Wzór Taylora
Z Wikipedii
Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.[1]
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie Taylora
Niech Y będzie przestrzenią unormowaną. Załóżmy, że jest (n+1)-razy różniczkowalna na [a,b] w sposób ciągły. Wówczas dla każdego
- ,
gdzie Rn(x,a) spełnia warunek
Rn(x,a) nazywamy resztą (Peano) we wzorze Taylora. Jeśli a = 0, to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina.
Przybliżanie funkcji przy pomocy wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do wybranego punktu a. Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej że są dostatecznie bliskie punktu a. Sensowne wydaje się jednak pytanie o to kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.
[edytuj] Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny
W przypadku gdy resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:
[edytuj] Reszta w postaci całkowej
[edytuj] Reszta w postaci Lagrange'a
Istnieje takie , że
Lub inaczej, istnieje takie , że
- .
Uwaga: W tym przypadku założenie, że nie jest istotne.
[edytuj] Reszta w postaci Cauchy'ego
Istnieje takie , że
- .
[edytuj] Reszta w postaci Schlömilcha-Roche'a
Istnieje takie , że dla pewnego p > 0
Dla p = 1 otrzymujemy postać Cauchy'ego reszty. Dla p = n + 1 otrzymujemy postać Lagrange'a reszty.
[edytuj] Szacowanie reszty
Jeżeli jest (n + 1)-krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie , że
- dla ,
to dla reszty Rn(x,a) we wzorze Taylora dla f mamy oszacowanie
- dla .
Jeżeli natomiast, jest n-krotnie różniczkowalna oraz M1 jest taką liczbą, że
- dla ,
to dla reszty Rn(x,a) we wzorze Taylora dla f mamy oszacowanie
- dla .
[edytuj] Szereg Taylora
Jeśli funkcja , gdzie oraz Y, tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg
- ,
gdzie przyjęto f(0)(x0) = f(x0). Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f. Jeżeli x0 = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji w punkcie , warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego szereg Taylora funkcji f był zbieżny do f(x), jest, aby ciąg reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.
Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla m-tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej f, spełniającej powyższe założenia można znaleźć licząc kilka pierwszych wartości:
przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:
[edytuj] Rozwinięcia niektórych funkcji w szereg Maclaurina
Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone. Domyślnie , chyba że zaznaczono inaczej.
[edytuj] Pierwiastek kwadratowy:
[edytuj] Funkcja wykładnicza i logarytm naturalny:
[edytuj] Szereg geometryczny:
[edytuj] Uogólniony dwumian Newtona:
-
- gdzie
[edytuj] Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne:
-
- gdzie Bn oznaczają liczby Bernoulliego.
-
- gdzie En oznaczają liczby Eulera.
[edytuj] Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczne:
[edytuj] Funkcja W Lamberta:
[edytuj] Uogólnione twierdzenie Taylora
Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane różwnież twierdzeniem Taylora.
Niech szereg potęgowy będzie zbieżny dla | x | < R i niech f(x) oznacza sumę tego szeregu na przedziale ( − R,R). Jeżeli , to funkcję f można rozwinąć w punkcie x = a w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla | x − a | < R − | a | , przy czym
- .
[edytuj] Przykłady obliczania
[edytuj] Przykład 1
Znależć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji,
- ,
będącą wielomianem stopnia 6.
Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa
podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:
[edytuj] Przykład 2
Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji
Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej i cosinusa
Planujemy postać szeregu Maclaurina:
Mnożymy wyrażenie przez cosx
Porządkujemy odpowiednie współczynniki:
Porównując współczynniki dostajemy::
[edytuj] Przykład zastosowania
Obliczyć w przybliżeniu .
- jest znane, podobnie jak wszystkie jego pochodne, tak więc:
Przy czym błąd jest nie większy niż:
[edytuj] Bibliografia
- Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
- Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
- Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa, Poznań: PWN, 2000. ISBN 83-01-02846-7.
Przypisy
- ↑ W szczególności, może być