Teoria prawdopodobieństwa

Z Wikipedii

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa pełni istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku była odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Zmienne ciągłe zostały wprowadzone do teorii prawdopodobieństwa znacznie później. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.

Pomimo że wynik pojedynczego rzutu monetą lub kością do gry często z praktycznego punktu widzenia można uważać za nieprzewidywalny, jeżeli eksperyment taki powtórzony zostaje wielokrotnie, mogą pojawić się pewne prawidłowości i wzory statystyczne, które można badać i przewidzieć. Dwa przykłady takich prawidłowości, i kluczowe osiągnięcia rachunku prawdopodobieństwa, to prawo wielkich liczb oraz centralne twierdzenie graniczne.

Spis treści

1 Definicja prawdopodobieństwa
2 Niektóre pojęcia z teorii prawdopodobieństwa
3 Zobacz też
4 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwem nazywamy dowolną funkcję $\, P$ o wartościach rzeczywistych, określoną na σ-ciele zdarzeń $\mathcal{F} \subset 2^{\Omega}$ , spełniającą warunki:

(A1) $\, P(A) \ge 0$ dla każdego $\, A \in \mathcal{F}$ ;

(A2) $\, P(\Omega) = 1$ ;

(A3) Jeśli $\, A_n \in \mathcal{F},\; n\in\mathbb{N}$ oraz $A_i \cap A_j = \emptyset$ dla $\, i \neq j$ , to

$\, P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i} \right) = \sum_{i=1}^{\infty}{P(A_i)}$

Warunki (A1-A3) zostały sformułowane przez Kołmogorowa w roku 1933 jako aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.

Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka

$\, (\Omega,\mathcal{F},P)$

gdzie $\, P$ jest prawdopodobieństwem, określonym na pewnym σ-ciele $\, \mathcal{F}$ podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych $\, \Omega$ . Trójkę tę nazywamy przestrzenią probabilistyczną.