Lógica de Boole

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Lógica de Boole es una completa sistema de lógica operaciones. Fue nombrado después George Boole, quien primero definió un sistema algebraico de la lógica a mediados del siglo 19 . Lógica de Boole tiene muchas aplicaciones en la electrónica, hardware y software, y es la base de electrónica digital. En 1938 , Claude Shannon mostró cómo los circuitos eléctricos con relés fueron un modelo para la lógica de Boole. Este hecho pronto demostró enormes consecuencias con la aparición de la electrónica del ordenador .

Usando el álgebra de conjuntos, este artículo contiene una introducción básica a conjuntos, operaciones booleanas, diagramas de Venn , tablas de verdad, y aplicaciones de Boole. La Artículo álgebra de Boole discute un tipo de estructura algebraica que satisface los axiomas de la lógica de Boole. La aritmética binaria artículo aborda el uso de binarios en números informáticos sistemas.

Establecer la lógica frente lógica booleana

Los conjuntos pueden contener elementos. Primero vamos a empezar por discutir la lógica conjunto general, luego limitarnos a la lógica de Boole, donde los elementos (o "bits") cada uno contienen sólo dos valores posibles, llamado varios nombres, tales como "verdadero" y "falso", "sí" y "no", "on" y "off" o "1" y "0".

Condiciones

Diagrama de Venn que muestra la intersección de conjuntos "A y B" (en violeta / sombreado oscuro), la unión de conjuntos "AOB" (todas las regiones de color / sombra), y el O exclusivo caso "set A XOR B" ( todas las regiones coloreadas, excepto las / sólo las regiones ligera sombra violeta). El "universo" está representado por toda el área dentro del marco rectangular.

Sea X un conjunto:

Un elemento es un miembro de un conjunto. Esto se denota por $\ En$ . Si no es un elemento del conjunto, esto se denota por $\ No en$ .

El universo es el conjunto X, a veces denotado por 1. Tenga en cuenta que este uso de la palabra universo significa "todos los elementos que se consideran", que no son necesariamente lo mismo que "todos los elementos que hay".

El conjunto vacío o conjunto vacío es el conjunto de ningún elemento, denotado por $\ Varnothing$ y, a veces 0.

Un operador unitario se aplica a un solo conjunto. Hay un operador unitario, llamado lógico NOT. Funciona mediante la adopción de la complementar.

Un operador binario se aplica a dos conjuntos. Los operadores binarios básicos son lógicas OR y AND lógico. Llevan a cabo el la unión y la intersección de conjuntos. También hay otros operadores binarios derivados, tales como XOR (OR exclusivo).

Un subconjunto se denota por $A \ subseteq B$ y significa que cada elemento del conjunto A es también en el conjunto B.

Un subconjunto propio se denota por $A \ subconjunto B$ y significa que cada elemento del conjunto A es también en el conjunto B y los dos conjuntos no son iguales.

Un superconjunto se denota por $A \ supseteq B$ y significa que cada elemento en el conjunto B es también en conjunto A.

Un superconjunto adecuada se denota por $A \ supset B$ y significa que cada elemento en el conjunto B es también en el conjunto A y los dos conjuntos no son iguales.

Ejemplo

Imaginemos que el conjunto A contiene todos los números pares (múltiplos de dos) en "el universo" (definido en el ejemplo de la derecha como todos los números enteros entre 0 y 30 inclusive) y el conjunto B contiene todos los múltiplos de tres en "el universo". Entonces la intersección de los dos conjuntos (todos los elementos de los conjuntos A y B) sería todos los múltiplos de seis en "el universo".

El complemento del conjunto A (no todo elementos en conjunto A) sería todos los números impares en "el universo".

Operaciones Encadenar juntos

Si bien en la mayoría de dos conjuntos se unen en cualquier operación booleana, el nuevo conjunto formado por esa operación puede entonces ser unido con otros conjuntos que utilizan operaciones booleanas adicionales. Utilizando el ejemplo anterior, podemos definir una nueva serie C como el conjunto de todos los múltiplos de cinco en "el universo". Así, "los conjuntos A y B y C" sería todos los múltiplos de 30 en "el universo". Si más conveniente, podemos considerar establecer AB a la intersección de los conjuntos A y B, o el conjunto de todos los múltiplos de seis en "el universo". Entonces podemos decir "conjuntos AB y C" son el conjunto de todos los múltiplos de 30 en "el universo". Entonces podríamos ir un paso más allá, y llamar a este conjunto de resultados ABC.

El uso de paréntesis

Mientras que cualquier número de AND lógicos (o cualquier número de quirófanos lógicos) puede ser encadenado juntos sin ambigüedad, la combinación de AND y OR y NOT puede llevar a casos ambiguos. En tales casos, los paréntesis pueden utilizarse para aclarar el orden de las operaciones. Como siempre, las operaciones dentro de la pareja íntima se realiza en primer lugar, seguido por el próximo par, etc., hasta que se hayan completado todas las operaciones entre paréntesis. Luego se realizan las operaciones fuera de los paréntesis.

Aplicación a los valores binarios

En este ejemplo hemos usado números naturales , mientras que en la lógica booleana se usan números binarios. El universo, por ejemplo, podría contener sólo dos elementos, "0" y "1" (o "verdadero" y "falso", "sí" y "no", "on" u "off", etc.). También podríamos combinar valores binarios en conjunto para obtener palabras binarias, como, en el caso de dos dígitos, "00", "01", "10" y "11". Aplicando la lógica de conjunto de esos valores, podríamos tener un conjunto de todos los valores, donde el primer dígito es "0" ("00" y "01") y el conjunto de todos los valores en el primer y segundo dígitos son diferentes ("01" y "10"). La intersección de los dos conjuntos sería entonces el único elemento, "01". Esto puede demostrarse por la expresión booleana siguiente, donde "primero" es el primer dígito y "segunda" es el segundo dígito:

(NO primero) Y (primero NO segundo)

Propiedades

Vamos a definir símbolos para las dos operaciones binarias primarios como $\ Tierra / \ cap$ (/ Conjunto de intersección lógico) y $\ Lor / \ taza$ (Lógica OR / unión de conjuntos), y para la operación unaria sola $\ Lnot$ / ~ (NOT lógico / set complemento). También utilizaremos los valores 0 (FALSO lógico / el conjunto vacío) y 1 (lógico TRUE / el universo). Las siguientes propiedades se aplican tanto a la lógica de Boole y lógica establecido (aunque sólo se muestra la notación de la lógica booleana aquí):

$un \ lor (b \ lor c) = (a \ lor b) \ lor c$	$un \ tierra (b \ tierra c) = (a \ tierra b) \ tierra c$	asociatividad
$un \ lor b = b \ lor un$	$un \ tierra b = b \ tierra un$	conmutatividad
$un \ lor (a \ tierra b) = a$	$un \ tierra (a \ lor b) = a$	absorción
$un \ lor (b \ tierra c) = (a \ lor b) \ tierra (a \ lor c)$	$un \ tierra (b \ lor c) = (a \ tierra b) \ lor (a \ tierra c)$	distributividad
$un \ lor \ lnot a = 1$	$un \ tierra \ lnot a = 0$	complementos
$un \ lor a = a$	$un \ tierra a = a$	idempotencia
$un \ lor 0 = a$	$un \ tierra 1 = a$	acotación
$un \ lor 1 = 1$	$un \ tierra 0 = 0$	acotación
$\ Lnot 0 = 1$	$\ Lnot 1 = 0$	0 y 1 son complementos
$\ Lnot (a \ lor b) = \ lnot un \ tierra \ lnot b$	$\ Lnot (a \ tierra b) = \ lnot un \ lor \ lnot b$	leyes de De Morgan
$\ Lnot \ lnot a = a$		involución

Las tres primeras propiedades definen una celosía; la primera de cinco definen una Álgebra de Boole. Los cinco restantes son consecuencia de los cinco primeros.

Las tablas de verdad

Por lógica booleana utilizando sólo dos valores, 0 y 1, la intersección y unión de esos valores puede definirse utilizando tablas de verdad como éstas:

$\ Cap$	0	1
0	0	0
1	0	1

$\ Taza$	0	1
0	0	1
1	1	1

Más tablas de verdad complejas con múltiples entradas y otras operaciones booleanas, también se pueden crear.

Tablas de verdad tienen aplicaciones en la lógica , la interpretación de 0 como FALSO, 1 como TRUE, $\ Cap$ Y como, $\ Taza$ como OR y ¬ como NO.

Otras notaciones

Los matemáticos y ingenieros a menudo usan más (+) para O y un signo producto ( $\ Cdot$ ) Para AND. OR y AND son algo análogo a la suma y la multiplicación en otras estructuras algebraicas , y esta notación hace que sea muy fácil de conseguir suma de productos para el álgebra normal. NO puede ser representado por una línea trazada por encima de la expresión está negada ( $\ Overline {x}$ ).

Los programadores suelen usar un símbolo de canalización (|) para O, un signo (&) para Y, y una tilde (~) para NO. En muchos lenguajes de programación , estos símbolos representan operaciones bit a bit. "||", "&&" Y "!" se utilizan para las variantes de estas operaciones.

Otra notación utiliza "idónea" para AND y "unirse" para OR. Sin embargo, esto puede llevar a confusión, ya que el término "unirse" también se usa comúnmente para cualquier operación booleana que combina juegos juntos, que incluye tanto AND y OR.

Utilización matemática básica de términos booleanos

En el caso de ecuaciones simultáneas, que están conectados con una implícita lógica AND:

x + y = 2

x - y = 2

Lo mismo se aplica a las desigualdades simultáneas:

x + y <2

x - y <2

La mayor o signo igual ( $\ Ge$ ) Y menor o signo de igual ( $\ Le$ ) Puede suponer para contener un OR lógico:

X <2

Oregón

X = 2

El signo más / menos ( $\ Pm$ ), Como en el caso de la solución a un problema de raíz cuadrada, se puede tomar como lógica OR:

WIDTH = 3

Oregón

WIDTH = -3

El uso del idioma Inglés de términos booleanos

Se debe tener cuidado cuando se convierte una frase Inglés en una expresión booleana formal. Muchas oraciones en inglés tienen significados imprecisos, por ejemplo, "todo lo que brilla es oro", lo que podría significar que "nada de lo que brilla es oro" o "algunas cosas que brillan no son de oro".

Y y O también puede ser utilizado indistintamente en Inglés, en ciertos casos:

"Siempre llevo un paraguas para cuando llueve y nieva."

"Siempre llevo un paraguas para cuando llueve o nieva."

A veces las palabras en inglés AND y OR tener el significado opuesto en una operación booleana:

"Dame todas las bayas rojas y azules" por lo general significa "Dame todas las bayas que son de color rojo o azul." Una redacción alternativa para el estándar de Inglés escrito: "Dame todas las bayas que son de color rojo, así como todas las bayas que son azules".

También tenga en cuenta que la palabra OR en Inglés pueden corresponder con cualquier lógica OR o XOR lógico, según el contexto:

"Empiezo a sudar cuando la humedad o la temperatura es alta." (OR lógico)

"Usted quiere helado y caramelo? Usted puede tener helados o dulces." (XOR lógico)

La combinación Y / O se utiliza a veces en Inglés para especificar un OR lógico, cuando acaba de usar la palabra o solo se podría haber confundido el sentido XOR lógico:

"Estoy teniendo pollo y / o carne para la cena." (OR lógico). Una redacción alternativa para el estándar escrito Inglés: "Estoy teniendo pollo, o carne, o ambos, para la cena."

El uso de la "y / o" vírgula generalmente desfavorecida en Inglés formal por escrito. Tal uso puede introducir imprecisión crítico en los instrumentos jurídicos, resultados de la investigación, y especificaciones de los programas informáticos o los circuitos electrónicos.

Un caso en el que se trata de un problema es cuando las especificaciones de un programa de ordenador o circuito electrónico se suministran como un párrafo de Inglés que describe su función. Por ejemplo, la declaración: "el programa debe verificar que el solicitante ha comprobado que el macho o caja femenina", debe ser tomado como un XOR, y un cheque añadido para asegurar que uno, y sólo uno, casilla está seleccionada. En otros casos, la interpretación de Inglés puede ser menos cierto, y es posible que el autor de la especificación a ser consultados para determinar su verdadera intención.

Aplicaciones

Diseño de circuitos electrónicos digitales

Lógica de Boole también se utiliza para el diseño de circuitos en ingeniería eléctrica ; aquí 0 y 1 pueden representar los dos estados diferentes de uno bit en una circuito digital, por lo general alta y baja voltaje. Circuitos son descritas por expresiones que contienen las variables, y dos de tales expresiones son iguales para todos los valores de las variables si, y sólo si, los circuitos correspondientes tienen el mismo comportamiento de la entrada-salida. Por otra parte, todos los comportamientos de entrada-salida posible puede ser modelado por una expresión booleana adecuado.

Básico puertas lógicas como AND, OR y NOT puertas se pueden usar solos o en combinación con NAND, NOR, y puertas XOR, para controlar la electrónica digital y circuitos. Ya sea que estas puertas se conectan en serie o en paralelo controla la precedencia de las operaciones.

Aplicaciones de bases de datos

Bases de datos relacionales utilizan SQL, u otros lenguajes específicos de bases de datos, realizar consultas, que puede contener la lógica de Boole. Para esta aplicación, cada registro de una tabla puede ser considerado como un "elemento" de un "conjunto". Por ejemplo, en SQL, estos Sentencias SELECT se utilizan para recuperar datos de las tablas en la base de datos:

    SELECT * FROM EMPLEADOS DONDE LAST_NAME = 'Smith' Y FIRST_NAME = 'John';

    SELECT * FROM EMPLEADOS DONDE LAST_NAME = 'Smith' O FIRST_NAME = 'John';

    SELECT * FROM EMPLEADOS DONDE NO last_name = 'Smith';

Los paréntesis pueden usarse para especificar explícitamente el orden en que se producen las operaciones booleanas, cuando varias operaciones están presentes:

    SELECT * FROM EMPLEADOS WHERE (NO last_name = 'Smith') Y (FIRST_NAME = 'John' O FIRST_NAME = 'María');

Múltiples conjuntos de paréntesis anidados también se pueden usar, cuando sea necesario.

Cualquier operación booleana (u operaciones) que combina dos (o más) tablas juntos se conoce como una combinación, en la terminología de base de datos relacional.

En el campo de Registros médicos electrónicos, algunas aplicaciones de software usan la lógica booleana para consultar sus bases de datos de pacientes, en lo que se ha llamado La tecnología de procesamiento de concepto.

Consultas en los motores de búsqueda

Consultas en los motores de búsqueda también emplean la lógica de Boole. Para esta aplicación, cada página web en Internet puede ser considerado como un "elemento" de un "conjunto". Los ejemplos siguientes utilizan una sintaxis con el apoyo de Google .

Doublequotes se utilizan para combinar palabras, separados por espacios en un solo término de búsqueda.
El espacio en blanco se utiliza para especificar lógico, ya que es el operador por defecto para unir los términos de búsqueda:

    "Buscar término 1" "Buscar plazo 2"

La palabra clave OR se utiliza para la lógica OR:

    "Buscar término 1" o "Buscar plazo 2"

El signo menos se utiliza para el NO lógico (Y NO):

    "Buscar término 1" - "Buscar plazo 2"

Recuperado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Boolean_logic&oldid=194646149 "

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