Tensor metryczny

Z Wikipedii

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna.

Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

$A \cdot B = g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = A^{\mu}B_{\mu}$

gdzie:

$g μν$ - tensor metryczny

$A μ$ - wektor o współrzędnych kontrawariantnych

$B μ$ - wektor o współrzędnych kowariantnych

[edytuj] Definicja tensora metrycznego

Niech będą dane dwa układy współrzędnych (bazy przestrzeni) w przestrzeni n-wymiarowej:

kartezjański $\{ x^{i} \} ^{n}_{i=1}$
krzywoliniowy $\{ q^{i} \} ^{n}_{i=1}$

Zdefiniujmy skalar długości jako:

$ds^{2} = (dx^{1})^{2} + \cdots + (dx^{n})^{2}$

Jest to wielkość niezależna od układu współrzędnych, w układzie $\{ q^{i} \} ^{n}_{i=1}$ wyraża się jako:

$ds^{2} = (dq^{1})^{2} + \cdots + (dq^{n})^{2}$

Korzystając z reguły przejścia z jednego układu do drugiego:

$dx^{i} = \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j}$

Otrzymujemy następujący wzór na skalar długości:

$ds^{2} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}$

Wyraz stojący po lewej stronie iloczynu różniczek jest właśnie tensorem metrycznym:

$g_{jk} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} }$

[edytuj] Własności tensora metrycznego

[edytuj] Symetryczność

$g i j = g j i$ Ze względu na definicję tensor metryczny jest zawsze symetryczny.

[edytuj] Symetria góra-dół

$g_{ij}^{-1} = g^{ji}$ Tensor kowariantno-kowariantny ma macierz odwrotną do tensora kontrawariantno-kontrawariantnego.

[edytuj] Obniżanie/podnoszenie wskaźników

Zobacz więcej w osobnym artykule: podwyższanie i obniżanie indeksów.

Dla dowolnego wektora a zachodzi:

$a i = g i j a j$ oraz $a i = g i j a j$

[edytuj] "Diagonalność" i współczynniki Lamego

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować w tedy można współczynniki Lamego:

$h^{2}_{i} = g_{ii}$ (nie ma sumowania)

[edytuj] Przykłady tensorów metrycznych

[edytuj] Układ kartezjański (n-wymiarowy)

W układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same, stąd otrzymujemy:

$g i j = δ i j = g i j$

gdzie

$δ i j$ - delta Kroneckera

[edytuj] Układ kartezjański 3D

Macierz tensora metrycznego dla trójwymiarowego układu kartezjańskiego ma postać:

$g_{ij} = g^{ji} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Można pokazać, że transformacja obrotu układu współrzędnych nie zmienia tensora metrycznego w układzie kartezjańskim.

[edytuj] Czasoprzestrzeń Minkowskiego (4D)

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni stosuje się specjalny tensor metryczny, dla którego znak współrzędnej czasowej jest przeciwny niż znak współrzędnych przestrzennych. Najczęściej stosowanym tensorem metrycznym jest tensor postaci:

$g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać czterowektory za pomocą indeksów greckich - w celu odróżnienia od ich składowych przestrzennych, które nadal są oznaczane indeksami łacińskimi.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że skalar długości w tej metryce to:

$d s 2 = c 2 d t 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2$