Propiedad asociativa

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En matemáticas , la asociatividad es una propiedad que un operación binaria puede tener. Esto significa que, dentro de una expresión que contiene dos o más de los mismos operadores asociativos en una fila, el orden de las operaciones no importa, siempre y cuando la secuencia de la operandos no se cambia. Es decir, la reordenación de la paréntesis en una expresión tal no va a cambiar su valor. Considere, por ejemplo, la ecuación

$(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8$

A pesar de que se reorganizan los paréntesis, el valor de la expresión no se alteró. Dado que esto es cierto cuando se realiza además en cualquier números reales , se dice que "además de los números reales es una operación asociativa."

Asociatividad no se debe confundir con la conmutatividad . Conmutatividad justifica cambiar el orden o secuencia de los operandos dentro de una expresión, mientras que la asociatividad no lo hace. Por ejemplo,

$(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1)$

es un ejemplo de asociatividad debido a que los paréntesis se cambiaron (y en consecuencia el orden de las operaciones durante la evaluación), mientras que los operandos 5, 2 y 1 apareció en el mismo orden exacto de izquierda a derecha en la expresión.

$(5 + 2) + 1 = (2 + 5) 1$

no es un ejemplo de asociatividad porque la secuencia operando cambió cuando el 2 y 5 lugares conmutada.

Operaciones asociativas son abundantes en las matemáticas, y de hecho la mayoría de estructuras algebraicas requieren explícitamente sus operaciones binarias ser asociativa. Sin embargo, muchas operaciones importantes e interesantes son no asociativo; Un ejemplo común sería el producto vectorial .

Definición

Formalmente, una operación binaria $* \! \! \!$ en un establece S se llama asociativa si satisface la ley asociativa:

$(X * y) * z = x * (y * z) \ qquad \ mbox {} para todo x, y, z \ in S.$

El orden de evaluación no afecta el valor de este tipo de expresiones, y se puede demostrar que lo mismo vale para las expresiones que contienen cualquier número de $* \! \! \!$ operaciones. Así, cuando $* \! \! \!$ es asociativa, el orden de evaluación, por lo tanto se puede dejar sin especificar sin causar ambigüedad, al omitir los paréntesis y escribir simplemente:

$x * y * z. \,$

Sin embargo, es importante recordar que cambiar el orden de las operaciones no implica o permite el cambio de los propios operaciones reales moviendo los operandos alrededor dentro de la expresión.

Ejemplos

Algunos ejemplos de las operaciones asociativos incluyen los siguientes.

En aritmética , además y multiplicación de números reales son asociativa; es decir,

$\ Left. \ Begin {matriz} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \ quad \\ (x \, y) z = x (y \, z) = x \, y \ , z \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ \, \ end {matriz} \ right \} \ mbox {} para toda x, y, z \ in \ mathbb {R}.$

La suma y la multiplicación de números complejos y cuaterniones es asociativa. La adición de octoniones también es asociativa, pero la multiplicación de octoniones es no asociativo.

El máximo común divisor y menos múltiples funciones comunes actúan de forma asociativa.

$\ Left. \ Begin {matriz} \ operatorname {mcd} (\ operatorname {mcd} (x, y), z) = \ operatorname {mcd} (x, \ operatorname {mcd} (y, z)) = \ operatorname {mcd} (x, y, z) \ \ quad \\ \ operatorname {mcm} (\ operatorname {mcm} (x, y), z) = \ operatorname {mcm} (x, \ operatorname {} mcm (y, z) ) = \ operatorname {mcm} (x, y, z) \ quad \ end {matriz} \ right \} \ mbox {} para toda x, y, z \ in \ mathbb {Z}.$

Porque transformaciones lineales son funciones que pueden ser representados por matrices con la multiplicación de matrices siendo la representación de la composición funcional, se puede concluir inmediatamente que la multiplicación de matrices es asociativa.

Tomando la intersección o la unión de conjuntos:

$\ Left. \ Begin {matriz} (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C) = A \ cap B \ cap C \ quad \\ (A \ copa B) \ copa C = A \ taza ( B \ copa C) = A \ copa B \ copa C \ quad \ end {matriz} \ right \} \ mbox {} para todos los conjuntos A, B, C.$

Si M es un conjunto y S denota el conjunto de todas las funciones de M a M, entonces la operación de composición funcional en S es asociativa:

$(F \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h \ qquad \ mbox {} para todos f, g, h \ in S.$

Ligeramente más general, dado cuatro conjuntos de M, N, P y Q, con H: M de N, g: N a P, y f: P a Q, entonces

$(F \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h$

como antes. En resumen, la composición de los mapas es siempre asociativa.

Considere un conjunto con tres elementos, A, B, y C. La siguiente operación:

×	La	B	C
+
La	La	La	La
B	La	B	C
C	La	La	La

es asociativa. Así, por ejemplo, A (BC) = (AB) C. Esta asignación no es conmutativa.

No asociatividad

Una operación binaria $*$ en un conjunto S que no satisface la ley asociativa se llama no asociativo. Simbólicamente,

$(X * y) * z \ ne x * (y * z) \ qquad \ mbox {} para algún x, y, z \ in S.$

Para esta operación el orden de evaluación es importante. La resta , división y exponenciación son ejemplos bien conocidos de las operaciones no asociativas:

$\ Begin {matriz} (5-3) -2 \ ne 5- (3-2) \ quad \\ (4/2) / 2 \ ne 4 / (2/2) \ qquad \ qquad \\ 2 ^ { (1 ^ 2)} \ ne (2 ^ 1) ^ 2. \ quad \ qquad \ qquad \ end {matriz}$

En general, los paréntesis deben utilizarse para indicar la orden de evaluación si una operación no asociativo aparece más de una vez en una expresión. Sin embargo, los matemáticos están de acuerdo en un orden particular de evaluación para varias operaciones no asociativos comunes. Esto es simplemente una convención sintáctica para evitar paréntesis.

Una operación de izquierda asociativo es una operación no asociativo que se evalúa convencionalmente de izquierda a derecha, es decir,

$\ Left. \ Begin {matriz} x * y * z = (x * y) * z \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \ quad \ \ \ mbox {etc.} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matriz} \ right \} \ mbox {} para todo w, x, y, z \ in S$

mientras una operación asociativa por la derecha convencionalmente se evalúa de derecha a izquierda:

$\ Left. \ Begin {matriz} x * y * z = x * (y * z) \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = w * (x * (y * z)) \ quad \ \ \ mbox {etc.} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matriz} \ right \} \ mbox {} para todo w, x, y, z \ in S$

Ambas operaciones se producen asociativo por la izquierda y la derecha-asociativos; ejemplos se dan a continuación.

Más ejemplos

Operaciones asociativo por la izquierda son las siguientes.

La resta y la división de números reales:

$xyz = (xy) -z \ qquad \ mbox {} para toda x, y, z \ in \ mathbb {R};$

$x / y / z = (x / y) / z \ qquad \ qquad \ quad \ mbox {} para toda x, y, z \ in \ mathbb {R} \ mbox {} con y \ ne0, z \ ne0.$

Operaciones asociativo por la derecha son las siguientes.

Potenciación de los números reales:

$x ^ {y ^ z} = x ^ {(y ^ z)}. \,$

La razón exponenciación es asociativo por la derecha es que una operación de exponenciación-izquierda asociativo repetido sería menos útil. Múltiples apariciones podrían (y se) reescribirse con la multiplicación:

$(X ^ y) ^ z = x ^ {(yz)}. \,$

Operaciones no asociativas para el que se ha definido ninguna orden de evaluación convencional incluyen lo siguiente.

Tomando el pairwise promedio de los números reales:

${(X + y) / 2 + z \ OVER2} \ ne {x + (y + z) / 2 \ OVER2} \ ne {x + y + z \ over3} \ qquad \ mbox {para algunos} x, y, z \ in \ mathbb {R}.$

Tomando el complemento relativa de los conjuntos:

$(A \ backslash B) \ backslash C \ ne A \ barra invertida (B \ backslash C) \ qquad \ mbox {} para algunos conjuntos A, B, C.$

$Diagrama de Venn de los complementos relativos (A \ B) \ C y A \ (B \ C)$

La parte verde de la izquierda diagrama de Venn representa (A \ B) \ C. La parte verde en el diagrama de Venn derecha representa un \ (B \ C).

Utilizando la notación asociativo por la derecha para material condicional puede ser motivada por ejemplo, por Curry-Howard correspondencia: véase, por ejemplo comparación de los dos primeros axiomas del sistema de deducción de estilo Hilbert con combinadores básicas de la lógica combinatoria.

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