Diagonalizacja

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
macierz dodatnio określona

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Diagonalizacja to rozkład macierzy polegający na rozbiciu macierzy kwadratowej $A \in M_k(K)$ na iloczyn macierzy $P, \Delta, P^{-1} \in M_k(K)$ :

$A=P \Delta P^{-1},\!$

gdzie

$\Delta\!$ jest macierzą diagonalną,
$P, P^{-1}\!$ są nazywane macierzami przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierz diagonalnej $Δ$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy $A$ , z kolei kolumny macierzy $P$ stanowią kolejne wektory własne macierzy $A$ .

Macierze kwadratowe, które można przestawić w postaci diagonalnej nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

[edytuj] Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

$A^n = (P \Delta P^{-1})^n = \overbrace{ P \Delta P^{-1} P \Delta P^{-1} \dots P \Delta P^{-1} }^{n}$

$= P \Delta^n P^{-1} = P \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n) P^{-1}$ ,

gdzie:

$P^{-1} P = I_k\!$ , gdzie $I_k\!$ jest macierzą jednostkową wymiaru k,
$\lambda_1, \dots, \lambda_k$ są wartościami własnymi macierzy $A$ ,
$\Delta^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n)$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

[edytuj] Własności

Macierze symetryczne i hermitowskie są zawsze diagonalizowalne.

Dla pewnej macierzy A mamy rozkład diagonalny

$A=P \Delta P^{-1}.\!$

Wtedy:

Macierze A i $Δ$ są podobne.
Iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy A jest równy jej wyznacznikowi.
Jeśli A jest macierzą symetryczną to P jest macierzą ortogonalną.
Jeśli A jest macierzą hermitowską to P jest macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste.
Jeśli A jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

[edytuj] Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że $(V,ξ)$ jest przestrzenią ortogonalną oraz $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ jest bazą $V\;$ taką, że dla każdego $1\leq k\leq n-1$ zachodzi $g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\neq 0$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła $(\beta_1, \ldots, \beta_n)$ przestrzeni $V\;$ , w której $\xi\;$ ma macierz:

$\left[\begin{array}{c c c c c c} \Delta_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{\Delta_2}{\Delta_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\Delta_3}{\Delta_2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n-2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} \\\end{array}\right]$ , gdzie $\Delta_k=g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ dla $k\in\{1,\ldots, n\}$