Twierdzenie o wiriale

Z Wikipedii

Twierdzenie o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale $V = a r n$ , średnie energie spełniają zależność

$2\langle{E_k}\rangle= n\langle{E_p}\rangle$ .

Na przykład dla oscylatora harmonicznego $V = k r 2$ , a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale $\langle E_k\rangle=\langle E_p\rangle$ . Dla planety w polu grawitacyjnym $V = - k / r$ , wobec tego $2\langle E_k\rangle=-\langle E_p\rangle$ .

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często wyliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

[edytuj] Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności. Będziemy korzystać z podstawowych własności komutatorów (przedstawione w osobnym artykule) oraz twierdzenia Ehrenfesta:

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle$

Podstawimy $A = x p$ gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.

Żeby wyliczyć komutator $[x p, H]$ wyliczymy najpierw $[x p, T]$ gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.

$[xp, T] = [x, T]p + x[p, T] = [x, T]p = \frac{1}{2m}[x, p^2]p = \frac{1}{2m} ( [x, p]p + p[x, p]) p = \frac{2 i \hbar}{2m} p^2 = 2i\hbar T$

Następnie wyliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.

$[xp, V(x)] = [x, V(x)]p + x[p, V(x)] = x[p, V(x)] = -i \hbar x \left[\frac{d}{dx}, V(x)\right] = -i \hbar x \left(\frac{dV(x)}{dx} + V(x)\frac{d}{dx} - V(x)\frac{d}{dx}\right) = -i \hbar x \frac{dV(x)}{dx}$

W związku z tym: $[xp, H] = [xp, T] + [xp, V(x)] = i\hbar \left(2T -x \frac{dV(x)}{dx} \right)$

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:

$\frac{d}{dt}\langle xp\rangle = 2\langle T \rangle - \left\langle x \frac{dV(x)}{dx} \right\rangle$

Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

$\frac{d}{dt}\langle xp\rangle = \frac{d}{dt} \langle \psi|xp|\psi \rangle = \langle \dot{\psi}|xp|\psi \rangle + \langle \psi|xp|\dot{\psi}\rangle = \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi|E xp|\psi \rangle + \frac{1}{i\hbar} \langle \psi|xp E|\psi \rangle = 0$