Curva

Temas relacionados: Matemáticas

Antecedentes

Esta selección wikipedia ha sido elegido por los voluntarios que ayudan Infantil SOS de Wikipedia para esta Selección Wikipedia para las escuelas. Madres SOS cada aspecto después de un una familia de niños apadrinados .

La parábola, un ejemplo sencillo de una curva

En matemáticas , una curva (también llamado una línea curva en los textos antiguos) está, en general, un objeto similar a una línea , pero que no está obligado a ser derecho. Esto implica que una línea es un caso especial de la curva, es decir, una curva con nula curvatura. A menudo curvas en dos dimensiones ( curvas planas) o (curvas espaciales tridimensionales) el espacio euclidiano son de interés.

Diversas disciplinas dentro de las matemáticas han dado al término distintos significados dependiendo de la zona de estudio, por lo que el significado depende del contexto. Sin embargo muchos de estos significados son casos especiales de la definición que sigue. Una curva es una espacio topológico que es localmente homeomorfo a una línea. En el lenguaje corriente, esto significa que una curva es un conjunto de puntos que, cerca de cada uno de sus puntos, se ve como una línea, hasta una deformación. Un ejemplo sencillo de una curva es la parábola, que se muestra a la derecha. La gran número de otras curvas se han estudiado en varios campos matemáticos.

La curva término tiene varios significados en el lenguaje no matemático también. Por ejemplo, puede ser casi sinónimo de función matemática (como en curva de aprendizaje), o gráfica de una función (como en Curva de Phillips).

Una de arco o segmento de una curva es una parte de una curva que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene cada punto de la curva entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se define el arco, cualquiera de los dos puntos finales pueden o no ser parte de ella. Cuando el arco es recta, típicamente se llama una segmento de línea.

Historia

El arte megalítico de Newgrange mostrando un interés temprano en curvas

La fascinación con curvas comenzó mucho antes de que fueron objeto de estudio matemático. Esto se puede ver en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en los objetos cotidianos que se remontan a los tiempos prehistóricos. Curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son fáciles de crear, por ejemplo, un palo en la arena en una playa.

Históricamente, se ha utilizado el término "línea" en lugar del término "curva" más moderno. De ahí que las frases "línea recta" y "línea correcta" fueron utilizados para distinguir lo que son hoy llamado líneas de "líneas curvas". Por ejemplo, en el libro I de los Elementos de Euclides , una línea se define como una "longitud sin anchura" (Def. 2), mientras que una línea recta se define como "una línea que yace por igual respecto de los puntos en sí misma" (Def. 4) . La idea de Euclides de una línea es quizás aclarado por la afirmación "Los extremos de una línea son puntos," (Def. 3). Comentaristas posteriores clasifican además líneas de acuerdo con diversos esquemas. Por ejemplo:

Líneas compuestas (líneas que forman un ángulo)
Líneas incompuesto
- Determinados (líneas que no se extienden indefinidamente, tales como el círculo)
- Indeterminados (líneas que se extienden indefinidamente, tales como la línea recta y la parábola)

Las curvas creadas por corte de un cono ( secciones cónicas ) estaban entre las curvas estudiadas en la antigua Grecia.

El griego geómetras habían estudiado muchos otros tipos de curvas. Una de las razones era su interés en la solución de problemas geométricos que no se podían resolver mediante norma compás y una regla de construcción. Estas curvas incluyen:

Las secciones cónicas , estudió profundamente por Apolonio de Perga
La cisoide de Diocles, estudiado por Diocles y utilizar un método para duplicar el cubo.
La concoide de Nicomedes, estudiado por Nicomedes como un método para tanto el doble de la de cubo y para trisecar un ángulo.
La Espiral de Arquímedes, estudiada por Arquímedes como un método para trisecar un ángulo y la cuadratura del círculo.
La secciones Špirić, secciones de toros estudiados por Perseo como secciones de conos había sido estudiado por Apolonio.

Curvas geometría permitidos analítica, tales como la Folium de Descartes, que se define utilizando ecuaciones en lugar de construcción geométrica.

Un avance fundamental en la teoría de las curvas fue el advenimiento de la geometría analítica en el siglo XVII. Esto permitió una curva que se describe mediante una ecuación en lugar de una construcción geométrica elaborada. Esto no sólo permitió nuevas curvas a ser definidos y estudiados, pero permitió una distinción formal que debe hacerse entre las curvas que se pueden definir usando ecuaciones algebraicas, curvas algebraicas, y los que no pueden, curvas trascendentales. Anteriormente, las curvas se habían descrito como "geométrica" o "mecánica" de acuerdo con la forma en que estaban, o supuestamente podrían, generaron.

Las secciones cónicas se aplicaron en la astronomía por Kepler . Newton también trabajó en un ejemplo temprano en el cálculo de variaciones . Soluciones a los problemas variacionales, tales como la braquistocrona y preguntas tautocrona, propiedades introducidas de curvas en nuevas formas (en este caso, el cicloide). La catenaria recibe su nombre como la solución al problema de una cadena que cuelga, el tipo de pregunta que se hizo rutinaria accesible por medio de cálculo diferencial.

En el siglo XVIII llegaron los inicios de la teoría de curvas algebraicas avión, en general. Newton había estudiado la curvas cúbicas, en la descripción general de los puntos reales en óvalos ''. La declaración de El teorema de Bézout mostró una serie de aspectos que no eran accesibles directamente a la geometría de las veces, que hacer con los puntos singulares y soluciones complejas.

Desde el siglo XIX, no hay una teoría de la curva separada, sino más bien la aparición de curvas como el aspecto unidimensional de la geometría proyectiva y la geometría diferencial ; y más tarde topología , cuando por ejemplo la Teorema de la curva de Jordan se entendió que mentir bastante profunda, además de ser requerido en análisis complejo. La era de la curvas que llenan el espacio finalmente provocaron las definiciones modernas de curva.

Topología

Los límites de los componentes hiperbólicos de Mandelbrot curvas tan cerradas

En topología , una curva se define como sigue. Dejar $YO$ ser una intervalo de números reales (es decir, una no vacío conectado subconjunto de $\ Mathbb {R}$ ). Entonces una curva $\! \, \ Gamma$ es un continuo cartografía $! \, \ \ Gamma: I \ rightarrow X$ , Donde $X$ es un espacio topológico.

La curva $\! \, \ Gamma$ se dice que es simple, o un arco de Jordan, si es inyectiva, es decir, si para todo $x$ , $y$ en $YO$ , Tenemos $\, \! \ Gamma (x) = \ gamma (y)$ implica $x = y$ . Si $YO$ es un intervalo cerrado $\, \! [Una b]$ , También permitimos la posibilidad $\, \! \ Gamma (a) = \ gamma (b)$ (Este convenio hace posible hablar de curvas simples "cerradas", ver más abajo).

En otras palabras, esta curva "no cruzarse y no tiene puntos que faltan".

Si $\ Gamma (x) = \ gamma (y)$ para algunos $x \ ne y$ (Aparte de las extremidades de $YO$ ), Entonces $\ Gamma (x)$ se llama un punto de la curva doble (o múltiple).

Una curva $\! \, \ Gamma$ se dice que está cerrado o un bucle si $\, \! I = [a, b]$ y si $\! \, \ Gamma (a) = \ gamma (b)$ . Una curva cerrada es, pues, una aplicación continua del círculo $S ^ 1$ ; una curva cerrada simple también se llama una curva de Jordan. La Teorema de la curva de Jordan afirma que tales curvas dividen el plano en un "interior" y un "exterior".

La curva plana es una curva para el que X es el plano euclidiano -estos son los ejemplos encontraron por primera vez, o en algunos casos la plano proyectivo. Una curva en el espacio es una curva para el que X es de tres dimensiones, por lo general el espacio euclidiano ; una curva de inclinación es una curva en el espacio que se encuentra en ningún plano. Estas definiciones se aplican también a curvas algebraicas (ver más abajo). Sin embargo, en el caso de las curvas algebraicas es muy común considerar los sistemas de numeración más general que los reales.

Esta definición de la curva de captura nuestra noción intuitiva de una curva como una figura geométrica conectado y continua que es "como" una línea, sin espesor y dibuja sin interrupción, aunque también incluye cifras que difícilmente pueden ser llamadas curvas de uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva puede cubrir un cuadrado en el plano ( espacio de llenado de la curva). La imagen de la curva plana simple puede tener Dimensión de Hausdorff más grande que uno (ver Copo de nieve de Koch), e incluso positivo Medida de Lebesgue (el último ejemplo se puede conseguir por pequeña variación de la Construcción curva de Peano). La curva dragón es otro ejemplo inusual.

Convenios y terminología

La distinción entre una curva y su la imagen es importante. Dos curvas distintas pueden tener la misma imagen. Por ejemplo, una segmento de línea se puede remontar a cabo a diferentes velocidades, o un círculo se puede desplazar un número diferente de veces. Muchas veces, sin embargo, que sólo están interesados en la imagen de la curva. Es importante prestar atención al contexto y la convención en la lectura.

También terminología no es uniforme. A menudo, topologists utilizan el término " ruta "para lo que estamos llamando a una curva, y" curva "de lo que estamos llamando a la imagen de una curva. El término" curva "es más común en cálculo vectorial y geometría diferencial .

Las longitudes de las curvas

Si $X$ es un espacio métrico con la métrica $d$ , Entonces podemos definir la longitud de una curva $! \ \, \ Gamma: [a, b] \ rightarrow X$ por

$\ Text {longitud} (\ gamma) = \ sup \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ nd (\ gamma (t_i), \ gamma (t_ {i-1})): n \ in \ mathbb { N} \ text {} y a = t_0 <t_1 <\ cdots <t_n = b \ right \}.$

donde el sup es sobre todos, $n$ y todas las particiones $t_0 <t_1 <\ cdots <t_n$ de $[Una b]$ .

Una curva rectificable es una curva con longitud finita. La parametrización de $\! \, \ Gamma$ se llama (velocidad o unidad o parametrizado por longitud de arco) natural si por cualquier $t_1$ , $t_2$ en $[Una b]$ , Tenemos

$\ Text {longitud} (\ gamma | _ {[t_1, t_2]}) = | t_2-t_1 |.$

Si $\! \, \ Gamma$ es un Función Lipschitz continua, entonces es automáticamente rectificable. Por otra parte, en este caso, se puede definir la velocidad (o derivado métrico) de $\! \, \ Gamma$ en $t_0$ como

$\ Text {} velocidad (t_0) = \ limsup_ {t \ a T_0} {d (\ gamma (t), \ gamma (t_0)) \ over | t-t_0 |}$

y luego

$\ Text {longitud} (\ gamma) = \ int_a ^ b \ text {} velocidad (t) \, dt.$

En particular, si $X = \ mathbb {R} ^ n$ es un espacio euclidiano y $\ Gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ es diferenciable entonces

$\ Text {longitud} (\ gamma) = \ ^ int_a b | \ gamma '(t) | \, dt.$

Geometría diferencial

Mientras que los primeros ejemplos de curvas que se cumplen en su mayoría son curvas planas (esto es, en palabras de uso cotidiano, líneas curvas en el espacio de dos dimensiones), hay ejemplos obvios como la hélice que existe de forma natural en tres dimensiones. Las necesidades de la geometría, y también, por ejemplo, la mecánica clásica son tener una noción de la curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En la relatividad general , una línea de mundo es una curva en espacio tiempo.

Si $X$ es un variedad diferenciable, entonces podemos definir el concepto de curva diferenciable en $X$ . Esta idea general es suficiente para cubrir muchas de las aplicaciones de las curvas en las matemáticas. Desde un punto de vista local uno puede tomar $X$ ser espacio euclidiano . Por otra parte, es útil ser más general, en la que (por ejemplo), es posible definir el vectores tangentes a $X$ por medio de esta noción de curva.

Si $X$ es un múltiple liso, una curva suave en $X$ es un mapa lisa

$! \ \, \ Gamma: I \ rightarrow X.$

Esta es una noción básica. Hay ideas menos y más restringidas, también. Si $X$ es un $C ^ k$ colector (es decir, un colector cuya gráficos son $k$ veces continuamente diferenciable), y luego una $C ^ k$ curva de la $X$ es una curva tal que sólo se supone que es $C ^ k$ (Es decir, $k$ veces continuamente diferenciable). Si $X$ es una variedad analítica (esto es infinitamente diferenciable y gráficos pueden expresarse como series de potencias ), y $\ Gamma$ es un mapa analítico, entonces $\ Gamma$ se dice que es una curva analítica.

Una curva diferenciable se dice que es regular si su derivado nunca se desvanece. (En palabras, una curva regular nunca frena a una parada o retrocede sobre sí mismo.) Dos $C ^ k$ curvas diferenciables

$! \ \, \ Gamma_1: I \ rightarrow X$ y

$! \ \, \ Gamma_2: J \ rightarrow X$

se dice que son equivalentes si existe una biyectiva $C ^ k$ mapa

$\ \, P: J \ rightarrow I$

de manera que el mapa inversa

$! \ \, P ^ {- 1}: I \ rightarrow J$

es también $C ^ k$ Y

$\! \, \ Gamma_ {2} (t) = \ gamma_ {1} (p (t))$

para todos $t$ . El mapa $\ Gamma_2$ se llama un reparametrisation de $\ Gamma_1$ ; y esto hace que una relación de equivalencia en el conjunto de todos $C ^ k$ curvas diferenciables en $X$ . La $C ^ k$ arco es una clase de equivalencia de $C ^ k$ curvas bajo la relación de reparametrisation.

Curva algebraica

Curvas algebraicas son las curvas consideradas en geometría algebraica. Una curva plana algebraica es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas x, y tal que f (x, y) = 0, donde f es un polinomio en dos variables definidas sobre algún campo F. La geometría algebraica normalmente se ve no sólo a puntos con coordenadas en F, pero en todos los puntos de coordenadas en un K algebraicamente cerrado. Si C es una curva definida por una f polinomio con coeficientes en F, se dice que la curva definida sobre F. Los puntos de la curva C con coordenadas en un campo G se dice racional sobre G y pueden ser denotados C (G)); por tanto, la curva C completo = C (K).

Curvas algebraicas también pueden ser curvas en el espacio, o curvas en aún mayor dimensión, obtenido como la intersección (conjunto solución común) de más de una ecuación polinómica en más de dos variables. Mediante la eliminación de las variables (por cualquier herramienta de teoría de la eliminación), una curva algebraica puede ser proyectada sobre una curva plana algebraica, que sin embargo puede introducir singularidades tales como cúspides o puntos dobles.

Una curva plana puede también también puede ser completado en una curva en el plano proyectivo: si una curva se define por un f polinomio de grado total de d, entonces w ^d f (u / w, v / w) se simplifica a una g polinomio homogéneo (u, v, w) de grado d. Los valores de u, v, w tal que g (u, v, w) = 0 son las coordenadas homogéneas de los puntos de la finalización de la curva en el plano proyectivo y los puntos de la curva inicial son aquellos tales W no es cero. Un ejemplo es el Curva de Fermat u ⁿ + v ⁿ = w ^n, que tiene una forma afín x ⁿ + y ⁿ = 1. Un proceso similar de homogeneización puede definirse para las curvas en espacios de dimensiones superiores

Ejemplos importantes de curvas algebraicas son las cónicas , que son curvas no singulares de grado dos y género cero, y elípticas curvas , que son curvas no singulares de género examinada en la teoría de números y que tienen aplicaciones importantes para la criptografía . Debido a las curvas algebraicas en los campos de se estudian con mayor frecuencia característica cero en los números complejos , las curvas algebraicas en la geometría algebraica pueden ser considerados como verdaderos superficies. En particular, las curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares se denominan superficies de Riemann .

Recuperado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Curve&oldid=546439455 "

We provide Linux to the World