Geometría analítica

Coordenadas cartesianas.

Geometría analítica, también llamada geometría de coordenadas y se refirió anteriormente a la geometría cartesiana o geometría analítica, es el estudio de la geometría utilizando los principios de álgebra . Que el álgebra de los números reales se puede emplear para producir resultados sobre el continuum lineal de la geometría se basa en la Axioma Cantor-Dedekind. Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones para aviones , líneas, líneas rectas, y plazas , a menudo en dos y algunas veces en tres dimensiones de la medición. Como se enseña en los libros de texto, la geometría analítica se puede explicar más sencillamente: Tiene que ver con la definición de formas geométricas de forma numérica y la extracción de la información numérica de esa representación. La salida numérica, sin embargo, también podría ser un vector o una moldear. Algunos consideran que la introducción de la geometría analítica fue el comienzo de la moderna matemática .

Historia

El matemático griego Menecmo resuelve problemas y demostró teoremas mediante el uso de un método que tenía un gran parecido con el uso de coordenadas y que a veces se ha mantenido que él tenía la geometría analítica. Apolonio de Perga, en En la Sección Determinate ocupado de los problemas de una manera que puede llamarse una geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que se encontraban en una relación a los otros. Apolonio de las cónicas desarrollado además un método que es tan similar a la geometría analítica que su trabajo es a veces haber anticipado la obra de Descartes por unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente que nuestro uso moderno de un sistema de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralela a la tangente y cortado entre el eje y la curva son las ordenadas. Él desarrolló aún más las relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a las ecuaciones retóricas de curvas. Sin embargo, a pesar de Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no logró hacerlo, ya que no tomó en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superpone a una curva dada a posteriori en lugar de a priori. Es decir, ecuaciones fueron determinados por las curvas, pero curvas no se determinaron por las ecuaciones. Coordenadas, variables y ecuaciones eran nociones subsidiarios aplicados a una situación geométrica específica.

El siglo XI persa matemático Omar Khayyam vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra, y se estaba moviendo en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica con su solución geométrica de la general, ecuaciones cúbicas, pero el paso decisivo llegó más tarde con Descartes.

La geometría analítica tradicionalmente se ha atribuido a René Descartes quien hizo un progreso significativo con los métodos de la geometría analítica cuando en 1637 en el anexo titulado Geometría del discurso titulado en el Método de Correctamente Realización de la Razón en la búsqueda de la verdad en las ciencias, comúnmente conocido como Discurso del método. Esta obra, escrita en su natal francés lengua, y sus principios filosóficos, sentó las bases para el cálculo de Europa.

Abraham de Moivre también fue pionera en el desarrollo de la geometría analítica. Con la asunción de la Cantor-Dedekind axioma, la geometría euclidiana es, fundamentalmente, que interpretable en el lenguaje de la geometría analítica (es decir, cada teorema de uno es un teorema de la otra), Prueba de Alfred Tarski de la decidibilidad del campo de bienes ordenada podría ser visto como una prueba de que la geometría euclidiana es consistente y decidible.

Temas

Temas importantes de la geometría analítica son

• espacio vectorial
• definición del avión
• distancia problemas
• la producto de punto, para obtener el ángulo de dos vectores
• el producto cruzado , para obtener un vector perpendicular de dos vectores conocidos (y también su volumen espacial)
• intersección problemas

Muchos de estos problemas implican álgebra lineal .

Ejemplo

Aquí un ejemplo de un problema desde el Estados Unidos de América Talento Matemático búsqueda que puede ser resuelto a través de la geometría analítica:

Problema: En un pentágono convexo , Los lados tienen longitudes , , , Y , Aunque no necesariamente en ese orden. Dejar , , Y ser los puntos medios de los lados , , Y , Respectivamente. Dejar ser el punto medio del segmento de Y ser el punto medio del segmento de . La longitud del segmento es un número entero. Encuentra todos los valores posibles para la longitud del lado .

Solución: Sea , , , Y estar situado en , , , Y .

Usando el fórmula del punto medio, los puntos , , , , Y se encuentran en

, , , , Y

Usando la distancia de fórmula,

y

Desde tiene que ser un número entero ,

(Véase la aritmética modular ) para .

Otros usos

Geometría analítica, para geómetras algebraicos, es también el nombre de la teoría de la (real o) variedades complejas y los espacios analíticos más generales definidas a nivel local por la desaparición de funciones analíticas de varias variables complejas (o las veces reales). Está estrechamente vinculada a la geometría algebraica, especialmente a través de la obra de Jean-Pierre Serre en GAGA.