Transformacja Lorentza

Z Wikipedii

Transformacja Lorentza – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego zachowujące odległości w metryce tej przestrzeni. W przeciwieństwie do transformacji Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość, w transformacji Lorentza niezmiennikami są np. interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni) i masa spoczynkowa, podczas gdy odległość i czas mogą mieć różne wartości, zależne od prędkości układu odniesienia. Fundamentalną cechą transformacji Lorentza jest niezależność prędkości światła od prędkości układu.

W fizyce, transformacje Lorentza opisują zależności między współrzędnymi i czasem tego samego zdarzenia w dwóch inercjalnych układach odniesienia wg szczególnej teorii względności. Wg klasycznej mechaniki, zależność między czasem i współrzędnymi opisują transformacje Galileusza.

[edytuj] W ujęciu standardowym

Transformacje Lorentza mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością $v\,$ wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach ( $t = 0$ ) i ( $t' = 0$ ) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:

$x' = \gamma (x - vt)\,$

$y' = y\,$

$z' = z\,$

$t' = \gamma \left(t - \frac{v \cdot x}{c^{2}} \right)$

gdzie

$\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2} }$

lub inaczej

$\beta = {v/c}\,$

$\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - \beta^2} }$

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła $\gamma \to 1$ i $\frac{v}{c}\to 0$ , transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

[edytuj] W ujęciu macierzowym

Rozpatrujemy czterowektory, których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina):

$w^{\alpha'} = \Lambda^{\alpha'}_{\alpha} v^{\alpha}$

gdzie:

$v^{\alpha}\,$ - wektor w oryginalnym układzie współrzędnych

$w^{\alpha'}\,$ - wektor w nowym układzie współrzędnych

$\Lambda^{\alpha'}_{\alpha}$ - przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym (metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi wynosić 1 lub -1.

$\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} \Lambda^{\beta'}_{\beta} g^{\alpha \beta} = g^{\alpha' \beta'}$

$|\det(\Lambda^{\alpha'}_{\alpha})| = 1$

[edytuj] Podgrupy

Jeżeli zażądamy, żeby wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza był równy dokładnie 1, uzyskamy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych.

Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne z wymiarem czasowym są równe 0, z wyjątkiem elementu diagonalnego, który jest równy 1, nazywamy obrotem.

Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne bez wymiaru czasowego są równe 0, z wyjątkiem elementów diagonalnych, które są równe 1, nazywamy pchnięciem. Pchnięcie przekształca układ współrzędnych w układ poruszający się względem oryginalnego ze stałą prędkością.

Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w samego siebie, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.