazionale

In caso di caduta di un oggetto immerso in un campo gravitazionale, la velocità finale dell'oggetto può essere determinata utilizzando la conservazione dell'energia, ottenendo così una semplice espressione:

$v = \sqrt {2 g h}$

dove h è la differenza di quota tra il punto di caduta e quello in cui l'oggetto si ferma.

In quest'ultimo caso si parla di velocità di fuga.

[modifica] Velocità limite

Il fatto, implicito nelle equazioni di Maxwell per la propagazione delle onde elettromagnetiche e verificato sperimentalmente agli inizi del '900, che la velocità di un fotone (o di un'onda elettromagnetica) nel vuoto è identica per tutti i sistemi di riferimento (e pari a 299792458 m/s) ha portato alla necessità di modificare le equazioni del moto e della dinamica. Una delle conseguenze di queste modifiche (teoria della relatività ristretta o particolare di Albert Einstein) è che la velocità massima raggiungibile al limite da un qualunque oggetto è quella della luce nel vuoto.

[modifica] Composizione delle velocità

Considerando ad esempio una barca che si muove con una velocità v rispetto all'acqua di un canale che a sua volta si muove con una velocità V rispetto alla riva, si prenda un osservatore O solidale con la riva e un osservatore O' solidale con la barca. Abbiamo che

$v = v_{0^'} + V$

Quindi per l'osservatore fisso le velocità della corrente e della barca si compongono sommandosi quando la barca va nel verso della corrente e sottraendosi quando va controcorrente. Va sottolineato che O' con i suoi strumenti misura sempre la velocità v della barca rispetto all'acqua e può anche misurare la velocità con la quale l'acqua scorre davanti O. Questo misura anch'esso la velocità con la quale si muove l'acqua e a differenza di O' misura pure la velocità di O' rispetto alla sponda del canale. Una situazione del tutto analoga si verifica pure quando la barca si muove trasversalmente alla corrente.

Questo tipo di composizione delle velocità introdotta da Galilei, nella teoria della relatività galileiana, era già nota a Leonardo da Vinci che fa l'esempio di un arciere che lancia una freccia dal centro della Terra verso la superficie. L'esempio è ripreso in maniera più formare da Galilei. Qui un osservatore esterno alla Terra vede comporsi il moto rettilineo della freccia lungo un raggio e il moto rotatorio della Terra. Il moto risultante è una spirale di Archimede. La freccia si muove con il moto rettilineo uniforme. Lo spazio percorso risulta allora

$s = v t \,\!$

Le proiezioni di s sui due assi è quindi come visto per il moto circolare

$x = v t \cos (\omega t) \,\!$

$y = v t \, \mathrm{sen} (\omega t)$

[modifica] Composizione delle velocità in relatività speciale

Per approfondire, vedi la voce composizione delle velocità in relatività speciale.

Nella teoria della relatività speciale, passando da un sistema di riferimento $S$ a un sistema di riferimento $S'$ , la velocità di una particella si trasforma nel modo seguente:

$v'_x=\frac{v_x-V}{1-v_xV/c^2},\qquad v'_y=\frac{v_y}{\gamma(1-v_xV/c^2)},\qquad v'_z=\frac{v_z}{\gamma(1-v_xV/c^2)}$

dove $V$ è la velocità (diretta lungo l'asse $x$ ) del sistema $S'$ rispetto al sistema di riferimento $S$ , e $γ = γ(V)$ è il fattore di Lorentz.

[modifica] Ricavare la posizione dalla velocità

Tramite l'integrazione è possibile conoscere la posizione ricavandola dalla velocità.

La definizione scalare di velocità è data da:

$v(t) = \frac {\Delta P(T)}{\Delta t}$

Effettuo una separazione delle variabili portando a primo membro il P(T) e al secondo membro tutto il resto dell'equazione

$Δ P (T) = v (t)Δ t$

A questo punto integro entrambi i membri

$\int \Delta P(T) = \int v(t) \Delta t + C_1$

Se ci poniamo nella condizione che l'accelerazione sia costante (a = const) e che la velocità è la variazione dell'accelerazione nel tempo ( $v = a t + c$ , funzione ricavata dal passaggio inverso di ricavare la velocità conoscendo l'accelerazione) otteniamo che

$\int P(T) = \int (a t + c)dt + C_1 = \frac{1}{2} a t ^ 2 + Ct + C_1$