El momento angular

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Antecedentes

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La mecánica clásica
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Temas básicos Cuerpo rígido ( dinámica Ecuaciones de Euler) Motion ( lineal) Leyes de Euler del movimiento Leyes de Newton Ley de Newton gravitación universal Ecuaciones del movimiento Inercial / No inercial marco de referencia Fuerza ficticia Mecánica de planar movimiento de las partículas Desplazamiento (vector) Velocidad relativa Fricción Movimiento armónico simple Oscilador armónico Vibración Damping ( ratio)
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Los científicos Galileo Newton Kepler Horrocks Halley Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Daniel / Johann Bernoulli Cauchy

Este giroscopio permanece en posición vertical mientras gira debido a su momento angular.

En la física , el momento angular de una partícula sobre un origen es una cantidad vectorial igual a la masa de la partícula multiplicada por el producto cruzado del vector de posición de la partícula con su vector de velocidad. El momento angular de un sistema de partículas es la suma de la de las partículas dentro de ella.

El momento angular es un concepto importante tanto en la física y la ingeniería, con numerosas aplicaciones. El momento angular es importante en la física porque es una cantidad conservada: el momento angular de un sistema se mantiene constante a menos que una externa par actúa sobre él. Simetría rotacional del espacio está relacionada con la conservación del momento angular como un ejemplo de El teorema de Noether. La conservación del momento angular explica muchos fenómenos de la naturaleza.

El momento angular en la mecánica clásica

Relación entre la fuerza (F), vectores de par (τ), y de momento (p y L) en un sistema de rotación

Definición

El momento angular de una partícula de un origen determinado se define como:

$\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}$

donde:

$\ Mathbf {L}$ es el momento angular de la partícula,

$\ Mathbf {r}$ es el vector de posición de la partícula en relación con el origen,

$\ Mathbf {p}$ es el momento lineal de la partícula, y

$\ épocas \,$ es el vector producto vectorial .

Como se desprende de la definición, la unidades SI derivadas de momento angular son newton metro segundo (N · m · s o kg · m ² s ^-1). Debido a que el producto cruz, L es una pseudovector perpendicular tanto al vector r radial y el impulso vector P y se le asigna un signo por el regla de la mano derecha.

El momento angular de una colección de partículas

Si un sistema se compone de varias partículas, el impulso angular total sobre un origen puede obtenerse mediante la adición de (o integrando) todos los momentos cinéticos de las partículas constituyentes. El momento angular también se puede calcular multiplicando el cuadrado de desplazamiento r, la masa de la partícula y la velocidad angular .

El momento angular en el centro del encuadre masa

Es muy a menudo conveniente considerar el momento angular de una colección de partículas sobre su centro de masa , ya que esto simplifica considerablemente las matemáticas. El momento angular de una colección de partículas es la suma del momento angular de cada partícula:

$\ Mathbf {L} = \ sum_i \ mathbf {R} _i \ veces m_i \ mathbf {V} _i$

donde $R_i$ es la distancia de la partícula i del punto de referencia, $m_i$ es su masa, y $V_i$ es su velocidad. El centro de masa se define por:

$\ Mathbf {R} = \ frac {1} {H} \ sum_i m_i \ mathbf {R} _i$

donde la masa total de todas las partículas viene dada por

$M = \ sum_i m_i \,$

Se deduce que la velocidad del centro de masa es

$\ Mathbf {V} = \ frac {1} {H} \ sum_i m_i \ mathbf {V} _i \,$

Si definimos $\ Mathbf {r} _i$ como el desplazamiento de partículas i desde el centro de la masa, y $\ Mathbf {v} _i$ como la velocidad de la partícula i con respecto al centro de masa, entonces tenemos

$\ Mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _i \,$ y $\ Mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ mathbf {v} _i \,$

y también

$\ Sum_i m_i \ mathbf {r} _i = 0 \,$ y $\ Sum_i m_i \ mathbf {v} _i = 0 \,$

por lo que el momento angular total es

$\ mathbf {L} = \ sum_i (\ mathbf {R} + \ mathbf {r} _I) \ m_i veces (\ mathbf {V} + \ mathbf {v} _i) = \ left (\ mathbf {R} \ épocas M \ mathbf {V} \ right) + \ left (\ sum_i \ mathbf {r} _i \ veces m_i \ mathbf {v} _i \ right)$

El primer término es sólo el momento angular del centro de masa. Es el mismo momento angular se obtendría si hubiera sólo una partícula de masa M se mueve a la velocidad V situado en el centro de masa. El segundo término es el momento angular que es el resultado de las partículas en relación con su centro de masa en movimiento. Este segundo término se puede simplificar aún más si las partículas forman una cuerpo rígido, en cuyo caso una aparece giro. Un resultado similar se obtiene para una distribución continua de la materia.

Eje de rotación fijo

Para muchas aplicaciones donde una es sólo se preocupa por rotación alrededor de un eje, es suficiente para descartar la naturaleza pseudovector del momento angular, y tratarlo como un escalar donde es positiva cuando corresponde a una rotación de las agujas del reloj y en sentido horario negativo. Para ello, basta con tomar la definición del producto vectorial y deseche el vector unitario, por lo que el momento angular se convierte en:

$L = | \ mathbf {r} || \ mathbf {p} | \ sin \ theta_ {r, p}$

donde θ _{r, p} es el ángulo entre r y p medido a partir de r a p; una distinción importante porque sin ella, la señal de la cruz producto no tendría sentido. De lo anterior, es posible reformular la definición de cualquiera de los siguientes:

$L = \ pm | \ mathbf {p} || \ mathbf {r} _ {\ perp} |$

donde $\ Mathbf {r} _ {\ perp}$ se llama distancia brazo de palanca a p.

La forma más fácil de conceptualizar esto es considerar la distancia de brazo de palanca a ser la distancia desde el origen hasta la línea que viaja a lo largo p. Con esta definición, es necesario tener en cuenta la dirección de p (a la derecha en punta o hacia la izquierda) para averiguar el signo de L. De manera equivalente:

$L = \ pm | \ mathbf {r} || \ mathbf {p} _ {\ perp} |$

donde $\ Mathbf {p} _ {\ perp}$ es el componente de p que es perpendicular a r. Como el anterior, el signo se decidió sobre la base del sentido de rotación.

Para que un objeto con una masa fija que se gira alrededor de un eje de simetría fijas, el momento angular se expresa como el producto de la momento de inercia del objeto y de su vector de velocidad angular:

$\ Mathbf {L} = I \ mathbf {\ omega}$

donde

$YO \,$ es el momento de inercia del objeto (en general, una cantidad tensor)

$\ Mathbf {\ omega}$ es la velocidad angular .

A medida que la energía cinética K de un cuerpo en rotación masiva está dada por

$\ Mathbf {K} = I \ mathbf {\ omega ^ 2} / 2$

es proporcional al cuadrado del momento angular.

La conservación del momento angular

La par causado por las dos fuerzas opuestas F y _G - F _g provoca un cambio en el momento angular L en la dirección de que el par (ya que el par es la derivada en el tiempo del momento angular). Esto hace que la parte superior para precesión.

En un sistema cerrado momento angular es constante. Esta ley de conservación sigue matemáticamente a partir de simetría direccional continua del espacio (sin dirección en el espacio es diferente de cualquier otra dirección). Ver El teorema de Noether.

La derivada en el tiempo del momento angular se llama par:

$\ Tau = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t} = \ mathbf {r} \ times \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}$

Así que requiere que el sistema sea "cerrado" aquí es matemáticamente equivalente a cero la actuación externa de par en el sistema:

$\ Mathbf {L} _ {\ mathrm {sistema}} = \ mathrm {constante} \ leftrightarrow \ sum \ tau _ {\ mathrm {ext}} = 0$

donde $\ Tau_ {ext}$ es cualquier par aplicado al sistema de partículas.

En órbitas, el momento angular se distribuye entre el giro del planeta en sí mismo y el momento angular de su órbita:

$\ Mathbf {L} _ {\ mathrm {totales}} = \ mathbf {L} _ {\ mathrm {rotación}} + \ mathbf {L} _ {\ mathrm {órbita}}$ ;

Si un planeta se encuentra a girar más lento de lo esperado, entonces los astrónomos sospechan que el planeta se acompaña de un satélite, ya que el momento angular total es compartida entre el planeta y su satélite con el fin de conservar.

La conservación del momento angular se utiliza ampliamente en el análisis de lo que se llama fuerza de movimiento central. Si la fuerza neta sobre un cuerpo se dirige siempre hacia algún punto fijo, el centro, entonces no hay torsión en el cuerpo con respecto al centro, por lo que el momento angular del cuerpo sobre el centro es constante. Momento angular constante es muy útil cuando se trata de la órbitas de los planetas y satélites, y también cuando el análisis de la Modelo de Bohr del átomo .

La conservación del momento angular explica la aceleración angular de un patinador de hielo como ella trae sus brazos y piernas cerca del eje de rotación vertical. Al llevar parte de la masa de su cuerpo más cerca del eje que disminuye momento de su cuerpo de inercia. Debido a que el momento angular es constante en la ausencia de pares externos, la velocidad angular (velocidad de rotación) del patinador tiene que aumentar.

Los mismos resultados fenómeno de giro extremadamente rápido de estrellas compactas (como enanas blancas , estrellas de neutrones y agujeros negros ) cuando se forman fuera de mucho más grandes y más lentas estrellas giratorias (de hecho, la disminución del tamaño de objeto 10 ⁴ veces resulta en aumento de su velocidad angular por el factor 10 ^8).

La conservación del momento angular en los resultados del sistema Tierra-Luna en la transferencia de momento angular de la Tierra a la Luna (debido al par de marea de la Luna ejerce sobre la Tierra). Esto a su vez da lugar a la ralentización de la velocidad de rotación de la Tierra (a unos 42 ns / día), y en el aumento gradual de la radio de la órbita de la Luna (en ~ 4,5 cm / tasa interanual).

El momento angular en la mecánica relativista

En la moderna (siglo 20) la física teórica, el momento angular se describe utilizando un formalismo diferente. Bajo este formalismo, el momento angular es la 2-forma Noether cargo asociado con la invarianza rotacional (Como resultado, el momento angular se conserva para no espaciotiempos curvas generales, a menos que pasa a ser asintóticamente rotacionalmente invariante). Para un sistema de partículas puntuales sin ningún momento angular intrínseco, que resulta ser

$\ Sum_i \ bold {r} _i \ wedge \ bold {p} _i$

(Aquí, el se utiliza el producto cuña.).

El momento angular en la mecánica cuántica

En la mecánica cuántica , el momento angular es cuantizada - es decir, que no puede variar de forma continua, pero sólo en " saltos cuánticos "entre ciertos valores permitidos. El momento angular de una partícula subatómica, debido a su movimiento a través del espacio, es siempre un múltiplo entero de $\ Hbar$ ("H-bar," conocido como La constante de Dirac), definido como La constante de Planck dividida por 2π. Además, los experimentos muestran que la mayoría de las partículas subatómicas tienen un impulso permanente, una función de angular, que no es debido a su movimiento a través del espacio. Este momento angular de espín viene en unidades de $\ Hbar / 2$ . Por ejemplo, un electrón de pie en reposo tiene un momento angular de $\ Hbar / 2$ .

Definición básica

La definición clásica de momento angular como $\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}$ depende de seis números: $r_x$ , $r_y$ , $r_z$ , $P_X$ , $p_y$ Y $p_z$ . Traduciendo esto en términos de la mecánica cuántica, la Principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que no es posible para los seis de estos números para medir simultáneamente con precisión arbitraria. Por lo tanto, hay límites a lo que puede ser conocido o medido sobre el momento angular de una partícula. Resulta que lo mejor que uno puede hacer es medir simultáneamente la magnitud del impulso de vector angular y su componente a lo largo de un eje.

Matemáticamente, el momento angular en la mecánica cuántica se define como el momento - no como una cantidad, sino como un operador en el función de onda:

$\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}$

donde r y p son los operadores posición y el momento respectivamente. En particular, para una sola partícula sin carga eléctrica y no centrifugado, la operador momento angular se puede escribir en la base posición como

$\ Mathbf {L} = - i \ hbar (\ mathbf {r} \ times \ nabla)$

donde $\ Nabla$ es el operador diferencial vector " Del "(también llamado" Nabla "). Este operador momento angular orbital es la forma más comúnmente encontrado del operador momento angular, aunque no el único. Satisface la siguiente relaciones de conmutación canónicas:

$[L_l, L_m] = i \ hbar \ sum_ {n = 1} ^ 3 \ varepsilon_ {} lmn L_n$ ,

donde _lmn ε es la (antisimétrica) Símbolo de Levi-Civita. De esto se deduce

$\ Left [L_i, L ^ 2 \ right] = 0$

Dado que,

$L_x = -i \ hbar (y {\ \ parcial sobre \ z parcial} - z {\ \ parcial sobre \ y parcial})$

$L_y = -i \ hbar (z {\ \ parcial sobre \ x parcial} - x {\ \ parcial sobre \ z parcial})$

$L_z = -i \ hbar (x {\ \ parcial sobre \ y parcial} - y {\ \ parcial sobre \ x parcial})$

se deduce, por ejemplo,

$\ Begin {align} \ left [L_x, L_y \ right] y = - \ hbar ^ 2 \ left ((y {\ \ parcial sobre \ z parcial} - z {\ \ parcial sobre \ y parcial}) (z { \ \ parcial sobre \ x parcial} - x {\ \ parcial sobre \ z parcial}) - (z {\ \ parcial sobre \ x parcial} - x {\ \ parcial sobre \ z parcial}) (y {\ partial \ sobre \ z parcial} - z {\ \ parcial sobre \ y parcial}) \ right) \\ & = - \ hbar ^ 2 \ left (y {\ \ parcial sobre \ x parcial} - x {\ \ parcial sobre \ y parcial} \ right) = i \ hbar L_z. \\ \ End {align}$

Composición de momentos cuantificada

Dado un momento angular total cuantificada $\ Overrightarrow {j}$ que es la suma de dos momentos angulares cuantificada individuo $\ Overrightarrow {L_1}$ y $\ Overrightarrow {L_2}$ ,

$\ Overrightarrow {j} = \ {overrightarrow L_1} + \ overrightarrow {L_2}$

la número cuántico $j$ asociado con su magnitud puede variar desde $| L_1 - L_2 |$ a $L_1 + L_2$ en los pasos de entero, donde $L_1$ y $L_2$ son números cuánticos correspondientes a las magnitudes de los momentos angulares individual.

El momento angular como generador de rotaciones

Si $\ Phi$ es el ángulo en torno a un eje específico, por ejemplo el ángulo azimutal alrededor del eje z, a continuación, el momento angular a lo largo de este eje es el generador de rotaciones alrededor de este eje:

$L_z = -i \ hbar {\ \ parcial sobre \ parcial \ phi}.$

La funciones propias de L _z son, por tanto, $e ^ {i m_l \ phi}$ , Y desde $\ Phi$ tiene un periodo de $2 \ pi$ , M _l debe ser un entero.

Para una partícula con una giro S, esto sólo tiene en cuenta la dependencia angular de la ubicación de la partícula, por ejemplo su órbita en un átomo. Por lo tanto, se conoce como el momento angular orbital. Sin embargo, cuando uno hace girar el sistema, también se cambia el giro. Por lo tanto la momento angular total, que es la plena generador de rotaciones, es $J_i = L_i + S_I$ Siendo un momento angular, J satisface las mismas relaciones de conmutación como L, como voluntad explica a continuación. a saber

$[J_ \ ell, J_m] = i \ hbar \ sum_n \ varepsilon_ {} lmn j_n$

de la que sigue

$\ Left [J_ \ ell, J ^ 2 \ right] = 0.$

Actuar con J en el función de onda $\ Psi$ de una partícula genera una rotación: $e ^ {i \ phi J_z} \ psi$ es el función de onda $\ Psi$ girar alrededor del eje z en un ángulo $\ Phi$ . Para una rotación infinitesimal por un ángulo $d \ phi$ , La girado función de onda es $\ Psi + i d \ phi J_z \ psi$ . Esto es igualmente cierto para rotaciones alrededor de cualquier eje.

En una partícula cargada el impulso recibe una contribución del campo electromagnético , y el momento angular L y J cambio en consecuencia.

Si el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones, como en problemas con simetría esférica, entonces según El teorema de Noether, que conmuta con la el momento angular total. Así que el momento angular total es una cantidad conservada

$\ Left [J_l, H \ right] = 0$

Desde el momento angular es el generador de rotaciones, sus relaciones de conmutación siguen las relaciones de conmutación de los generadores de la tridimensional grupo de rotación SO (3). Esta es la razón por J siempre satisface estas relaciones de conmutación. En d dimensiones, el momento angular satisfará las mismas relaciones de conmutación como los generadores del grupo de rotación dimensional d SO (d).

SO (3) tiene el mismo Álgebra de Lie (es decir, las mismas relaciones de conmutación) como SU (2). Generadores de SU (2) puede tener semienteros valores propios , y así puedo m $j$ . De hecho, para fermiones la giro S y total de J momento angular son semi-entero. De hecho, este es el caso más general: j y m $j$ son enteros o medio-enteros.

Técnicamente, esto es porque el cobertura universal de SO (3) es isomorfo SU (2), y el representaciones de estos últimos son totalmente conocidos. J _i abarcan el Acuéstese álgebra y J ² es la Casimiro invariante, y se puede demostrar que si los valores propios de J y J _z ² son m _j y j (j + 1), entonces m _j y j son ambos múltiplos enteros de la mitad. j es no negativo y m _j toma valores entre -j y j.

Relación con armónicos esféricos

Operadores del momento angular generalmente ocurren cuando la solución de un problema simetría esférica en coordenadas esféricas . Entonces, el momento angular en la representación del espacio es:

$L ^ 2 = - \ frac {\ hbar ^ 2} {\ sin \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right) - \ frac {\ hbar ^ 2} {\ sin ^ 2 \ theta} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ phi ^ 2}$

Al resolver para encontrar estados propios de este operador, se obtiene la siguiente

$L ^ 2 | l, m \ rang = {\ hbar} ^ 2 l (l + 1) | l, m \ rang$

$L_z | l, m \ sonó = \ hbar m | l, m \ rang$

donde

$\ Lang \ theta, \ phi | l, m \ rang = Y_ {l, m} (\ theta, \ phi)$

son los armónicos esféricos.

El momento angular en la electrodinámica

Al describir el movimiento de una partícula cargada en presencia de un campo electromagnético, el "momento cinético" p no es medir invariante. Como consecuencia, el momento angular canónico $\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}$ no es medir ya sea invariante. En lugar de ello, el impulso que es físico, el llamado impulso canónica, es

$\ Mathbf {p} - \ frac {e \ mathbf {A}} {c}$

donde $e$ es la carga eléctrica , c la velocidad de la luz y de la A potencial vector. Así, por ejemplo, el Hamiltoniano de una partícula cargada de masa m en un campo electromagnético es entonces

$H = \ frac {1} {2m} \ left (\ mathbf {p} - \ frac {e \ mathbf {A}} {c} \ right) ^ 2 + e \ phi$

donde $\ Phi$ es el potencial escalar. Este es el hamiltoniano que da la Ley de la fuerza de Lorentz. El impulso de calibre invariante angular, o "momento angular cinética" está dada por

$K = \ mathbf {r} \ épocas \ left (\ mathbf {p} - \ frac {e \ mathbf {A}} {c} \ right)$

La interacción con la mecánica cuántica se discute en el artículo sobre relaciones de conmutación canónicas.

Recuperado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Angular_momentum&oldid=237417526 "

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