Podział zbioru
Z Wikipedii
Podział (rozbicie, partycja) zbioru – podzielenie zbioru na niepuste i rozłączne podzbiory, które w sumie dają cały zbiór.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Niech H będzie dowolnym zbiorem. Podziałem zbioru H nazywamy rodzinę niepustych, parami rozłącznych podzbiorów zbioru H takich, że ich suma jest równa zbiorowi H. Tak więc rodzina indeksowana jest partycją zbioru H jeśli są spełnione następujące warunki:
- ,
- .
O rodzinie mówi się, że jest podziałem na | I | podzbiorów.
[edytuj] Liczba podziałów
Dla skończonego n-elementowego zbioru istnieje Bn możliwych podziałów, gdzie Bn jest liczbą Bella. Dla nieskończonego zbioru przeliczalnego istnieje jego różnych podziałów. (Przypomnijmy, że , zwane też continuum, jest mocą zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.)
[edytuj] Przykłady
- Rodzina jest podziałem zbioru {1,2}.
- Wszystkimi podziałami zbioru {a,b,c} są:
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Każdy podział zbioru wyznacza pewną relację równoważności, której klasami abstrakcji są elementy (zbiory) tego podziału. Podobnie każda relacja równoważności wprowadza pewien podział zbioru.