Curl (matemáticas)

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En cálculo vectorial , rizo (o: rotor) es un operador vectorial que muestra una "tasa de campo vectorial de rotación ", es decir, la dirección del eje de rotación y la magnitud de la rotación. También se puede describir como la densidad de circulación.

"Rotación" y "circulación" se utilizan aquí para propiedades de una función vectorial de posición, independientemente de su posible cambio en el tiempo.

Un campo de vector que tiene cero enrollamiento en todas partes se llama irrotacional.

El rotor terminología alternativa y notación alternativa (utilizado en muchos países europeos) es $\ Operatorname {rot} (\ mathbf {F})$ se utilizan a menudo para el enrollamiento y $\ Operatorname {rizo} (\ mathbf {F})$ .

Coordinar invariante Definición como una densidad de circulación

El componente de $\ Operatorname {rizo} (\ mathbf {F})$ en la dirección del vector unitario $\ Mathbf {\ sombrero u}$ es el límite de una integral de línea por unidad de área $\ Mathbf {F}$ , A saber, la siguiente ecuación integral para la curva cerrada $\ S ^ {parcial (2)}$ . Esta curva cerrada está en un plano normal al $\ Mathbf {\ sombrero u}$ :

$\ Mathbf {\ sombrero u} _ {| \, (\, S ^ {(2)} \ perp \ mathbf \ hat u \,)} \ cdot \ operatorname {rizo} (\ mathbf {F}) = \ lim_ {S ^ {(2)} \ rightarrow 0} \ frac {1} {| S ^ {(2)} |} \ oint _ {\ S parcial ^ {(2)}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l}$

Ahora, para calcular los componentes de $\ Operatorname {rizo} (\ mathbf {F})$ por ejemplo, en coordenadas cartesianas , reemplace $\ Mathbf {\ sombrero u}$ con vectores unitarios i, j y k.

Esto define no sólo el rizo de una manera libre de cualquier coordenadas, pero hace también visible que es una densidad de circulación.

El teorema de Stokes (ver a continuación) directamente se puede derivar de ella y la representación en coordenadas especiales se puede conseguir de forma explícita.

Uso

En matemáticas el rizo se define como:

$\ Operatorname {rizo} (\ mathbf {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F}$

donde F es el vector de campo a la que se está aplicando el rizo. Aunque la versión de la derecha es estrictamente una abuso de notación, todavía es útil como una mnemotécnico si tomamos $\ Nabla$ como un vector operador diferencial del o nabla. Tal notación participación operadores es común en la física y álgebra .

Ampliado en coordenadas cartesianas , $\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F}$ Es decir, para F compuesto por [F _x, F _y, F _z]:

$\ Begin {bmatrix} {\ frac {\ F_z parcial} {\ y parcial}} - {\ frac {\ F_y parcial} {\ z parcial}} \\ \\ {\ frac {\ F_x parcial} {\ z parcial }} - {\ frac {\ F_z parcial} {\ x parcial}} \\ \\ {\ frac {\ F_y parcial} {\ x parcial}} - {\ frac {\ F_x parcial} {\ y parcial}} \ end {bmatrix}$

Aunque expresado en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones adecuadas de los ejes de coordenadas pero el resultado se invierte bajo la reflexión.

Una simple representación de la forma desarrollada del rizo es:

$\ Begin {bmatrix} {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ y parcial}} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ z parcial }} \ end {} \ bmatrix veces F$

es decir, del centro F, o como el determinante de la matriz siguiente:

$\ Begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} y \ vec {k} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} y {\ frac {\ partial} {\ partial y}} y {\ frac {\ partial} {\ z parcial}} \\ \\ F_x y F_y y F_z \ end {bmatrix}$

donde i, j, y k son el vectores unitarios para la x, - Y - y -axes z, respectivamente.

En Notación de Einstein, con la Símbolo de Levi-Civita se escribe como:

$(\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F}) _k = \ epsilon_ {k \ ell m} \ partial_ \ ell F_m$

o como:

$(\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F}) = \ boldsymbol {\ hat {e}} _ k \ epsilon_ {k \ ell m} \ partial_ \ ell F_m$

para vectores unitarios: $\ Boldsymbol {\ hat {e}} _ k$ , K = 1,2,3 correspondiente a $\ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}}$ Y $\ Boldsymbol {\ hat {z}}$ respectivamente.

Usando el derivada exterior, se escribe simplemente como:

$dF \,$

Tomando la derivada exterior de un campo vectorial no resulta en otro campo de vector, pero una 2-forma o campo bivector, correctamente escrita como $P \, (dx \ wedge dy) + Q \, (dy \ wedge dz) + R \, (dz \ wedge dx)$ .

Desde bivectores generalmente se consideran menos intuitivo que los vectores normales, el R ³- dual: $* DF \,$ se utiliza comúnmente en lugar (donde $* \,$ denota la Operador de estrellas Hodge). Esto es un operación quiral, produciendo una pseudovector que toma valores opuestos en la mano izquierda y con la mano derecha sistemas de coordenadas.

Interpretando el rizo

La curvatura de campo vectorial nos dice acerca de la rotación del campo tiene en cualquier punto. La magnitud de la curvatura nos dice cuánto rotación existe. La dirección nos dice, por la regla de la mano derecha (cuatro dedos de la mano derecha se acurrucó en la dirección del movimiento y el pulgar apunta en la dirección de la rotación) sobre qué eje del campo está girando.

Un dispositivo de uso común para pensar en rizo es la rueda de paletas. Si tuviéramos que poner una pequeña rueda de paletas en un punto en el campo de vectores en cuestión y tratar los vectores dibujados y sus longitudes como las corrientes de un río con magnitud y dirección, de cualquier forma la rueda de paletas tendería a convertir es la dirección de el rizo en ese punto. Por ejemplo, si dos corrientes están tratando de hacer girar la rueda en direcciones opuestas, la más fuerte (el vector más largo) va a ganar.

Ejemplos

Un campo vectorial sencillo

Tome la campo de vector construido usando vectores unitarios

$\ Vec {F} (x, y) = y \ boldsymbol {\ hat {x}} - x \ boldsymbol {\ hat {y}}$ .

Su trama se ve así:

Simplemente mediante inspección visual, podemos ver que el campo está girando. Si nos atenemos una rueda de paletas en cualquier lugar, vemos inmediatamente su tendencia a girar en sentido horario. Usando el regla de la mano derecha, esperamos que la curvatura sea en la página. Si vamos a mantener un diestro sistema de coordenadas, en la página estará en la dirección z negativa.

Si hacemos los cálculos y encontramos el rizo:

$\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = 0 \ boldsymbol {\ hat {x}} + 0 \ boldsymbol {\ hat {y}} + [{\ frac {\ partial} {\ x parcial}} (-x) - {\ frac {\ partial} {\ y parcial}} y] \ boldsymbol {\ hat {z}} = - 2 \ boldsymbol {\ hat {z}}$

Que es de hecho en la dirección z negativa, como se esperaba. En este caso, el enrollamiento es en realidad una constante, independientemente de la posición. La "cantidad" de rotación en el campo vector anterior es la misma en cualquier punto (x, y). Trazar el rizo de F no es muy interesante:

Un ejemplo más complicado

Supongamos que ahora consideramos un campo vectorial un poco más complicado:

$F (x, y) = - x ^ 2 \ boldsymbol {\ hat {y}}$ .

Su trama:

Podríamos no ver ninguna rotación en un principio, pero si nos fijamos atentamente en la parte derecha, vemos un campo más grande, digamos, x = 4 que en x = 3. Intuitivamente, si colocamos una pequeña rueda de paletas allí, el más grande "actual" en su lado derecho causaría la rueda de paletas para girar en sentido horario, lo que corresponde a un rizo en la dirección z negativa. Por el contrario, si nos fijamos en un punto a la izquierda y colocamos una pequeña rueda de paletas de ahí, el más grande "actual" en su lado izquierdo causaría la rueda para girar hacia la izquierda, que se corresponde con un rizo en la dirección z positiva. Vamos a ver nuestra conjetura por hacer las matemáticas:

$\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = 0 \ boldsymbol {\ hat {x}} + 0 \ boldsymbol {\ hat {y}} + {\ frac {\ partial} {\ x parcial}} ( -x ^ 2) \ boldsymbol {\ hat {z}} = - 2x \ boldsymbol {\ hat {z}}$

De hecho, el enrollamiento es en la dirección z positiva para x negativos y en la dirección z negativa para x positivos, como se esperaba. Desde este rizo no es la misma en todos los puntos, su trama es un poco más interesante:

Curl de F con el plano x = 0 enfatizó en azul oscuro

Tomamos nota de que la trama de este rizo no tiene dependencia de yoz (ya que no debería) y está en la dirección z negativa para x positivos y en la dirección z positiva para x negativo.

Tres ejemplos comunes

Considere el ejemplo ∇ × [v × F]. El uso de coordenadas cartesianas, se puede demostrar que

$\ Mathbf {\ nabla \ veces} \ left (\ mathbf {v \ épocas F} \ right) = \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot F} \ right) + \ mathbf {F \ cdot \ nabla } \ right] \ mathbf {v} - \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot v} \ right) + \ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right] \ mathbf {F} \.$

En el caso donde el campo de vector v y ∇ se intercambian:

$\ Mathbf {v \ \ veces} \ left (\ mathbf {\ nabla \ veces F} \ right) = \ nabla_F \ left (\ mathbf {v \ cdot F} \ right) - \ left (\ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right) \ mathbf {F} \,$

que introduce la notación de Feynman subíndice ∇ _F, lo que significa que el gradiente subindicada opera sólo en el factor F.

Otro ejemplo es ∇ × [∇ × F]. El uso de coordenadas cartesianas, se puede demostrar que:

$\ Nabla \ equipos \ left (\ mathbf {\ nabla \ veces F} \ right) = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla \ cdot F}) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {F} \,$

que, con un poco de rascarse la cabeza, puede ser interpretado como un caso especial del primer ejemplo con la sustitución v → ∇.

Ejemplos descriptivos

En un tornado los vientos están girando sobre el ojo, y un campo vectorial que muestra las velocidades del viento tendrían un rizo distinto de cero en el ojo, y posiblemente en otros lugares (véase vorticidad).
En un campo vector que describe las velocidades lineales de cada parte individual de un disco giratorio, el rizo tendrá una valor constante en todas las partes del disco.
Si las velocidades de los coches en una autopista se describe con un campo vectorial, y los carriles tenido diferentes límites de velocidad, el rizo en las fronteras entre los carriles sería distinto de cero.
Ley de Faraday, una de las ecuaciones de Maxwell , se puede expresar de manera muy sencilla utilizando rizo. Se afirma que el rizo de un campo eléctrico es igual al opuesto de la tasa de tiempo de cambio del campo magnético.

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