Całka niewłaściwa

Z Wikipedii

Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe π/2

Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

Spis treści

1 Ustalenia wstępne
2 Kryteria zbieżności całek niewłaściwych
3 Przykłady
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Ustalenia wstępne

[edytuj] Całki na przedziale nieskończonym

Załóżmy, że dla każdego $A > a$ funkcja $f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ jest całkowalna w przedziale $[a, A]$ . Granicę

$\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{A\to \infty} \int\limits_a^A f(x)dx$

nazywamy całką niewłaściwą funkcji $f$ w granicach od $a$ do $\infty$ . Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówimy że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówimy, że jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę niewłaściwą w granicach od $-\infty$ do $a$ i od $-\infty$ do $\infty$ .

[edytuj] Całki z funkcji nieograniczonej

Załóżmy, że funkcja $f\colon [a,b)\to \mathbb{R}$ jest nieograniczona oraz jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale $[a, b - η]$ , gdzie $0 < η < b - a$ lecz jest nieograniczona w każdym przedziale $[b - η, b]$ na lewo od punktu $b$ , który nazywamy punktem osobliwym funkcji $f$ . Granicę

$\int\limits_a^bf(x)dx=\lim_{\eta\to 0}\int\limits_a^{b-\eta}f(x)dx$

nazywamy całką niewłaściwą funkcji $f$ w przedziale $[a, b]$ . Gdy granica ta jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna, w przeciwnym przypadku, tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówimy że jest rozbieżna. Analogicznie, określamy przypadek gdy punkt $a$ jest punktem osobliwym.

[edytuj] Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki

Jeśli funkcja $f$ określona jest na pewnym przedziale $(a, b)$ poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych, to całka (niewłaściwa)

$I=\int\limits_a^bf(x)dx$

jest zbieżna bezwględnie wtedy i tylko wtedy, gdy całka

$\int\limits_a^b|f(x)|dx$

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka $I$ , ale nie istnieje całka z modułu, całkę $I$ nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

$\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

$\int\limits_0^\infty\frac{|\sin x|}{x}dx$ .

[edytuj] Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

[edytuj] Badanie zbieżności szeregu

Całka niewłaściwa

$\int\limits_a^bf(x)dx$

istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ , gdzie $a=x_0<x_1<\ldots<x_n<\ldots< b$ oraz $x_n\to b$ , jest zbieżny szereg

$\sum_{n=1}^\infty\, \int\limits_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)dx$ .

[edytuj] Kryterium porównawcze

Jeżeli funkcje $f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ są nieujemne oraz przynajmniej dla $x\geqslant A\geqslant a$ zachodzi nierówność

$f(x)\leqslant g(x)$ ,

to całka $\int\limits_a^\infty f(x)dx$ jest zbieżna wtedy, gdy zbieżna jest całka $\int\limits_a^\infty g(x)dx$ .

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je sposób następujący:

Jeżeli istnieje granica

$\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K$ ,

to ze zbieżności całki $\int\limits_a^\infty g(x)dx$ dla $K<\infty$ wynika zbieżność całki $\int\limits_a^\infty f(x)dx$ , a z rozbieżności pierwszej całki dla $K > 0$ wynika rozbieżność drugiej. Tak więc dla $0<K<\infty$ obie całki są albo jednocześnie zbieżne albo jednocześnie rozbieżne.

[edytuj] Kryterium Abela

Załóżmy, że funkcje $f,g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ są takie, że

$\int\limits_a^\infty f(x)dx$ jest zbieżna
funkcja $g (x)$ jest monotoniczna i ograniczona,

Wówczas całka

$\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

[edytuj] Kryterium Dirichleta

Załóżmy, że funkcja $f\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ jest całkowalna w każdym przedziale $[a, A]$ oraz dla pewnej liczby nieujemnej $K$ :

$\left|\int\limits_a^A f(x)dx\right|\leqslant K$
funkcja $g\colon [a,\infty)\to \mathbb{R}$ jest zbieżna monotnicznie do $0$ , przy $x\to\infty$ .

Wówczas całka

$\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

[edytuj] Przykłady

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

$\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx$

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

$\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^{t} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^t=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}-\left(-\frac{1}{1}\right)\right)=1$

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

$\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

$\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{x}\right)\bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\left(2\sqrt{1}-2\sqrt{t}\right)=2$

i taka jest wartość szukanej całki.

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}~e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx = \sqrt{2\pi}\sigma$ – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella-Boltzmanna
$\int\limits_0^{+\infty}~x^\alpha e^{-x} dx = \Gamma(\alpha + 1)$ – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna
$\int\limits_0^{+\infty}~\frac{x^\alpha dx}{e^x - 1} = \Gamma(\alpha + 1) \zeta(\alpha + 1)$ – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina

$\int\limits_0^{+\infty}~\frac{x^\alpha dx}{e^x + 1} = \Gamma(\alpha + 1) \eta(\alpha + 1)$ – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca,

gdzie:

α

— dowolna liczba rzeczywista większa od

0

Γ(z)

— funkcja gamma Eulera,

ζ(z)

— funkcja zeta Riemanna,

η(z)

— funkcja eta Dirichleta.

[edytuj] Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Kategoria: Całki

Całka niewłaściwa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Ustalenia wstępne

[edytuj] Całki na przedziale nieskończonym

[edytuj] Całki z funkcji nieograniczonej

[edytuj] Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki

[edytuj] Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

[edytuj] Badanie zbieżności szeregu

[edytuj] Kryterium porównawcze

[edytuj] Kryterium Abela

[edytuj] Kryterium Dirichleta

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach