Klasa (matematyka)
Z Wikipedii
Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.
Wiele obiektów w matematyce jest "za dużych" aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
Przykłady klas:
- Klasa wszystkich zbiorów: mówienie o zbiorze wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą.
- Klasa wszystkich liczb porządkowych: mówienie o zbiorze wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Burali-Forti), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą.
- Klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych - jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych.
- Klasy obiektów dużych kategorii, np. Top - kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych.
- Uniwersum konstruowalne.
[edytuj] Klasy jako formuły
Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane np w monografii Thomasa Jecha[1]. W książce tej, dla formuły o zmiennych wolnych zawartych wśród oraz parametrów , wprowadza się klasę definiowaną przez z parametrów jako . Tak więc dla klasy zdefiniowanej przez z parametrów mamy
- wtedy i tylko wtedy gdy .
Klasy zdefiniowane przez , (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy, czyli gdy
Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.
[edytuj] Teoria klas Kelleya-Morse'a
John L. Kelley[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse'a[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Kelleya-Morse'a. Jest to teoria w języku ; obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc "x jest zbiorem" jest formułą ). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.
W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów określanych jako aksjomaty teorii klas Kelleya-Morse'a. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być róźne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (należy zwrócić uwagę że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):
- Aksjomat extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
- Dla każdej formuły języka wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę:
-
- .
- Akjomat pary (dla każdych zbiorów x,y istnieje zbiór {x,y} którego jedynymi elementami są x i y).
- Klasa C jest klasą właściwą wtedy i tylko wtedy gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
- Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru A jest zbiorem.
- Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
- Aksjomat nieskończoności:
- Aksjomat regularności:
-
- .
Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.
Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości[4] na zbliżonej aksjomatyce.
[edytuj] Teoria klas NBG
Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia
jest określona tylko wtedy gdy x jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka róźnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być róźne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (należy zwrócić uwagę że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):
- Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
- Dla każdej formuły w której nie ma kwantyfikowania po klasach wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę.
- Akjomat pary (dla każdych zbiorów x,y istnieje zbiór {x,y} którego jedynymi elementami są x i y).
- Dla każdej klasy C,
-
- istnieje zbiór c taki że wtedy i tylko wtedy gdy
- nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
- Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru x, istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów x.
- Aksjomat sumy: dla każdego zbioru x istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów elementów zbioru x.
- Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór w taki że
- Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element x rozłączny z tą klasą.
Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy gdy są one dowodliwe w NBG).
Przypisy
- ↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2
- ↑ Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6
- ↑ Morse, Anthony: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.
- ↑ Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.