Pochodna kierunkowa
Z Wikipedii
Pochodna kierunkowa - w analizie matematycznej pojęcie charakteryzujące przyrost wartości funkcji, określonej w otwartym podzbiorze przestrzeni Banacha w kierunku ustalonego wektora tej przestrzeni.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Banacha X, Y będzie przestrzenią Banacha, 
. Mówimy, że f ma w 
pochodną w kierunku 
, jeżeli istnieje granica
Granicę tę, jeśli istnieje, oznaczamy 
i nazywamy pochodną kierunkową. Oczywiście 
.
[edytuj] Własności
- Jeżeli jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w , to istnieje pochodna w każdym kierunku i
. - Niech
oraz U będzie otwartym podzbiorem 
. 
. Macierz pochodnej F składa się z pochodnych cząstkowych (będących pochodnymi w kierunku bazy przestrzeni . Innymi słowy, jeśli 
jest bazą przestrzeni , to
![F^\prime(x)=\left[\nabla_{e_j}f_i(x)\right]_{\begin{smallmatrix}i\in\{1,\ldots, m\}\\j\in\{1,\ldots, n\}\end{smallmatrix}}=\left[\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\right]_{\begin{smallmatrix}i\in\{1,\ldots, m\}\\j\in\{1,\ldots, n\}\end{smallmatrix}}](../../../../math/c/b/a/cbad46364278ae261ac10b4cf77cdcdd.png)
- Pod powyższymi założeniami, pochodna kierunkowa funkcji F w punkcie w kierunku
jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji F i wektora h.
[edytuj] Przykład
Niech f(x,y) = x2 + xy − y2 i ![h = \left[\frac 1{\sqrt 2},\frac 1{\sqrt 2}\right]](../../../../math/0/7/4/074b2e4edc853d031f49cb0a381be572.png)
.
[edytuj] Bibliografia
- Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
