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Aritmética elemental

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Aritmética elemental es el tipo más básico de las matemáticas : se refiere a las operaciones de adición , sustracción , multiplicación y división . La mayoría de las personas aprenden elemental aritmética en escuela primaria.

Aritmética elemental comienza con los números naturales y los números arábigos utilizados para representarlos. Requiere la memorización de las tablas de sumar y tablas de multiplicar para sumar y multiplicar pares de dígitos. Sabiendo estas tablas, una persona puede realizar ciertos procedimientos conocidos para sumar y multiplicar números naturales. Otros algoritmos se utilizan para la resta y división aritmética mental es la aritmética elemental realizado en la cabeza, por ejemplo, para saber que 100 -. 37 = 63 sin el uso de papel. Es una habilidad cotidiana. Formas extendidas de cálculo mental puede implicar calculando un número extremadamente grande, pero esto es una habilidad general no se enseña en el nivel elemental.

Aritmética elemental luego pasa a fracciones , decimales , y números negativos , que pueden ser representados en un numero de linea.

Hoy en día la gente usa rutinariamente electrónicos calculadoras , cajas registradoras y equipos para llevar a cabo su aritmética elemental para ellos. A principios de herramientas de cálculo incluidos reglas de cálculo (por multiplicación, división, troncos y trig), tablas de logaritmos , nomogramas, y calculadoras mecánicas.

La cuestión de si las calculadoras se debe utilizar, y si los métodos tradicionales de cálculo manuales matemáticas todavía se les debe enseñar en la escuela primaria ha provocado polémica ya que muchos basadas en estándares textos de matemáticas omiten deliberadamente algunos o la mayoría estándar métodos de cálculo. El 1989 Normas NCTM llevaron a los planes de estudio que de-enfatizado u omitido gran parte de lo que fue considerado como la aritmética elemental en la escuela primaria, y lo reemplazó con énfasis en los temas estudiados tradicionalmente en la universidad, tales como álgebra, estadísticas y resolución de problemas y métodos de cálculo no estándar desconocido para la mayoría de los adultos.

En la antigüedad, el ábaco fue utilizado para realizar la aritmética elemental, y sigue siendo en muchas partes de Asia. Un usuario experto puede ser tan rápido con un ábaco como con una calculadora, que puede requerir baterías.

En el siglo 14 números árabes fueron introducidas en Europa por Leonardo Pisano. Estos números fueron más eficientes para realizar cálculos que números romanos , debido al sistema posicional.

Los dígitos

0, cero , representa ausencia de objetos para ser contado.
1, uno . Esto es un palo: I
2, dos. Se trata de dos palos: II
3, tres. Se trata de tres palos: III
4, cuatro. Se trata de cuatro palos: II I I
5, cinco. Se trata de cinco palos: II I II
6, seis. Se trata de seis palos: II I III
7, siete. Se trata de siete palos: II I II I I
8, ocho. Se trata de ocho palos: II I II I II
9, nueve. Se trata de nueve palos: II I II I III
Hay tantos dígitos como los dedos de las manos: la palabra "dígitos" también puede significar dedo. Pero si contar los dígitos en las dos manos, la primera cifra sería uno y el último dígito no se cuentan como "cero", sino como " diez ":.. 10, compuesto por los dígitos uno y cero El número 10 es el primer número de dos dígitos Esta es diez palos: II I II I II II

Si un número tiene más de un dígito, el dígito de la derecha, que dice ser el último dígito, que se llama "los dígitos". El dígito inmediatamente a su izquierda es el "decenas dígitos". El dígito inmediatamente a la izquierda de las decenas dígitos es el "cientos dígitos". El dígito inmediatamente a la izquierda de la cientos dígitos es el "miles dígitos".

Adición

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

¿Qué significa para sumar dos números naturales? Suponga que tiene dos bolsas, una bolsa de la celebración de cinco manzanas y una segunda bolsa de la celebración de tres manzanas. Agarrando una tercera bolsa, vacío, mover todas las manzanas de la primera y segunda bolsas en la tercera bolsa. La tercera bolsa tiene ahora ocho manzanas. Esto ilustra la combinación de tres manzanas y cinco manzanas es de ocho manzanas; o más en general: "tres más cinco es ocho" o "tres más cinco es igual a ocho" o "el ocho es la suma de tres y cinco". Los números son abstractos, y la adición de un grupo de tres cosas a un grupo de cinco cosas rendirán un grupo de ocho cosas. Además es un reagrupamiento: dos juegos que se cuentan por separado se colocan en un solo grupo y cuentan juntas de objetos: la cuenta del nuevo grupo es la "suma" de las cuentas separadas de los dos grupos originales.

Simbólicamente, además está representada por la " signo más ":. + Así que la declaración" tres más cinco es igual a ocho "puede escribirse simbólicamente como 3 + 5 = 8. El orden en que se añaden dos números, no importa, así que 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Esta es la conmutativa propiedad de adición.

Para añadir un par de dígitos utilizando la tabla, encontrar la intersección de la fila de la primera dígitos con la columna de la segunda dígitos: la fila y la columna se cortan en un cuadrado que contiene la suma de los dos dígitos. Algunos pares de dígitos se suman a números de dos dígitos, con las decenas dígitos siempre ser un 1. En el algoritmo Además de las decenas dígitos de la suma de un par de dígitos que se llama la " llevar dígito ".

Algoritmo de adición

Para simplificar, considere sólo números con tres dígitos o menos. Para agregar un par de números (escrito en números arábigos), escriba el segundo número con el primero, por lo que los dígitos se alinean en columnas: la columna de la derecha contendrá la los dígitos de la segunda serie bajo la los dígitos de la primer número. Esta columna más a la derecha es los de la columna. La columna inmediatamente a su izquierda es la columna de la decenas. El decenas columna tendrá las decenas dígitos del segundo número (si lo tiene) en virtud de las decenas dígitos del primer número (si lo tiene). La columna situada inmediatamente a la izquierda de decenas-columna es cientos-columna. La cientos columna se alinea el cientos dígitos del segundo número (si lo hay) bajo el cientos dígitos del primer número (si lo hay).

Después de que el segundo número se ha escrito bajo el primero, así que los dígitos se alinean en sus columnas correctas, trazar una línea bajo el segundo número (abajo). Comience con los de la columna: los de la columna debe contener un par de dígitos: el los dígitos del primer número y, debajo de ella, los dígitos del segundo número. Encuentra la suma de estas dos cifras: escribir esta suma bajo la línea y en los de la columna. Si la suma tiene dos dígitos, a continuación, escriba sólo los dígitos de la suma. Escribir la "llevar dígito" por encima de la parte superior dígitos de la columna siguiente: en este caso la siguiente columna es de decenas-la columna de la, por lo que escribir una 1 por encima de la decenas dígitos del primer número.

Si ambos primero y segundo tienen cada número de un solo dígito se da entonces su suma en la tabla Además, y el algoritmo de adición es innecesaria.

Luego viene decenas-columna. El decenas columna puede contener dos dígitos: las decenas dígitos del primer número y las decenas dígitos del segundo número. Si uno de los números tiene un decenas dígitos falta entonces el decenas dígitos para este número puede ser considerado como un cero. Añadir las decenas-dígitos de los dos números. Entonces, si no es un dígito de acarreo, agregarlo a esta suma. Si la suma era 18 a continuación, añadir el acarreo dígitos a ella se dió 19. Si la suma de las decenas dígitos (además de llevar a dígitos, si es que existe) es menor que diez después la escribe en la columna de la decenas debajo de la línea. Entonces, si la suma tiene dos dígitos escribir su último dígito de decenas la columna de la debajo de la línea, y llevar a su primer dígito (que debe ser un uno) a la siguiente columna: en este caso la columna de la cientos.

Si ninguno de los dos números tiene un cientos dígitos a continuación, si no hay carry dígitos entonces el algoritmo Además ha terminado. Si hay un dígito acarreo (prorrogados de decenas-columna) después la escribe en cientos-columna debajo de la línea, y el algoritmo está terminado. Cuando el algoritmo termina, el número debajo de la línea es la suma de los dos números.

Entonces, si al menos uno de los números tiene un cientos dígitos a continuación, si uno de los números tiene un cientos dígitos falta escribir un dígito cero en su lugar. Añadir las dos centenas-dígitos, y su suma añadir el carry dígito si es que existe. A continuación, escriba la suma de cientos-columna debajo de la línea, también en la columna cientos. Entonces, si la suma tiene dos dígitos anotar el último dígito de la suma de cientos-columna y escribir el acarreo de dígitos a su izquierda: en miles-columna.

Ejemplo

Decir que uno quiere encontrar la suma de los números 653 y 274. Escriba el segundo número con la primera, con los dígitos alineados en columnas, así:

6 5 3
2 7 4

A continuación, dibuje una línea bajo el segundo número y comenzar con los de la columna. El los dígitos del primer número es 3 y el segundo número es 4. La suma de tres y cuatro es siete, así que escribir siete de los de la columna debajo de la línea:

6 5 3
2 7 4
7

A continuación, la columna de la decenas. El decenas dígitos del primer número es 5, y las decenas dígitos del segundo número es 7, y cinco más siete es de doce: 12, que tiene dos dígitos, por lo que escribir el último dígito, 2, en la columna de la decenas- debajo de la línea, y escribir el acarreo dígitos en cientos-columna por encima de la primera serie:

1
6 5 3
2 7 4
2 7

A continuación, cientos-columna. La cientos dígitos del primer número es 6, mientras que el cientos dígitos del segundo número es 2. La suma de seis y dos es ocho, pero no es un dígito de acarreo, que se añadieron a ocho es igual a nueve. Escriba el nueve por debajo del umbral en cientos-columna:

1
6 5 3
2 7 4
9 2 7

No hay cifras (y sin columnas) se han quedado unadded, por lo que el algoritmo termina, y

653 + 274 = 927.

Sucesión y tamaño

El resultado de la adición de uno a un número es el sucesor de ese número. Ejemplos:
el sucesor de cero es uno,
el sucesor de uno es dos,
el sucesor de dos es tres,
el sucesor de diez es once.
Cada número natural tiene un sucesor.

El predecesor del sucesor de un número es el número mismo. Por ejemplo, cinco es el sucesor de cuatro, por tanto, cuatro es el predecesor de cinco. Cada número natural excepto cero tiene un predecesor.

Si un número es el sucesor de otro número, entonces el primer número se dice que es más grande que el otro número. Si un número es mayor que otro número, y si el otro número es mayor que un tercer número, entonces el primer número es también mayor que el tercer número. Ejemplo: cinco es mayor que cuatro, y cuatro es mayor que tres, por lo tanto, cinco es mayor que tres. Pero seis es mayor que cinco, seis, por lo tanto también es mayor que tres. Pero el siete es mayor que seis, por lo tanto, siete también es mayor que tres ... por lo tanto, ocho es mayor que tres ... por lo tanto, nueve es mayor que tres, etc.

Si se suman dos números naturales distintos de cero, entonces su suma es mayor que cualquiera de ellos. Ejemplo: tres más cinco es igual a ocho, por lo tanto, ocho es mayor de tres (8> 3) y ocho es mayor que cinco (8> 5). El símbolo de "mayor que" es>.

Si un número es más grande que otro, entonces el otro es más pequeño que el primero. Ejemplos: tres es menor de ocho (3 <8) y cinco es menor de ocho (5 <8). El símbolo más pequeño que es <. Un número no puede ser al mismo tiempo más grande y más pequeño que otro número. Tampoco puede ser un número al mismo tiempo mayor que e igual a otro número. Teniendo en cuenta un par de números naturales, uno y sólo uno de los casos siguientes deben ser verdaderas:

  • el primer número es mayor que el segundo,
  • el primer número es igual a la segunda,
  • el primer número es menor que el segundo.

Contando

Para contar un grupo de objetos significa asignar un número natural a cada uno de los objetos, como si se tratara de una etiqueta para ese objeto, de tal manera que un número natural no está asignado a un objeto a menos que su predecesor ya ha sido asignado a otro objeto, con la excepción de que cero no se asigna a cualquier objeto: el número natural más pequeño para ser asignado es uno, y el número natural más grande asignada depende del tamaño del grupo. Se llama el recuento y es igual al número de objetos en ese grupo.

El proceso de contar un grupo es la siguiente:
Paso 1: Que "la cuenta" sea igual a cero. "El recuento" es una cantidad variable, que aunque comenzando con un valor de cero, pronto tendrá su valor cambió varias veces.
Paso 2: Encontrar al menos un objeto en el grupo que no se ha marcado con un número natural. Si hay tal objeto se puede encontrar (si es que han sido etiquetadas), entonces el conteo ha terminado. De lo contrario, elija uno de los objetos no marcados.
Paso 3: Aumentar la cuenta en uno. Es decir, sustituir el valor de la cuenta por su sucesor.
Paso 4: Asignar el nuevo valor de la cuenta, como una etiqueta, al objeto sin etiqueta elegida en el paso 2.
Paso 5: Vuelva al paso 2.

Cuando termine el conteo, el último valor de la cuenta será el conteo final. Este conteo es igual al número de objetos en el grupo.

A menudo, cuando se cuentan los objetos, uno no hace un seguimiento de lo que corresponde a la etiqueta numérica que objetar: sólo comprueba el subgrupo de los objetos que ya han sido etiquetados, con el fin de ser capaces de identificar objetos no marcados necesario para el paso 2. Sin embargo , si uno está contando personas, entonces se puede pedir a las personas que se están contando a cada uno llevar un registro de la cantidad que yo de la persona se le ha asignado. Tras el recuento ha terminado, es posible pedir al grupo de personas para presentar en una línea, con el fin de incrementar la etiqueta numérica. Lo que las personas harían durante el proceso de alinear sería algo como esto: cada par de personas que no están seguros de sus posiciones en la línea de preguntarse unos a otros lo que sus números son: la persona cuyo número es más pequeño debe estar en el lado izquierdo y el que tiene el número más grande en el lado derecho de la otra persona. Por lo tanto, las parejas de personas comparan sus números y sus posiciones, y conmutan sus posiciones como sea necesario, y por medio de la repetición de tales conmutaciones condicionales se convierten ordenados.

Algoritmos para la resta

Hay varios métodos para lograr la resta. Matemáticas tradicionales enseñaron a los niños de la escuela primaria a restar usando métodos adecuados para el cálculo de la mano. El método particular utilizado varía de un país de un país, y dentro de un país, diferentes métodos están de moda en diferentes momentos. Matemáticas basadas en estándares general, se caracterizan por la falta de preferencia por ningún método estándar, sustituido por guiar a los niños de 2do grado de inventar sus propios métodos de cálculo, tales como el uso de las propiedades de los números negativos en el caso de TERC.

Escuelas estadounidenses actualmente enseñan un método de sustracción utilizando el endeudamiento y un sistema de marcas denominado muletas. Aunque un método de endeudamiento había sido conocido y publicado en los libros de texto antes, al parecer las muletas son la invención de William A. Browell quien los utilizó en un estudio en noviembre de 1937 . Este sistema atrapado en rápidamente, desplazando a los otros métodos de sustracción en uso en los Estados Unidos en ese momento.

Niños europeos se les enseña, y algunos estadounidenses mayores emplean, un método de sustracción denomina método austriaco, también conocido como el método de adiciones. No hay endeudamiento en este método. También hay muletas (marcas para ayudar a la memoria) que [probablemente] varían según el país.

En el método de los préstamos, una resta, como 86-39 logrará de un lugar de sustracción de 9 del 6 por préstamos a 10 de 80 y de añadir a la 6. El problema de este modo se transforma en (70 + 16) -39, eficazmente. Esto se indica por golpear a través de la 8, escribiendo un pequeño 7 por encima de ella, y escribir un pequeño 1 por encima de la 6. Estas marcas se llaman muletas. El 9 se resta de 16, dejando 7 y el 30 de la 70, dejando 40, o 47 como el resultado.

En el método de adiciones, a 10 es prestado para hacer la 6 en 16, en preparación para la sustracción de 9, al igual que en el método de préstamos. Sin embargo, el 10 no se toma mediante la reducción de minuendo, más bien aumenta el sustraendo. Efectivamente, el problema se transforma en (80 + 16) - (39 + 10). Normalmente, una muleta de un pequeño está marcado justo debajo de la cifra del sustraendo como recordatorio. Entonces las operaciones continúan: 9 de 16 es 7; y 40 (es decir, 30 + 10) a partir de 80 es 40 o 47 como el resultado.

El método de adiciones parecen ser enseñado en dos variantes, que difieren sólo en la psicología. Continuando con el ejemplo de 86 a 39, la primera variación intenta restar 9 de 6, y luego 9 de 16, tomando prestado un 10 marcando cerca de la cifra del sustraendo en la siguiente columna. La segunda variación intenta encontrar un dígito que, cuando se añade a 9 da 6, y reconociendo que no es posible, da 16, y llevar a la 10 de los 16 como una marca cerca de la misma cifra que en el primer método. Las marcas son los mismos, es sólo una cuestión de preferencia en cuanto a cómo se explica su aparición.

Como precaución final, el método de endeudamiento pone un poco complicado en casos como el 100-87, donde un préstamo no se puede hacer de inmediato, y se debe obtener al alcanzar la mayoría de las columnas. En este caso, el minuendo se regrabadas efectivamente como 90 + 10, mediante la adopción de un cien de los cientos, haciendo diez decenas de ella, y de inmediato los préstamos que hasta 9 decenas en la columna de las decenas y finalmente la colocación de un diez en la columna de la .

Hay varios otros métodos, algunos de los cuales son particularmente ventajosos para el cálculo de la máquina. Por ejemplo, las computadoras digitales emplean el método de complemento a dos. De gran importancia es el método de recuento por el que se hace el cambio. Supongamos que una cantidad P se da para pagar la cantidad requerida Q, con P mayor que P. En lugar de realizar el PQ resta y contando esa cantidad en cambio, el dinero se contó a partir de Q y continuando hasta llegar a P. Curiosamente, aunque el cantidad contada salida debe ser igual al resultado del PQ resta, la resta nunca fue realmente hecho y el valor de PQ aún podría ser desconocido para el cambio de decisiones.

1 Resta en los Estados Unidos: Una Perspectiva Histórica, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, El Educador Matemáticas, Vol. 8, No. 1.

Browell, WA (1939). El aprendizaje como la reorganización: un estudio experimental en la aritmética de tercer grado, Duke University Press.

Ver también:

  • Método de complementos
  • Resta sin endeudamiento

Multiplicación

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Cuando dos números se multiplican entre sí, el resultado se llama un producto. Los dos números que se multiplican se llaman factores.

¿Qué significa para multiplicar dos números naturales? Supongamos que hay cinco bolsas rojas, cada uno con tres manzanas. Ahora agarrando una bolsa vacía de color verde, mover todas las manzanas de los cinco bolsas rojas en la bolsa verde. Ahora la bolsa verde tendrá quince manzanas. Así, el producto de cinco y tres es de quince. Esto también puede ser declarado como "cinco veces tres es de quince" o "cinco veces tres es igual a quince" o "quince es el producto de cinco y tres". La multiplicación puede ser visto como una forma de suma repetida: el primer factor indica cuántas veces debe añadirse el segundo factor en sí mismo; la suma final que es el producto.

Simbólicamente, la multiplicación es representado por el signo de multiplicación: \ épocas . Así que la declaración "cinco veces tres es igual a quince" puede escribirse simbólicamente como

5 \ veces 3 = 15. \

En algunos países, y en más aritmética avanzada, se usan otros signos de multiplicar, por ejemplo, 5 \ cdot3 . En algunas situaciones, especialmente en álgebra , donde los números pueden ser simbolizados con las letras, el símbolo de multiplicación puede omitirse; por ejemplo, xy medio x \ y veces . El orden en que se multiplican dos números no importa, de modo que, por ejemplo, tres es igual a cuatro veces cuatro veces tres. Esta es la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Para multiplicar un par de dígitos utilizando la tabla, encontrar la intersección de la fila de la primera dígitos con la columna de la segunda dígitos: la fila y la columna se cortan en un cuadrado que contiene el producto de los dos dígitos. La mayoría de los pares de dígitos producen números de dos dígitos. En el algoritmo de la multiplicación se denomina decenas dígitos del producto de un par de dígitos que el " llevar dígito ".

Algoritmo de la multiplicación de un factor de un dígito

Considere una multiplicación donde uno de los factores tiene sólo un dígito, mientras que el otro factor tiene una cantidad arbitraria de dígitos. Anote el factor de varios dígitos, a continuación, escribir el factor de un dígito bajo el último dígito del factor de varios dígitos. Dibuja una línea horizontal bajo el factor de un solo dígito. A partir de entonces, el factor de un dígito se llama el "multiplicador" y el factor de varios dígitos se llamará "multiplicando".

Supongamos, por simplicidad que el multiplicando tiene tres dígitos. El primer dígito es el cientos dígitos, el dígito medio es el de decenas dígitos, y el último, más a la derecha, es el dígito los dígitos. El multiplicador sólo tiene un los dígitos. Los más-dígitos del multiplicando y el multiplicador forman una columna: los de la columna.

Comience con los de la columna: los de la columna debe contener un par de dígitos: el los dígitos del multiplicando y, debajo de ella, los dígitos del multiplicador. Encontrar el producto de estos dos dígitos: escribir este producto bajo la línea y en los de la columna. Si el producto tiene dos dígitos, a continuación, escriba sólo los dígitos del producto. Escriba el "carry dígitos" como un exponente de la cifra todavía-no escrita en la siguiente columna y debajo de la línea: en este caso la siguiente columna es decenas-columna, por lo que escribir el carry dígitos como el exponente de las decenas todavía-no escritas -dígitos del producto (en la línea).

Si la primera y segunda serie tienen cada uno un solo dígito entonces su producto está dada en la tabla de multiplicar, y el algoritmo de la multiplicación es innecesario.

Luego viene decenas-columna. El decenas columna contiene hasta ahora sólo un dígito: las decenas dígitos del multiplicando (aunque podría contener un dígito llevar debajo de la línea). Encontrar el producto del multiplicador y las decenas dígitos del multiplicando. Entonces, si no es un dígito de acarreo (superíndice, en virtud de la línea y en la columna de la decenas), añadir a este producto. Si la cantidad resultante sea inferior al diez después la escribe en decenas columna debajo de la línea. Entonces, si la suma tiene dos dígitos escribir su último dígito de decenas la columna de la debajo de la línea, y llevar a su primera dígitos a la siguiente columna: en este caso la columna de la cientos.

Si el multiplicando no tiene cientos dígitos a continuación, si no hay carry dígitos entonces el algoritmo de la multiplicación ha terminado. Si hay un dígito acarreo (prorrogados de decenas-columna) después la escribe en cientos-columna debajo de la línea, y el algoritmo está terminado. Cuando el algoritmo termina, el número debajo de la línea es el producto de los dos números.

Si el multiplicando tiene cientos dígitos ... encontrar el producto del multiplicador y el cientos dígitos del multiplicando, y para este producto añadir el carry dígito si es que existe. A continuación, escriba la suma resultante de cientos-columna debajo de la línea, también en la columna cientos. Entonces, si la suma tiene dos dígitos anotar el último dígito de la suma de cientos-columna y escribir el acarreo de dígitos a su izquierda: en miles-columna.

Ejemplo

Decir que uno quiere encontrar el producto de los números 3 y 729. Escriba el multiplicador de un dígito bajo el multiplicando varios dígitos, con el multiplicador bajo la los dígitos del multiplicando, así:

7 2 9
3

A continuación, dibuje una línea bajo el multiplicador y comenzar con los de la columna. El los dígitos del multiplicando es de 9 y el multiplicador es de 3. El producto de tres y nueve es 27, por lo que escribir un siete en los de la columna debajo de la línea, y escribir el equipaje de dígitos 2 como un exponente de la aún -unwritten decenas dígitos del producto en la línea:

7 2 9
_ _ 3
2 7

A continuación, la columna de la decenas. El decenas dígitos del multiplicando es 2, el multiplicador es 3, y tres veces dos es seis. Añadir el equipaje de dígitos, 2, a la lista de 6 para obtener 8. Ocho tiene un solo dígito: hay acarreo dígitos, por lo que escribir en decenas columna debajo de la línea:

7 2 9
_ _ 3
8 2 7

A continuación, cientos-columna. La cientos dígitos del multiplicando es 7, mientras que el multiplicador es 3. El producto de tres y siete es 21, y no hay carry dígitos anterior (transferidos de decenas la columna de la). El producto 21 tiene dos dígitos: escribir el último dígito en cientos-columna debajo de la línea, a continuación, llevar a su primer dígito a miles-columna. Desde el multiplicando tiene miles dígitos, luego escribir este carry dígitos en miles-columna debajo de la línea (no superíndice):

7 2 9
_ _ _ 3
2 1 8 2 7

No hay cifras del multiplicando han quedado no multiplicado, por lo que el algoritmo termina, y

   3 \ veces 729 = 2187  . 

Algoritmo de la multiplicación de los factores de varios dígitos

Dado un par de factores, cada uno con dos o más dígitos, escribir ambos factores abajo, uno bajo el otro, de modo que los dígitos se alinean en columnas.

Para simplificar considerar un par de números de tres dígitos. Escriba el último dígito del segundo número con el último dígito del primer número, formando los de la columna. Inmediatamente a la izquierda de los de la columna de la será decenas-columna: la parte superior de esta columna tendrá el segundo dígito del primer número, y debajo de él será el segundo dígito del segundo número. Inmediatamente a la izquierda de decenas columna será cientos-columna: la parte superior de esta columna tendrá el primer dígito del primer número y debajo de él será el primer dígito del segundo número. Después de haber anotado los dos factores, trazar una línea bajo el segundo factor.

La multiplicación constará de dos partes. La primera parte constará de varias multiplicaciones involucran multiplicadores de un dígito. El funcionamiento de cada una de esas multiplicaciones ya fue descrito en el algoritmo de la multiplicación anterior, por lo que este algoritmo no describirá cada uno individualmente, pero sólo describirá cómo se coordinarán las varias multiplicaciones con multiplicadores de un dígito. La segunda parte se suman todos los subproductos de la primera parte, y la suma resultante será el producto.

Primera parte. Deja que el primer factor se llama el multiplicando. Que cada dígito del segundo factor de ser llamado un multiplicador. Deja que el los dígitos del segundo factor se denomina "los multiplicador". Deje que las decenas dígitos del segundo factor se llama el "decenas multiplicador". Que el cientos dígitos del segundo factor se llama el "cientos multiplicador".

Comience con los de la columna. Encontrar el producto de la los de multiplicador y el multiplicando y anótelo en una fila debajo de la línea, la alineación de los dígitos del producto en las columnas definidas previamente. Si el producto tiene cuatro dígitos, entonces el primer dígito será el comienzo de miles-columna. Deje que este producto se denominará "las filas".

Entonces decenas la columna de la. Encontrar el producto de las decenas multiplicador y el multiplicando y anótelo en una fila - lo llaman el "decenas fila" - bajo la fila queridos, pero desplazado una columna a la izquierda. Es decir, el los dígitos de la fila decenas estará en decenas columna de la fila de los del; las decenas dígitos de la fila decenas estará bajo la cientos dígitos de la fila queridos; el cientos dígitos de la fila decenas estará bajo la miles dígitos de la fila queridos. Si la fila decenas dispone de cuatro dígitos, entonces el primer dígito será el comienzo de las decenas de millar-columna.

A continuación, cientos-columna. Encontrar el producto de la cientos multiplicador y el multiplicando y anótelo en una fila - lo llaman el "cientos fila" - bajo la fila de decenas, pero desplazado una columna más a la izquierda. Es decir, los dígitos de la fila de cientos estará en cientos-columna; las decenas dígitos de la fila de cientos estará en miles-columna; el cientos dígitos de la fila de cientos estará en las decenas de millar-columna. Si la fila de cientos dispone de cuatro dígitos, entonces el primer dígito será el comienzo de las centenas de millar-columna.

Después de haber pulsado el fila unidades, decenas fila, y cientos fila, trazar una línea horizontal debajo de la fila de cientos de personas. Las multiplicaciones han terminado.

Segunda parte. Ahora, la multiplicación tiene un par de líneas. El primero uno bajo el par de factores, y la segunda en las tres filas de subproductos. En virtud de la segunda línea habrá seis columnas, que de derecha a izquierda son las siguientes: las columnas, decenas de columnas, cientos de columnas, miles de columnas, las decenas de millar de columnas y las centenas de millar-columna.

Entre la primera y segunda líneas, los de la columna contendrá sólo un dígito, que se encuentra en la fila de los: es el los dígitos de la fila queridos. Copia este dígitos reescribiendo en los de la columna de la virtud de la segunda línea.

Entre la primera y segunda líneas, decenas columna contendrá un par de dígitos situados en la fila queridos y la fila de decenas: las decenas dígitos de la fila de tamaño y los dígitos de la fila decenas. Añadir estos dígitos y luego si la suma tiene un solo dígito escribir este dígito en la columna de la decenas-bajo la segunda línea. Si la suma tiene dos dígitos, entonces el primer dígito es un acarreo dígitos: escribir el último dígito en decenas columna debajo de la segunda línea y realizar el primer dígito a cientos-columna, escribirlo como un exponente de la aún -unwritten cientos dígitos bajo la segunda línea.

Entre la primera y segunda líneas, cientos-columna contendrá tres dígitos: el cientos dígitos del las filas, las decenas dígitos de la fila diez, y el los dígitos de la fila de cientos de personas. Encuentra la suma de estos tres dígitos, y si hay un acarreo dígitos de decenas-columna (escrito en superíndice bajo la segunda línea en cientos-columna) y luego agregar este carry dígitos también. Entonces, si la suma resultante tiene un dígito anotarlo bajo la segunda línea en cientos-columna; a continuación, si tiene dos dígitos escribir el último dígito por debajo de la línea de cientos-columna, y llevar el primer dígito a miles-columna, escribirlo como un exponente de la aún-no escrito miles dígitos bajo la línea.

Entre la primera y segunda líneas, miles-columna contendrá dos o tres dígitos: el cientos dígitos de la fila de decenas, decenas dígitos de la fila de cientos, y (posiblemente) el miles dígitos de los -row. Encuentra la suma de estos dígitos, entonces si hay un acarreo dígitos de centenares-columna (escrito en superíndice bajo la segunda línea en miles-columna) y luego agregar este carry dígitos también. Entonces, si la suma resultante tiene un dígito anotarlo bajo la segunda línea en miles-columna; a continuación, si tiene dos dígitos escribir el último dígito por debajo de la línea en miles-columna, y llevar a la primera cifra a decenas de millar-columna, escribirlo como un exponente de la aún-no escrito decenas de millar dígitos bajo la línea.

Entre la primera y segunda líneas, las decenas de millar-columna contendrá uno o dos dígitos: el cientos cifras de cientos-columna y (posiblemente) el miles dígitos de decenas-columna. Encuentra la suma de estas cifras (si el que está en la fila de decenas falta piensan que es un cero), y si hay un acarreo dígitos de miles-columna (escrito en superíndice bajo la segunda línea de la tensión miles de columna) y luego añadir este carry dígitos también. Entonces, si la suma resultante tiene un dígito anotarlo bajo la segunda línea en las decenas de millar-columna; a continuación, si tiene dos dígitos escribir el último dígito por debajo de la línea de las decenas de millar-columna, y llevar a la primera cifra a las centenas de millar-columna, escribirlo como un exponente de la aún-no escrito decenas de millar dígitos debajo de la línea. Sin embargo, si la fila tiene cientos de miles dígitos entonces no escribir este carry dígitos como un exponente, pero en tamaño normal, en la posición del centenas de millar dígitos bajo la segunda línea, y el algoritmo de la multiplicación es más .

Si la fila de cientos tiene un miles dígitos, a continuación, añadir a ello el equipaje de dígitos de la fila anterior (si no hay acarreo dígitos luego pensar en él como un cero) y escribir la suma de un dígito en los cien -miles-columna en la segunda línea.

El número bajo la segunda línea es el producto buscado después del par de factores por encima de la primera línea.

Ejemplo

Deje que nuestro objetivo sea encontrar el producto de 789 y 345. Escriba el 345 bajo los 789 en tres columnas, y trazar una línea horizontal debajo de ellos:

7 8 9
3 4 5

Primera parte. Comience con los de la columna. El multiplicando es 789 y el los de multiplicador es 5. Realice la multiplicación en una fila debajo de la línea:

7 8 9
   3 4 5
3 9 4 4 4 5

Entonces decenas la columna de la.El multiplicando es 789 y las decenas-multiplicador es 4. Lleve a cabo la multiplicación de la fila de decenas, bajo el subproducto anterior de la fila queridos, pero cambió de una columna a la izquierda:

7 8 9
     3 4 5
3 94 44 5
3 13 53 6

A continuación, cientos-columna. El multiplicando es una vez más 789, y los cientos-multiplicador es 3. Realizar la multiplicación en la fila de cientos, bajo el subproducto anterior en la fila de decenas, pero cambió de uno (más) columna a la izquierda. A continuación, dibuje una línea horizontal debajo de la fila de cientos:

7 8 9
       3 4 5
3 94 44 5
3 13 53 6
2 32 62 7     

Segunda parte.Ahora agregue los subproductos entre la primera y segunda líneas, pero haciendo caso omiso de cualquier equipaje de dígitos superíndice ubicadas entre la primera y segunda líneas.

7 8 9
       3 4 5
3 94 44 5
3 13 53 6
2 32 62 7     
2 71 22 21 0 5

La respuesta es

789 \times 345 = 272205.
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