Przekształcenie liniowe

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Uwaga
- 1.2 Oznaczenia
2 Przestrzenie przekształceń
3 Rodzaje
4 Przykłady
5 Zobacz też

Zasugerowano, aby artykuł obraz (algebra liniowa) zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Ten artykuł dotyczy funkcji rozpatrywanej w algebrze liniowej oraz w analizie funkcjonalnej. Zobacz też: funkcja liniowa.

Przekształcenie (odwzorowanie) liniowe – funkcja addytywna i jednorodna (pierwszego stopnia) określona między przestrzeniami liniowymi.

[edytuj] Definicja formalna

Niech $U\,$ i $V\,$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K\,$ . Przekształcenie $A\colon U \to V\,$ nazywamy liniowym, gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni $U\,$ w przestrzeń $V\,$ , czyli:

$\forall_{x,y\in U}\; A(x+y) = A(x)+A(y)\,$ (addytywność),
$\forall_{c\in K}\; \forall_{x\in U}\; A(cx)=cA(x)\,$ (jednorodność).

[edytuj] Uwaga

Warunkom 1. i 2. równoważny jest warunek:

$\forall_{x,y \in U}\; \forall_{c_1, c_2 \in K}\; A(c_1 x + c_2 y) = c_1 A(x) + c_2 A(y)\,$ .

[edytuj] Oznaczenia

Przekształcenia liniowe oznacza się z reguły dużymi literami, zaś ich argumenty (o ile nie wprowadza to niejasności) zapisuje się bez nawiasów:

$Ax \equiv A(x)\,$ .

Zbiór wszystkich przekszatałceń liniowych przestrzeni liniowych $U\,$ i $V\,$ oznaczamy symbolem $\operatorname{Hom}(U,V)\,$ . Czasem stosuje się także oznaczenie $\mathcal{L}(U,V)\,$ , jednak istnieją pewne rozbieżności co do interpretacji tego symbolu: w analizie funkcjonalnej, przez $\mathcal{L}(U,V)\,$ rozumie się zbiór wszystkich liniowych i ciągłych przekształceń przestrzeni $U,V\,$ . Jeśli $U,V\,$ są przestrzeniami skończenie wymiarowymi, to wszystkie przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe.

[edytuj] Przestrzenie przekształceń

Zbiór $\operatorname{Hom}(U,V)\,$ z określonymi, jak niżej, działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalary, tworzy przestrzeń liniową.

$(A+B)x = Ax + Bx\,$
$(cA)x = c \cdot Ax\,$

dla wszystkich $A, B \in \operatorname{Hom}(U,V),\; c \in K,\; x \in U\,$ .

$\dim \mbox{Hom}(U,V) = \dim U \cdot \dim V\,$ .

W szczególności, jeśli $\dim U = m,\; \dim V = n\,$ , to przestrzeń $\operatorname{Hom}(U,V) \cong K^n_m\,$ przekształceń liniowych przestrzeni skończenie wymiarowych jest izomorficzna z przestrzenią macierzy o odpowiednim wymiarze. Konsekwencją tego faktu jest, iż przekształcenie liniowe $A\,$ między skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi reprezentowane jest przez macierz $A\in K^n_m\,$ . Macierz tę nazywamy macierzą przekształcenia liniowego odpowiadającego $A\,$ . Jej postać zależy od wyboru baz przestrzeni $U\,$ i $V\,$ . Działanie przekształcenia liniowego na wektor można przedstawić jako mnożenie macierzy tego przekształcenia przez kolumnę (stojącą po prawej stronie) utworzoną ze współrzędnych tego wektora w danej bazie.

Niezmiennikami przekształceń liniowych ze względu na zmianę baz są: nieosobliwość i rząd macierzy.

[edytuj] Rodzaje

Różnowartościowe przekształcenie liniowe nazywa się często nieosobliwym. W szczególnym przypadku, gdy $A\in \operatorname{Hom}(U,V)$ reprezentowane jest przez macierz, to przekształcenie jest nieosobliwe wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A \ne 0$ (niezależnie od wyboru baz przestrzeni).
Gdy $U\,$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K\,$ , to przekształcenie liniowe $F\colon U \to K$ nazywamy funkcjonałem liniowym.
Przekształcenie liniowe $L\colon U \to U$ nazywa się zwyczajowo operatorem (liniowym) lub endomorfizmem (liniowym), jeśli przekształcenie jest wzajemnie jednoznaczne, to nosi on nazwę automorfizmu (liniowego). Słowo "operator" używa się i bardziej szeroko - jako synonim słowa "przekształcenie". Operatory liniowe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych są przedmiotem badań analizy funkcjonalnej. Przykładem takiego operatora jest pochodna funkcji.
Załóżmy, że przestrzenie liniowa $V,\ U$ są przestrzeniami unormowanymi. Operator $F\colon V\ni v\mapsto Fx\in U$ nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka stała $M>0\,$ , że

dla dowolnego wektora $v\in V\,$ zachodzi nierówność:

$\|Fv\|_U\leq M\|v\|_V$

Operator liniowy jest ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłym.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $U\,$ jest przestrzenią liniową, to przekształcenie $\operatorname{id}\colon U \to U\,$ , dane wzorem $\operatorname{id}(x) = x\,$ jest liniowe. Por. funkcja tożsamościowa.
Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax,\; a \in \mathbb R\,$ . Zob. homotetia.
Niech $C([a,b])\,$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale $[a,b]\,$ . Odwzorowanie $I\colon C([a,b]) \to \mathbb R\,$ , dane wzorem