Rozkład normalny

Z Wikipedii

Rozkład normalny
Gęstość prawdopodobieństwa Zielona linia odpowiada standardowemu rozkładowi normalnemu.
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$μ$ położenie (liczba rzeczywista) $σ 2 > 0$ podniesiona do kwadratu skala (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in\mathbb{R}\!$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
Dystrybuanta	$\frac12 \left(1+\mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\mu\;$
Mediana	$\mu\;$
Moda	$\mu\;$
Wariancja	$\sigma^2\;$
Skośność	$0\;$
Kurtoza	$0\;$
Entropia	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Funkcja generująca momenty	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Funkcja charakterystyczna	$\chi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Odkrywca	Carl Friedrich Gauss (1889)

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa, lub krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.

Przyczyną jest jego popularność w naturze. Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego^[1], stąd można go bardzo często zaobserwować w danych^[2]. Ponadto rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są dość proste obliczeniowo^[3].

[edytuj] Definicja rozkładu normalnego

Istnieje wiele równoważnych sposobów zdefiniowania rozkładu normalnego. Należą do nich: funkcja gęstości, dystrybuanta, momenty, kumulanty, funkcja charakterystyczna, funkcja tworząca momenty i funkcja tworząca kumulanty. Wszystkie kumulanty rozkładu normalnego wynoszą 0 oprócz pierwszych dwóch.

[edytuj] Funkcja gęstości

Funkcja gęstości dla rozkładu normalnego ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ (równoważnie: wariancją σ²) jest przykładem funkcji Gaussa.

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} } e^{ \frac {-(x-\mu )^2} {2\sigma^2} }$

(Zobacz też: funkcja potęgowa i pi). Jeśli zmienna losowa X ma ten rozkład, piszemy X ~ N(μ, σ²). Jeśli μ = 0 i σ = 1, rozkład nazywamy standardowym rozkładem normalnym, którego funkcja gęstości opisana jest wzorem:

$f(x) = {1 \over \sqrt{2\pi} }\,e^{-{x^2 \over 2}}$

Obrazek u góry artykułu przedstawia wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego dla μ = 0 (w jednym przypadku μ=-2) i kilku różnych wartości σ. Im większe σ tym bardziej płaski jest wykres.

We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu. Około 68% pola pod wykresem krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech (reguła trzech sigm). Punkt przegięcia krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.

[edytuj] Dystrybuanta

Zobacz też: dystrybuanta.

Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe x i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:

$\ P(X \le x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi} } e^{-(u-\mu)^2 \over (2\sigma^2)}\,du$

Całki powyższej nie da się policzyć dokładnie metodą analityczną. W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się zatem tablice statystyczne (bądź też odpowiednie kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawierają dane dla dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Φ i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach μ = 0 i σ = 1:

$\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^z {1 \over \sqrt{2\pi} }\,e^{-{x^2 \over 2}}\,dx$

Związek dystrybuanty Φ i dystrybuanty rozkładu normalnego X o dowolnie zadanych parametrach μ i σ otrzymuje się za pomocą standaryzowania rozkładu (zob. też poniżej).

$P(X \le x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego może być wyrażona poprzez funkcję specjalną (nieelementarną, przestępną), tzw. funkcję błędu jako:

$\Phi(z) = \frac{1}{2} \left(1+\operatorname{erf}\,\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$

[edytuj] Funkcje tworzące

[edytuj] Funkcja tworząca momenty

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

[edytuj] Funkcja charakterystyczna

Funkcję charakterystyczną definiuje się jako wartość oczekiwaną $e i t X$ .

$\phi_X(t)=E\left[e^{itX}\right]=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}\,e^{itx}\,dx = e^{i\mu t-{\sigma^2 t^2 \over 2}}.$

[edytuj] Własności

Jeśli X ~ N(μ, σ²) i a i b są liczbami rzeczywistymi, to aX + b ~ N(aμ + b, (aσ)²).
Jeśli X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) i X₂ ~ N(μ₂, σ₂²), i X₁ i X₂ są niezależne, to X₁ + X₂ ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).
Jeśli X₁, ..., X_n są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to X₁² + ... + X_n² ma rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody.

[edytuj] Parametry rozkładu

wartość oczekiwana: μ
mediana: μ
wariancja: $σ 2$
odchylenie standardowe: $σ$
skośność: 0
kurtoza: 0 (lub 3, przyjmując dawniej używaną definicję).

[edytuj] Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

Konsekwencją własności 1 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego.

Jeśli X ma rozkład normalny ze średnią μ i wariancją σ², wtedy:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1). Ważną konsekwencją jest postać dystrybuanty:

$P(X \le x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2} \left(1+\mbox{erf}\,\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right)$

Odwrotnie, jeśli Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to:

$X=\sigma Z+\mu \,$

jest zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią μ i wariancją σ².

Standardowy rozkład normalny został stablicowany i inne rozkłady normalne są prostymi transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy używać tablic dystrybuanty rozkładu normalnego do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych parametrach.

[edytuj] Generowanie wartości losowych o rozkładzie normalnym

W symulacjach komputerowych zdarza się, że potrzebujemy wygenerować wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Istnieje kilka metod, najprostszą z nich jest odwrócenie dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Są jednak metody bardziej wydajne, jedną z nich jest transformacja Boxa-Mullera, w której dwie zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym (prostym do wygenerowania — patrz generator liczb losowych) są transformowane na zmienne o rozkładzie normalnym.

Transformacja Boxa-Mullera jest konsekwencją własności 3 i faktu, że rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody jest rozkładem wykładniczym (łatwym do wygenerowania).

[edytuj] Centralne twierdzenie graniczne

Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane centralne twierdzenie graniczne.

W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.

Rozkład dwumianowy z parametrami n i p jest w przybliżeniu normalny dla dużych n i p nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą μ = np i odchylenie standardowe σ = (n p (1 - p))^1/2.

Rozkład Poissona z parametrem λ jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości λ. Przybliżony rozkład normalny ma średnią μ = λ i odchylenie standardowe σ = √λ.

Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

[edytuj] Nieskończona podzielność

Rozkład normalny należy do rozkładów mających własność nieskończonej podzielności.

[edytuj] Występowanie

Rozkład normalny (lub wielowymiarowy rozkład normalny) jest częstym założeniem w praktyce, jednak w świecie rzeczywistym nigdy nie występuje. Rozkład normalny ma bowiem niezerową gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnej wartości zmiennej losowej, podczas gdy w realnym świecie zmienne są zawsze ograniczone, a często nieujemne.

Mimo to, rozkład jest często bardzo zbliżony do normalnego, stąd zwykle zakłada się, że zmienna ma rozkład normalny. Nie należy jednak robić tego bez sprawdzenia jak wielkie są rozbieżności. Rozkłady dalekie od normalnego (np. z elementami odstającymi) mogą sprawić, że wyniki metod statystycznych będą mylnie interpretowane.

Przykładem są tu metody regresji liniowej oraz korelacji Pearsona, które choć zdefiniowane dla dowolnych rozkładów, mają sensowną interpretację tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego wektora próbki. Jeśli w próbce występują elementy odstające (co jest szczególnym przypadkiem rozkładu dalekiego od normalnego), korelacja może przyjąć dowolną wartość między -1 a +1, bez względu na rzeczywistą zależność między zmiennymi losowymi. Także regresja będzie dawała błędne rezultaty.

[edytuj] Inteligencja

Inteligencja mierzona testami inteligencji uważana jest za zmienną o rozkładzie normalnym. Oczywiście w praktyce testy dają wyniki skwantowane, a nie ciągłe, w dodatku ich wyniki są ograniczone do pewnego przedziału. Przybliżenie jest jednak wystarczające.

[edytuj] Wzrost

Podobnie wzrost człowieka może być uznany w przybliżeniu za zmienną o rozkładzie normalnym. Musimy wtedy oczywiście założyć że wartość oczekiwana rozkładu wynosi np. 170cm, aby przypadek "ludzi o ujemnym wzroście" miał znikomo małe prawdopodobieństwo.

[edytuj] Natężenie źródła światła

Natężenie światła z pojedynczego źródła zmienia się w czasie i zazwyczaj zakłada się, że ma rozkład normalny. Jednak zgodnie z mechaniką kwantową światło jest strumieniem fotonów. Zwykłe źródło światła, świecące dzięki termicznej emisji, powinno świecić w krótkich przedziałach czasu zgodnie z rozkładem Poissona lub rozkładem Plancka (statystyką Bosego-Einsteina). W dłuższym przedziale czasowym (dłuższym niż czas koherencji) dodawanie się do siebie niezależnych zmiennych prowadzi w przybliżeniu do rozkładu normalnego.

[edytuj] Błędy pomiaru

Wielokrotne powtarzanie tego samego pomiaru daje wyniki rozrzucone wokół określonej wartości. Jeśli wyeliminujemy wszystkie większe przyczyny błędów, zakłada się, że pozostałe mniejsze błędy muszą być rezultatem dodawania się do siebie dużej liczby niezależnych czynników, co daje w efekcie rozkład normalny. Odchylenia od rozkładu normalnego rozumiane są jako wskazówka, że zostały pominięte błędy systematyczne. To stwierdzenie jest centralnym założeniem teorii błędów.

Przypisy

↑ centralne twierdzenie graniczne
↑ Ściślej: można zaobserwować rozkłady bardzo zbliżone do rozkładu normalnego. Rozkład normalny zakłada niezerowe prawdopodobieństwo dla każdej możliwej liczby rzeczywistej. Jednak w rzeczywistości wszelkie zmienne są ograniczone, np. nie ma ludzi o ujemnym wzroście, ani o wzroście kilometra. Rozkłady spotykane w praktyce są jednak tak bardzo zbliżone do rozkładu normalnego, że różnica ta nie ma znaczenia.
↑ Te właściwości to np.: Suma i różnica dwóch zmiennych o rozkładach normalnych ma rozkład normalny. Logarytm z gęstości rozkładu normalnego to funkcja kwadratowa, dzięki czemu metoda najmniejszych kwadratów stosowana w regresji liniowej dla rozkładu normalnego błędów jest metodą największej wiarygodności.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu normalnego

[edytuj] Linki zewnętrzne

John Aldrich. Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics.

Kategorie: Zalążki sekcji artykułów • Rozkłady prawdopodobieństwa