Regla y compás construcciones

Creación de un hexágono regular con regla y compás

Construcción de un pentágono regular

Compás y regla o construcción con regla y compás es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas utilizando sólo una idealizada regla y brújula.

La regla idealizada, conocida como una regla, se supone que es de longitud infinita, y no tiene marcas sobre esto, y sólo uno de los bordes. La brújula se asume a colapsar cuando se levanta desde la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esto es una restricción importante, ya que esto puede lograrse a través de la teorema de equivalencia brújula.) De manera más formal, las únicas construcciones permisibles son los que otorga Euclides primeros tres postulados 's.

Cada punto construible usando regla y compás puede construirse utilizando brújula solo. Una serie de problemas antiguos en la geometría plana impone esta restricción.

Los más famosos problemas de regla y compás se ha demostrado imposible en varios casos por Pierre Wantzel, usando la matemática teoría de los campos. A pesar de las pruebas existentes de imposibilidad, algunos persisten en tratar de resolver estos problemas. Muchos de estos problemas son fácilmente resolubles que proporcionan otras transformaciones geométricas están permitidos: por ejemplo, la duplicación del cubo es posible utilizar las construcciones geométricas, pero no es posible utilizando regla y compás solo.

Matemático Underwood Dudley ha hecho una actividad secundaria de la recogida de pruebas falsas con regla y compás, así como otros trabajos de matemática manivelas, y los ha recogido en varios libros.

Herramientas compás y una regla

Una brújula

Los "brújula" y "regla" de compás y una regla construcciones son idealizaciones de reglas y compases en el mundo real:

• La brújula se puede abrir de forma arbitraria de ancho, pero (a diferencia de algunos bienes brújulas) no tiene marcas sobre esto. Círculos sólo podrán extraerse utilizando dos puntos existentes que dan al centro y un punto en el círculo. La brújula se derrumba cuando no se utiliza para el dibujo, no se puede utilizar para copiar una longitud a otro lugar.
• La regla es infinitamente largo, pero no tiene marcas sobre esto, y sólo tiene una ventaja, a diferencia de los gobernantes ordinarios. Sólo puede ser usado para dibujar un segmento de línea entre dos puntos o para extender una línea existente.

La brújula moderna en general, no se derrumba y varias construcciones modernas utilizar esta función. Al parecer, la brújula moderna es un "más poderoso" instrumento de la antigua brújula. Sin embargo, por la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides , ningún poder computacional se pierde mediante el uso de una brújula tal colapso; no hay necesidad de transferir una distancia de un lugar a otro. Aunque la proposición es correcta, sus pruebas tienen una larga y accidentada historia.

Cada construcción debe ser exacta. "Eyeballing" él (esencialmente mirando la construcción y adivinar en su exactitud, o el uso de algún tipo de medida, tales como las unidades de medición en una regla) y acercarse no cuenta como una solución.

Cada construcción debe terminar. Es decir, se debe tener un número finito de pasos, y no ser el límite de aproximaciones cada vez más estrechos.

Dicho de esta manera, compás y una regla construcciones parecen ser una juego de salón, en lugar de un serio problema práctico; pero el propósito de la restricción es para asegurar que las construcciones se pueden demostrar ser exactamente correcto, y es por lo tanto importante tanto para la elaboración (diseño por tanto Software CAD y redacción tradicional con lápiz, papel, regla y compás) y la ciencia de los pesos y medidas, en el que la síntesis exacta de los cuerpos o materiales de referencia es extremadamente importante. Uno de los principales propósitos de la matemática griega era encontrar construcciones exactas de varias longitudes; por ejemplo, el lado de una pentágono inscrito en un círculo dado. Los griegos no podían encontrar construcciones de tres problemas:

• La cuadratura del círculo: Drenaje de una plaza de la misma área que un círculo dado.
• La duplicación del cubo: Dibujar un cubo con dos veces el volumen de un cubo dado.
• Trisección del ángulo: División de un ángulo dado en tres ángulos más pequeños todos del mismo tamaño.

Durante 2000 años la gente trataba de encontrar construcciones dentro de los límites indicados anteriormente, y que han fallado. Los tres ahora han sido probados bajo las reglas matemáticas a ser imposible general (ángulos con determinados valores se pueden trisected, pero no todos los ángulos posibles).

Las construcciones básicas

Las construcciones básicas

Todos compás y una regla construcciones consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas usando los puntos, líneas y círculos que ya han sido construidos. Estos son:

• La creación de la línea a través de dos puntos existentes

• Crear el círculo a través de un punto con el centro de otro punto

• Crear el punto de que es la intersección de dos líneas existentes, no paralelos

• Creación de los uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se intersecan)

• Creación de los uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se intersecan).

Por ejemplo, a partir de tan sólo dos puntos distintos, podemos crear una línea o uno de los dos círculos (a su vez, el uso de cada punto como centro y que pasa por el otro punto). Si dibujamos dos círculos, dos nuevos puntos se crean en sus intersecciones. Dibujo de líneas entre los dos puntos originales y uno de estos nuevos puntos completa la construcción de un triángulo equilátero.

Por lo tanto, en cualquier problema geométrico que tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y líneas), un algoritmo, y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría es equivalente a una axiomática álgebra , la sustitución de sus elementos por medio de símbolos. Probablemente Gauss primero se dio cuenta de esto, y lo utilizó para demostrar la imposibilidad de algunas construcciones; Sólo mucho más tarde hizo Hilbert encontrar un conjunto completo de axiomas de la geometría.

Puntos construibles y longitudes

Trisectar un segmento con regla y compás.

Prueba formal

Hay muchas maneras diferentes para demostrar que algo es imposible. Una prueba más rigurosa sería para demarcar el límite de lo posible, y demostrar que para resolver estos problemas hay que transgredir ese límite. Mucho de lo que se puede construir está cubierto de teoría de intercepción.

Podríamos asociar un álgebra de nuestra geometría utilizando un sistema de coordenadas cartesianas hecho de dos líneas, y representan puntos de nuestro avión por vectores. Finalmente podemos escribir estos vectores como los números complejos.

Usando las ecuaciones de líneas y círculos, se puede demostrar que los puntos en que se cruzan en una mentira extensión cuadrática de las más pequeñas F campo que contiene dos puntos en la línea, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, son de la forma , Donde x, y, y k están en F.

Puesto que el campo de los puntos construibles es cerrado bajo raíces cuadradas, que contiene todos los puntos que se pueden obtener por una secuencia finita de extensiones cuadráticas del campo de los números complejos con coeficientes racionales. Por el párrafo anterior, se puede mostrar que cualquier punto construible puede obtenerse por una secuencia de extensiones. Como corolario de este, se encuentra que el grado del polinomio mínimo de un punto (y, por tanto, de cualquier longitud construible) construible es una potencia de 2. En particular, cualquier punto construible (o longitud) es una algebraica de números, aunque no todos los números algebraicos es construible (es decir, la relación entre las longitudes construibles y números algebraicos no es biyectiva); por ejemplo, es algebraico pero no construible.

Ángulos construibles

Hay un biyección entre los ángulos que son construibles y los puntos que son construibles en cualquier círculo construible. Los ángulos que son construibles una forma grupo abeliano bajo la adición de módulo 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos de la unidad de círculo visto como números complejos). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, seno o coseno) es construible como un número. Por ejemplo, la regularidad heptadecágono es construible porque

como descubierto por Gauss .

El grupo de ángulos construibles es cerrado bajo la operación que reduce a la mitad ángulos (que corresponde a tomar raíces cuadradas). Los únicos ángulos de orden finito que pueden ser construidos a partir de dos puntos son aquellos cuyo orden es ya sea una potencia de dos, o un producto de una potencia de dos y un conjunto de distinta Fermat prepara. Además hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Regla y compás construcciones como la aritmética compleja

Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano , seleccionando cualquiera de ellos que se llamará 0 y otro para ser llamado 1, junto con una elección arbitraria de orientación nos permite considerar los puntos como un conjunto de números complejos .

Dadas cualquier interpretación de un conjunto de puntos de números complejos, los puntos construibles utilizando construcciones compás y una regla válida solo son precisamente los elementos de los más pequeños campo que contiene el conjunto original de puntos y cerrado bajo la conjugadas y complejas raíces cuadradas operaciones (para evitar la ambigüedad, podemos especificar la raíz cuadrada con argumento complejo menos de π). Los elementos de este campo son precisamente los que se puede expresar como una fórmula en los puntos originales utilizando sólo las operaciones de adición , sustracción , multiplicación , división , conjugado complejo, y raíz cuadrada , que se ve fácilmente para ser un subconjunto denso numerable del avión. Cada uno de estos seis operaciones correspondientes a una brújula simple y la construcción regla. De esa fórmula es sencillo para producir una construcción del punto correspondiente mediante la combinación de las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a los accesos directos en estos cálculos.

De manera equivalente (y sin necesidad de elegir arbitrariamente dos puntos), podemos decir que, dada una elección arbitraria de la orientación, un conjunto de puntos determina un conjunto de relaciones complejas dadas por las relaciones de las diferencias entre los dos pares de puntos. El conjunto de coeficientes de construibles utilizando compás y una regla de un conjunto de relaciones tales es precisamente el campo más pequeña que contiene las proporciones originales y cerrado bajo teniendo complejos conjugados y raíces cuadradas.

Por ejemplo la parte real, parte imaginaria y el módulo de un punto o la relación de z (teniendo uno de los dos puntos de vista anteriores) son construible ya que estos pueden expresarse como

Doblar el cubo y la trisección de un ángulo (a excepción de ángulos especiales, tales como cualquier φ tal que φ / 6π es un número racional con denominador el producto de una potencia de dos y un conjunto de distinta Primos de Fermat) requieren relaciones que son la solución a ecuaciones cúbicas, mientras que la cuadratura del círculo requiere un relación trascendental. Ninguno de estos son en los campos descritos, por lo tanto, no existe ninguna construcción compás y una regla para estos.

Construcciones imposibles

Se consideraron imposible Los tres problemas de construcción siguientes, cuyos orígenes datan de la antigüedad griega, en el sentido de que no podían ser resueltos utilizando sólo el compás y la regla. Con los métodos matemáticos modernos esta "consideración" de los matemáticos griegos se puede demostrar que es correcta. Los problemas propios, sin embargo, son factibles, y los griegos sabían cómo resolverlos, sin la limitación de trabajar sólo con regla y compás.

La cuadratura del círculo

El más famoso de estos problemas, la cuadratura del círculo, también conocida como la cuadratura del círculo, implica la construcción de una plaza con la misma área que un círculo dado utilizando únicamente regla y compás.

La cuadratura del círculo se ha demostrado que es imposible, ya que implica la generación de una número trascendental, es decir, . Sólo cierta números algebraicos se pueden construir con regla y compás solo, es decir, los construidos a partir de los números enteros con una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, y tomando raíces cuadradas. La frase "la cuadratura del círculo" se utiliza a menudo en el sentido de "hacer lo imposible" por esta razón.

Sin la limitación de requerir solución por regla y compás solo, el problema es fácilmente soluble por una amplia variedad de medias geométricas y algebraicas, y se ha resuelto muchas veces en la antigüedad.

La duplicación del cubo

La duplicación del cubo: utilizando sólo un borde recto y la brújula, construir el lado de un cubo que tiene el doble de volumen de un cubo con un lado dado. Esto es imposible porque la raíz cúbica de 2, aunque algebraica, no se puede calcular a partir de los números enteros por suma, resta, multiplicación, división, y tomando raíces cuadradas. Esto se deduce porque su polinomio mínimo sobre los racionales tiene grado 3. Esta construcción es posible usando una regla con dos marcas en él y una brújula.

Trisección del ángulo

Trisección del ángulo: utilizando sólo una regla y un compás, construir un ángulo que es un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo: aunque el ángulo de π / 3 radianes (60 ° ) no se puede trisected, el ángulo de 2π / 5 radianes (72 ° = 360 ° / 5) se pueden trisected. Este problema también se resuelve fácilmente cuando se permite que una regla con dos marcas en él (un construcción neusis).

La construcción de polígonos regulares

Construcción de un cuadrado.

Algunos polígonos regulares (por ejemplo, una pentágono) son fáciles de construir con regla y compás; otros no lo son. Esto llevó a la pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?

Carl Friedrich Gauss en 1796 mostró que una n normal -sided polígono se puede construir con regla y compás si el extraño factores primos de n son distintos Fermat prepara. Gauss conjeturó que esta condición fue también es necesario, pero no ofreció ninguna prueba de este hecho, que fue proporcionada por Pierre Wantzel en 1837.

Construir con sólo regla o única brújula

Es posible (según la Mohr-Mascheroni teorema) para construir cualquier cosa con sólo una brújula si se puede construir con regla y compás, siempre que los datos dados y los datos que se encuentran consisten en puntos discretos (no líneas o círculos). Es imposible tener una raíz cuadrada con sólo una regla, por lo que algunas cosas que no se pueden construir con una regla se puede construir con una brújula; pero (por el Poncelet-Steiner teorema) dado un solo círculo y su centro, que se puede construir.

Construcciones extendidas

Gobernantes marcables

Arquímedes y Apolonio dio construcciones que implican el uso de una regla notable. Esto les permitiría, por ejemplo, para tomar un segmento de línea, dos líneas (o círculos), y un punto; y luego trazar una línea que pasa por el punto dado y se cruza con ambas líneas, y tal que la distancia entre los puntos de intersección es igual a la del segmento dado. Este los griegos llamaban neusis ("inclinación", "tendencia" o "rayando"), debido a que la nueva línea tiende al punto. En este esquema ampliado, cualquier distancia cuya relación a una distancia existente es la solución de una cúbico o un ecuación de cuarto grado es construible. De ello se desprende que, si se permite a los gobernantes marcables y neusis, la trisección del ángulo (véase Trisección de Arquímedes) y la duplicación del cubo se puede lograr; la cuadratura del círculo es todavía imposible. Algunos polígonos regulares, como el heptágono, convertido construible; y John H. Conway da construcciones para varios de ellos; pero el polígono de 11 lados, la endecágono, sigue siendo imposible, y una infinidad de otros.

Cuando solo se permite un ángulo de trisectriz, hay una descripción completa de todos los polígonos regulares que pueden construirse, incluyendo mencionada regulares heptágono, triskaidecagon (13-gon) y Eneadecágono (19-gon). Está abierto si hay infinitos primos p para que una p gon regular es construible con regla, compás y una trisector ángulo.

Origami

La teoría matemática del origami es más poderosa que la brújula y la construcción staightedge. Se pliega satisfacer los axiomas Huzita-Hatori puede construir exactamente el mismo conjunto de puntos como las construcciones extendidas usando un compás y una regla marcada. Por lo tanto Origami también se puede utilizar para resolver ecuaciones cúbicas (y por lo tanto, las ecuaciones cuárticas), y por lo tanto resolver dos de los problemas clásicos.

El campo de extensión

En términos abstractos, el uso de estas herramientas más poderosas de cualquiera neusis usando una regla notable o las construcciones de origami extiende el campo de la números construibles a un subcampo mayor de los números complejos, que contiene no sólo la raíz cuadrada, sino también la cubicar raíces, de cada elemento. Las fórmulas aritméticas para los puntos construibles descritos anteriormente tienen analogías en este campo más amplio, lo que permite fórmulas que incluyen raíces cúbicas también. La extensión de campo generado por cualquier punto construible adicional en este campo más grande tiene grado un múltiplo de una potencia de dos y una potencia de tres, y puede ser dividida en una torre de extensiones de grado 2 y 3.

Cálculo de dígitos binarios

En 1998 Simon Plouffe dio una regla y compás algoritmo que se puede utilizar para calcular dígitos binarios de determinados números. El algoritmo consiste básicamente en la duplicación repetida de un ángulo y se hace materialmente imposible después de cerca de 20 dígitos binarios.