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Teorema del viriale

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Il teorema del viriale è una proposizione di fisica statistica, utilizzata in molte branche della fisica, dall'astrofisica alla meccanica classica.

La sua formulazione assume spesso forme ed interpretazioni diverse, la seguente versione è fondamentalmente la stessa derivata da Rudolf Clausius nel 1870.

Dato un sistema di masse le cui interazioni reciproche siano di tipo gravitazionale e tali che i loro moti avvengano in una porzione limitata di spazio allora

2\overline{K}+\overline{U}=0,

con K che corrisponde all'energia cinetica del sistema e U che corrisponde all'energia potenziale gravitazionale, e le sovralineature indicano che queste quantità sono state mediate su un lungo intervallo di tempo.

[modifica] Dimostrazione

Per dimostrare il teorema si consideri un sistema di masse mi ognuna indicata da un raggio vettore \mathbf{r}_i riferito ad una certa origine. Sia \mathbf{F}_i la forza agente sulla massa i-esima. Indicando con \mathbf{p}_i la quantità di moto della massa i-esima, allora

\sum_i \mathbf{p}_i\cdot \mathbf{r}_i=\sum_i m_i\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{r}_i=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\sum_i m_i\mathbf{r}^2_i.

L'ultima somma corrisponde a metà della traccia del tensore d'inerzia (corrisponderebbe al momento d'inerzia per un problema bidimensionale) rispetto all'origine del sistema di masse. Chiamiamo I tale somma d'ora in avanti. Derivando questa espressione si ottiene

\frac{1}{2}\frac{d^2I}{dt^2}=\sum_i \dot{\mathbf{p}}_i\cdot \mathbf{r}_i+\sum_i \mathbf{p}_i\cdot \dot{\mathbf{r}}_i=\sum_i \mathbf{F}_i\cdot \mathbf{r}_i + \sum_i m_i\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_i=\sum_i\mathbf{F}_i\cdot \mathbf{r}_i+2K,

Dove si è usata la relazione classica \mathbf{\dot{p}}_i=\mathbf{F}_i. Indicata con \mathbf{F}_{ij} la forza esercitata dalla massa j-esima sulla massa i-esima e tenuto conto della natura gravitazionale delle forze

\sum_i\mathbf{F}_i\cdot\mathbf{r}_i=\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\sum_{j\neq i} \mathbf{F}_{ij}=\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\sum_{j\neq i} Gm_im_j\frac{\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i}{r^3_{ij}}=\sum_{j>i}\frac{Gm_im_j}{r^3_{ij}} [\mathbf{r}_i\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i)+\mathbf{r}_j\cdot(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)]=
=\sum_{j>i}\frac{Gm_im_j}{r^3_{ij}}(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i)(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)= -\sum_{j>i}\frac{Gm_im_j}{r_{ij}}.

L'ultima espressione è quindi semplicemente U, l'energia potenziale gravitazionale totale del sistema di masse.

Siamo quindi giunti alla seguente\frac{1}{2}\frac{d^2I}{dt^2}=2K+U; il teorema si ottiene quindi mediando entrambi i membri. Vista l'ipotesi di limitatezza dei moti, la media del primo membro è nulla, infatti il valor medio di una qualunque funzione del tempo f(t) è definito come

\bar f = \lim \limits_{T \to  + \infty } {1 \over T}\int_0^T {f\left( t \right)} dt

Se f(t) è una derivata rispetto al tempo f\left( t \right) = {{dF\left( t \right)} \over {dt}} di una funzione limitata F(t) risulta

\bar f = \lim \limits_{T \to  + \infty } {1 \over T}\int_0^T {{{dF\left( t \right)} \over {dt}}} dt = \lim \limits_{T \to  + \infty } {{F\left( T \right) - F\left( 0 \right)} \over T} = 0

[modifica] Generalizzazioni

Il teorema del viriale ammette una generalizzazione a sistemi dominati da forze che non siano necessariamente l'interazione gravitazionale. Se l'energia potenziale del sistema è una funzione omogenea di grado n delle coordinate, ovvero U(\alpha x_{1},\ldots, \alpha x_{N})= {\alpha}^{n}U(x_{1},\ldots, x_{N}), ed il moto avviene in una regione limitata dello spazio, allora il teorema assume la forma 2\overline{K}-n\overline{U}=0

[modifica] Dimostrazione

Poiché l'energia cinetica K è una funzione quadratica delle velocità, si ha, per il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee

\sum\limits_i {\frac{{\partial K}} {{\partial \mathbf{v}_i }}}\cdot \mathbf{v}_i  = 2K

se ora introduciamo gli impulsi \frac{{\partial K}} {{\partial \mathbf{v}_i }} = \mathbf{p}_i e le rispettive derivate rispetto al tempo conformemente alle equazioni di Newton \mathbf{\dot p}_i  =  - \frac{{\partial U}} {{\partial \mathbf{r}_i }}si ottiene

2K = \sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot } \mathbf{v}_i  = \frac{d} {{dt}}\left( {\sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot \mathbf{r}_i } } \right) - \sum\limits_i {\mathbf{r}_i }  \cdot \mathbf{\dot p}_i  = \frac{d} {{dt}}\left( {\sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot \mathbf{r}_i } } \right) + \sum\limits_i {\mathbf{r}_i }  \cdot \frac{{\partial U}} {{\partial \mathbf{r}_i }}

in virtù del Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee risulta

nU = \sum\limits_i {\mathbf{r}_i }  \cdot \frac{{\partial U}} {{\partial \mathbf{r}_i }}

mentre per l'ipotesi di limitatezza dei moti il valor medio rispetto al tempo del termine \frac{d}{{dt}}\left( {\sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot \mathbf{r}_i } } \right) è nullo.

Da ciò segue l'asserto

2\overline{K} = n\overline{U}

che nel caso gravitazionale, in cui n = − 1, si riduce all'enunciato particolare.


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