Grupa Galileusza

Z Wikipedii

$x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu $R^i_j$ , prędkość $v i$ , translację w przestrzeni $x^i_0$ i czasie $t 0$ .

Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

$x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j ,$ $\sum_{i}^3 (x^i)^2 = \sum_{i}^3 ({x'}^i)^2$

Daje to warunek

R T R = I

gdzie macierz transponowana $(R^T)^i_j=R^j_i$ . Ponieważ macierz odwrotna spełnia $R - 1 R = I$ , to dla grupy obrotów $R - 1 = R T$ . W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R - 1 R = I$ i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierza ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $d e t (R) = 1$ definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciagły przez trzy parametry (wektor $α i = ω i ψ$ , oś obrotu $ω i$ i kat obrotu ψ ).

$R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}$

Trzy macierze $T a$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Gropa obrotów SO(3) jest ciagłą grupą Liego

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza

$x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

Parametryzowana jest przez 7 parametrów: vektor v translację w przestrzeni i w czasie $T 0$ .

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji

$x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.

Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciagłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji własciwej generowanej przez v.

Zobacz też: Grupa Poincaré, Grupa Lorentza