Crecimiento exponencial

En las matemáticas , el crecimiento exponencial (o crecimiento geométrico) se produce cuando la tasa de crecimiento de una función es siempre proporcional al tamaño actual de la función. Este crecimiento se dice que siga una ley exponencial; el modelo de crecimiento exponencial simple es conocido como el Modelo de crecimiento maltusiano. Para cualquier cantidad exponencialmente creciente, mayor es la cantidad, más rápido crece. Un refrán alternativa es "La tasa de crecimiento es proporcional al estado de crecimiento". La relación entre el tamaño de la variable dependiente y su tasa de crecimiento se rige por una ley estricta de la clase más simple: proporción directa. Se demuestra en el cálculo de que esta ley requiere que la cantidad viene dada por la función exponencial , si utilizamos la escala de tiempo correcto. Esto explica el nombre.

Fórmula básica

Si y crece de forma exponencial en función de x (x es a menudo el pensamiento de como el tiempo), entonces

donde a es el valor inicial de Y, es decir, una es lo que y es cuando x = 0, y b es proporcional a la tasa de crecimiento inicial.

Ejemplo: Si una especie de bacterias se duplica cada diez minutos, comenzando con una sola bacteria, cuántas bacterias estarían presentes después de una hora?

Después de seis (6) intervalos de 10 minutos, no habría 64 bacterias.

Esto también funciona con decaimiento exponencial. En ese caso b es menor que 1:

Intuición

El crecimiento exponencial frase se utiliza a menudo en contextos no técnicos para significar el crecimiento meramente sorprendentemente rápido. En un sentido estrictamente matemático, sin embargo, el crecimiento exponencial tiene un significado preciso y no significa necesariamente que el crecimiento va a suceder rápidamente. De hecho, una población puede crecer de forma exponencial pero a un ritmo muy lento absoluta (como cuando el dinero en una cuenta bancaria gana una tasa de interés muy baja, por ejemplo), y puede crecer sorprendentemente rápido sin crecer de forma exponencial. Y algunas funciones, como la función logística, el crecimiento exponencial aproximado sobre sólo una parte de su gama. La sección de "detalles técnicos" a continuación explica exactamente lo que se requiere para una función a mostrar el verdadero crecimiento exponencial.

Pero el principio general del crecimiento exponencial es que cuanto mayor sea el número, más rápido crece. Cualquier número exponencialmente creciente finalmente crecerá más grande que cualquier otro número que crece a sólo una tasa constante para la misma cantidad de tiempo (y también crecerá más grande que cualquier función que crece sólo subexponentially). Esto se demuestra por el enigma clásico en el que un niño se le ofrece dos opciones para una asignación semanal creciente: la primera opción comienza en 1 centavo y se duplica cada semana, mientras que la segunda opción comienza en $ 1 y se incrementa en $ 1 cada semana. Aunque la segunda opción, que crece a una tasa constante de 1 $ / semana, paga más en el corto plazo, la primera opción, finalmente, crece mucho más grande:

El gráfico ilustra cómo un crecimiento exponencial supera ambos crecimientos lineales y cúbicos

Podemos describir estos casos matemáticamente. En el primer caso, el subsidio en la semana n es 2 ⁿ centavos; por lo tanto, en la semana 15 el pago es de 2 ¹⁵ = 32.768 ¢ = $ 327.68. Todas las fórmulas de la forma k ^n, donde k es un número mayor que 1 invariable (por ejemplo, 2), y n es la cantidad de tiempo transcurrido, crecen exponencialmente. En el segundo caso, el pago en la semana n es simplemente n + 1 dólares. El pago crece a una tasa constante de $ 1 por semana.

Esta imagen muestra un poco más complicado ejemplo de una función exponencial adelantamientos funciones subexponencial:

La línea roja representa 50 x, similar a la opción 2 en el ejemplo anterior, excepto el aumento en un 50 por semana en lugar de 1. Su valor es más grande hasta que x consigue alrededor de 7. La línea azul representa el polinomio x ^3. Polinomios crecen subexponentially, ya que el exponente (3 en este caso) se mantiene mientras que la base (x) los cambios constante. Esta función es más grande que los otros dos cuando x es entre aproximadamente 7 y 9. A continuación, la función exponencial 2 ^x (en verde) se hace cargo y se hace mayor que las otras dos funciones para todo x mayor que alrededor de 10.

Cualquier cosa que crece en el mismo porcentaje cada año (o cada mes, día, hora, etc.) está creciendo de manera exponencial. Por ejemplo, si el número medio de descendientes de cada individuo (o par) en una población permanece constante, la tasa de crecimiento es proporcional al número de individuos. Tal una población en crecimiento exponencial crece tres veces más rápido cuando hay seis millones de personas como lo hace cuando hay dos millones. Las cuentas bancarias con tasa fija interés compuesto crecer exponencialmente siempre que no existan depósitos, retiros o cargos por servicios. Matemáticamente, el saldo de la cuenta bancaria de una cuenta a partir de s de dólares, ganando un r tasa de interés anual y dejado intacto durante n años se puede calcular como . Así, en una cuenta a partir de $ 1 y gana el 5% anual, la cuenta tendrá después de 1 año, después de 10 años, y $ 131.50 después de 100 años. Dado que el saldo inicial y el ritmo no cambian, la cantidad puede funcionar como el valor k en la fórmula k ⁿ dado anteriormente.

Detalles técnicos

Sea X una cantidad creciente de manera exponencial con respecto al tiempo t. Por definición, la tasa de cambio dx / dt obedece a la ecuación diferencial :

donde k ≠ 0 es la constante de proporcionalidad (relacionada con el número promedio de hijos por individuo en el caso de la población). (Ver función logística para una simple corrección de este modelo de crecimiento donde k no es constante). La solución a esta ecuación es la función exponencial - De ahí el nombre de crecimiento exponencial ('e' ser un constante matemática). La constante es el tamaño inicial de la población.

A largo plazo, el crecimiento exponencial de cualquier tipo superará el crecimiento lineal de cualquier tipo (la base de la Catástrofe maltusiana) así como cualquier polinomio de crecimiento, es decir, para todos α:

Hay toda una jerarquía de las tasas de crecimiento concebibles que son más lentos que exponencial y más rápido que lineal (en el largo plazo). Las tasas de crecimiento también pueden ser más rápido que exponencial. Los modelos lineales y exponenciales no son más que los candidatos simples pero son los de mayor ocurrencia en la naturaleza.

En la ecuación diferencial anterior, si k <0, entonces la cantidad experiencias decaimiento exponencial.

Magnitudes características del crecimiento exponencial

La ley de crecimiento exponencial puede ser escrita en diferentes pero matemáticamente equivalentes formas, mediante el uso de una diferente de base . Las formas más comunes son los siguientes:

donde como en el ejemplo anterior x ₀ expresa la cantidad inicial (es decir, x (t) para t = 0).

La cantidad k se denomina la constante de crecimiento; la cantidad r se conoce como la tasa de crecimiento (por ciento de aumento por unidad de tiempo); es el tiempo e-plegable; y T es la tiempo de duplicación. Indicando uno de estos cuatro cantidades equivalentes automáticamente permite calcular los otros tres, que están conectados por la siguiente ecuación (que se puede derivar tomando el logaritmo natural de la anterior):

Un método popular para aproximar el cálculo del tiempo de duplicación de la tasa de crecimiento es el Estado de 70, es decir, (O mejor: ).

Limitaciones de los modelos exponenciales

Un punto importante sobre el crecimiento exponencial es que incluso cuando parece lento en el corto plazo, se hace impresionantemente rápido en el largo plazo, con la cantidad inicial de duplicación en el tiempo de duplicación, y luego doblar una y otra vez. Por ejemplo, una tasa de crecimiento de la población del 2% por año puede parecer pequeño, pero en realidad implica duplicación después de 35 años, duplicando de nuevo después de otros 35 años (es decir, convertirse en 4 veces la población inicial). Esto implica que tanto la cantidad observada, y su derivada en el tiempo se convertirán en varios órdenes de magnitud mayor que lo que se entiende inicialmente por la persona que concibió el modelo de crecimiento. Debido a esto, algunos efectos no considerados inicialmente distorsionan la ley de crecimiento, por lo general moderarlo como por ejemplo en la ley logística. El crecimiento exponencial de la cantidad colocada en el mundo real (es decir, no en el mundo abstracto de las matemáticas) es un modelo válido para un período temporal de única vez.

Por esta razón, algunas personas (véase por ejemplo, Los límites del crecimiento) desafían el modelo de crecimiento exponencial en el suelo que es válido para el corto plazo solamente, es decir, nada puede crecer indefinidamente. Por ejemplo, una población en un ambiente cerrado no puede seguir creciendo si se come toda la comida y los recursos disponibles; industria no puede continuar bombeo de carbono de la clandestinidad a la atmósfera más allá de los límites relacionados con los yacimientos de petróleo y las consecuencias de un cambio climático . Existen problemas de este tipo por cada representación matemática del mundo real, pero están especialmente sentían por el crecimiento exponencial, ya que con este crecimiento se acelera modelo como variables aumentan en un retroalimentación positiva, a un punto en el tiempo de respuesta humana a la inconveniencia puede ser insuficiente. Sobre estos puntos, consulta las historias exponenciales de abajo.

Ejemplos de crecimiento exponencial

• Biología .
  • Los microorganismos en un placa de cultivo crecerá de manera exponencial, en un primer momento, después de que aparezca el primer microorganismo (pero logísticamente hasta que se agote la comida disponible, cuando el crecimiento se detiene).
  • Un virus ( SARS, Del Nilo Occidental, la viruela ) de suficiente infectividad (k> 0) se extienda de manera exponencial al principio, si no artificial la inmunización está disponible. Cada persona infectada puede infectar a varias personas nuevas.
  • La población humana , si el número de nacimientos y defunciones por persona por año se mantuviera en los niveles actuales (pero también un crecimiento logístico).
  • Muchas de las respuestas de los seres vivos a estímulos, incluidos los humanos percepción, son logarítmicas respuestas, que son la inversa de respuestas exponenciales; la sonoridad y frecuencia de sonido son percibidos de forma logarítmica, incluso con estímulos muy débiles, dentro de los límites de la percepción. Esta es la razón por la que de manera exponencial el aumento de la brillo de estímulos visual es percibida por los seres humanos como un aumento lineal, en lugar de un aumento exponencial. Esto tiene valor de supervivencia. Generalmente es importante para los organismos para responder a estímulos en una amplia gama de niveles, desde niveles muy bajos, a niveles muy altos, mientras que el exactitud de la la estimación de las diferencias en los altos niveles de estímulo es mucho menos importante para la supervivencia.
• Tecnologia computacional
  • El poder de procesamiento de las computadoras. Ver también la ley de Moore y singularidad tecnológica (bajo crecimiento exponencial, no hay singularidades. La singularidad aquí es una metáfora.).
  • En teoría de la complejidad computacional, algoritmos informáticos de complejidad exponencial requiere una cantidad en aumento exponencial de los recursos (por ejemplo, tiempo, memoria de la computadora) por sólo un aumento constante en tamaño problema. Así que por un algoritmo de tiempo complejidad 2 ^ x, si un problema de tamaño x = 10 requiere 10 segundos para completar, y un problema de tamaño x = 11 requiere 20 segundos, a continuación, un problema de tamaño x = 12 requerirán 40 segundos. Este tipo de algoritmo normalmente se convierte en inservible en tamaños muy pequeños problemas, a menudo entre 30 y 100 elementos (la mayoría de los algoritmos de computadora tienen que ser capaces de resolver problemas mucho más grandes, hasta decenas de miles o incluso millones de artículos en tiempos razonables, algo que haría ser físicamente imposible con un algoritmo exponencial). Además, los efectos de la Ley de Moore no ayudan a la situación mucho porque duplica la velocidad del procesador simplemente le permite aumentar el tamaño del problema por una constante. Por ejemplo, si un procesador lento puede resolver los problemas de tamaño x en el tiempo t, a continuación, un procesador de dos veces más rápido sólo podía resolver los problemas de tamaño x + constantes en el mismo tiempo t. Así exponencialmente algoritmos complejos son más a menudo poco práctico, y la búsqueda de algoritmos más eficientes es uno de los objetivos centrales de la informática.
  • El crecimiento del tráfico de Internet .
• Inversiones. El efecto de interés compuesto durante muchos años tiene un efecto sustancial en el ahorro y la capacidad de una persona para jubilarse. Ver también Estado de 72
• Física
  • Ruptura por avalancha dentro de una material dieléctrico. Un libre de electrones llega a ser suficientemente acelerados por un aplicado externamente campo eléctrico que libera electrones adicionales, ya que choca con átomos o moléculas de los medios de comunicación dieléctrico. Estos electrones secundarios también se aceleran, la creación de un mayor número de electrones libres. El crecimiento exponencial resultante de electrones e iones puede llevar rápidamente a completar ruptura dieléctrica del material.
  • Reacción nuclear en cadena (el concepto detrás de las armas nucleares ). Cada uranio núcleo que experimenta la fisión produce múltiples neutrones , cada uno de los cuales puede haber absorbida por los átomos de uranio adyacentes, haciendo que la fisión a su vez. Si la probabilidad de absorción de neutrones excede la probabilidad de fuga de neutrones (una función de la forma y masa del uranio), k> 0 y por lo tanto la tasa de producción de neutrones y fisiones de uranio inducidas aumenta de forma exponencial, en una reacción incontrolada.

• La comercialización de niveles múltiples

Aumentos exponenciales se comprometieron a aparecer en cada nuevo nivel de la línea descendiente de un miembro de partida, ya que cada miembro posterior recluta a más personas.

Historias exponenciales

Las características sorprendentes de crecimiento exponencial han fascinado a la gente a través de las edades.

El arroz en un tablero de ajedrez

Un cortesano presentó el rey persa con una hermosa, hecha a mano tablero de ajedrez. El rey le preguntó qué le gustaría a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió al rey pidiendo un grano de arroz en la primera casilla, dos granos en la segunda, cuatro granos en la tercera etc. El rey estuvieron de acuerdo y pidieron el arroz para ser llevado. Todo fue bien al principio, pero el requisito de granos en la ª plaza demandó más de un millón de granos en la plaza 21, más de un cuatrillón de la 41ª y simplemente no había suficiente arroz en todo el mundo por las plazas finales. (De Meadows et al. 1972, p.29 través Porritt 2005)

Por variación de este ver Segunda mitad del tablero de ajedrez en referencia al punto en que un factor de crecimiento exponencial comienza a tener un impacto económico significativo en la estrategia general del negocio de una organización.

El lirio de agua

Niños franceses se les dice una historia en la que se imaginan que tiene un estanque con lirio de agua deja flotando en la superficie. La población lirio duplica su tamaño cada día y si no se controla sofocará el estanque en 30 días, matando a todos los demás seres vivos en el agua. Día tras día la planta parece pequeño y por lo que se decidió dejarlo crecer hasta que media cubre el estanque, antes de cortar de nuevo. Luego se les pide, en qué día que ocurrirá. Esto se revela como el día 29, y luego habrá un solo día para guardar el estanque. (De Meadows et al. 1972, p.29 través Porritt 2005)