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Factorización

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Antecedentes

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En matemáticas , la factorización (también factorización en British Inglés) o la factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número , un polinomio , o una matriz ) en una producto de otros objetos, o factores, que cuando se multiplican juntos dan el original. Por ejemplo, el número 15 factores en números primos como 3 × 5, y los polinomios x 2-4 factores como (x - 2) (x + 2). En todos los casos, se obtiene un producto de objetos simples.

El objetivo de factoring es por lo general para reducir algo de "bloques de construcción básicos", tales como números de números primos, o polinomios a polinomios irreducibles. Factorizar enteros está cubierto por el teorema fundamental de la aritmética y factoring polinomios por la teorema fundamental del álgebra.

Lo contrario de la factorización es de expansión. Este es el proceso de multiplicar juntos factores de recrear el "ampliado" original polinomio .

Factorización de enteros para grandes números enteros parece ser un problema difícil. No hay ningún método conocido para llevarla a cabo rápidamente. Su complejidad es la base de la seguridad supuesta de algunos algoritmos de criptografía de clave pública, como RSA.

Una matriz también se puede factorizar en un producto de matrices de tipos especiales, para una aplicación en la que esa forma es conveniente. Un ejemplo importante de este utiliza un ortogonal o matriz unitaria, y una matriz triangular. Hay diferentes tipos: Descomposición QR, LQ, QL, RQ, RZ.

Otro ejemplo es la factorización de una función como la composición de otras funciones que tienen ciertas propiedades; por ejemplo, cada función puede ser visto como la composición de una función sobreyectiva con un función inyectiva.

Primer factorización de un entero

Por el teorema fundamental de la aritmética , cada positivo entero tiene una única factorización prima. Con un algoritmo de factorización de enteros, se puede factorizar un número entero a sus constituyentes primos de la aplicación reiterada de este algoritmo. Para un gran número, no eficiente algoritmo se conoce. Para los números más pequeños, sin embargo, hay una variedad de diferentes algoritmos que se pueden aplicar.

Factorizar un polinomio de segundo grado

Cualquier polinomio de segundo grado en los números complejos (polinomios de la forma ax ^ 2 + bx + c donde un , b Y c\ Mathbb {C} ) Puede tenerse en cuenta en un expresión con la forma a (x - \ alpha) (x - \ beta) \ utilizando la fórmula cuadrática . El método es el siguiente:


ax ^ 2 + bx + c = a (x - \ alpha) (x - \ beta) = a \ left (x - \ left (\ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ right) \ right) \ left (x - \ left (\ frac {-b - \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ right) \ right)

donde \ Alpha y \ Beta son los dos raíces del polinomio, que se encuentra con la fórmula cuadrática .

Polinomios factorizable sobre los números enteros

Polinomios de segundo grado a veces pueden tenerse en cuenta dos binomios con coeficientes enteros simples, sin la necesidad de usar la fórmula cuadrática. En una ecuación de segundo grado , esto expondrá sus dos raíces. La fórmula

ax ^ 2 + bx + c \, \!

se cuenta en:

(Mx + p) (nx + q) \, \!

donde

mn = a, \,
pq = c, \ mbox {y} \,
pn + mq = b. \,

A continuación, puede configurar cada binomio igual a cero y resolver para x para revelar las dos raíces. Factoring no implica ninguna otras fórmulas, y es sobre todo algo que se ve cuando se encuentra con una ecuación de segundo grado.

Tomemos, por ejemplo, 2 x 2 - 5 x + 2 = 0. Debido a = 2 y Mn = a, Mn = 2, lo que significa que de m y n, uno es 1 y el otro es 2. Ahora tenemos (2 x + p) (x + q) = 0. Debido c = 2 y = pq c, pq = 2, lo que significa que de p y q, uno es 1 y el otro es 2 o uno es -1 y el otro es - 2. Una conjetura y verificación de sustituir el 1 y 2, y -1 y -2, en p y q (mientras se aplica pn + mq = b) nos dice que 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 factores en (2 x - 1) (x - 2) = 0, dándonos las raíces x = {0,5, 2}

Si un polinomio con coeficientes enteros tiene un discriminante que es un cuadrado perfecto, que polinomio es factorizable sobre los números enteros.

Por ejemplo, mira el polinomio 2x 2 + 2x - 12. Si sustituye los valores de la expresión en la fórmula cuadrática, el discriminante b ^ 2-4ac se convierte en febrero 2 a 4 × 2 × -12, que es igual a 100. 100 es un cuadrado perfecto, por lo que el polinomio 2x 2 + 2x - 12 es factorizable sobre los números enteros; sus factores son 2, (x - 2), y (x + 3).

Ahora mira el polinomio x 2 + 93x - 2. Su discriminante, 93 2-4 × 1 × -2, es igual a 8657, que no es un cuadrado perfecto. Así x 2 + 93x - 2 no se puede factorizar en los números enteros.

Trinomios cuadrados perfectos

Una prueba visual de la identidad (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2

Algunas ecuaciones cuadráticas pueden tenerse en cuenta dos binomios idénticos. Estas ecuaciones cuadráticas se llaman trinomios cuadrados perfectos. Trinomios cuadrados perfectos pueden tenerse en cuenta la siguiente manera:

a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 \, \!
a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a - b) ^ 2 \, \!

Suma / diferencia de dos cuadrados

Otro tipo común de factorización algebraica se llama diferencia de dos cuadrados. Es la aplicación de la fórmula

a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) (a-b) \, \!

a cualquiera de los dos términos, si son o no son cuadrados perfectos. Si se restan los dos términos, basta con aplicar la fórmula. Si se añaden, los dos binomios obtenidos del factoring tendrán cada uno un término imaginario. Esta fórmula se puede representar como

a ^ 2 + b ^ 2 = (a + bi) (a-bi) \, \! .

Por ejemplo, 4x ^ 2 + 49 puede tenerse en cuenta en (2x + 7i) (2x - 7i) .

Factoring otros polinomios

Suma / diferencia de dos cubos

Otra fórmula menos utilizada, pero todavía común para el factoring es la suma o diferencia de dos cubos. La suma puede ser representado por

a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2) \, \!

y la diferencia por

a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) \, \!

Por ejemplo, x 03 al 10 3 (o x 3-1000) se puede factorizar en (x - 10) (x + 2 x 10 + 100).

Suma / diferencia de dos números elevados a la misma potencia

En general, (Una b) es un factor de a ^ n - b ^ n donde n es un número entero positivo. Por lo tanto,

a ^ n - b ^ n = (a - b) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + a ^ {n-3} b ^ 2 + ... + a ^ 2b ^ {n-3} + ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}) \, \!

También, (A + b) es un factor de a ^ n - b ^ n donde n es un entero par positivo. De tal manera que,

a ^ n - b ^ n = (a + b) (a ^ {n-1} - a ^ {n-2} b + a ^ {n-3} b ^ 2 - ... - a ^ 2b ^ {n-3} + ab ^ {n-2} - b ^ {n-1}) \, \!

Del mismo modo, (A + b) es un factor de a ^ n + b ^ n donde n es un número entero impar positivo. De modo que,

a ^ n + b ^ n = (a + b) (a ^ {n-1} - a ^ {n-2} b + a ^ {n-3} b ^ 2 - ... + a ^ 2b ^ {n-3} - ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}) \, \!

Factoring por agrupación

Otra forma de factorizar algunas ecuaciones es el factoring mediante la agrupación. Esto se realiza mediante la colocación de los términos en una expresión en dos o más grupos, donde cada grupo se puede factorizar mediante un método conocido. Los resultados de estas factorizaciones veces se pueden combinar para hacer que una expresión aún más simplificado.

Por ejemplo, suponga que tiene la expresión

4x ^ 3 \ sin ^ 2x-312x ^ 2 \ sin ^ 2x + 4620x \ sin ^ 2x-8024 \ sin ^ 2x-3x ^ 3 + 234x ^ 2-3465x + 6018 \,

que a primera vista parece una expresión difícil de manejar. Un paso lógico, si decide factor por el grupo, sería combinar todas las expresiones con \ Sin x \, \! y todo sin \ Sin x \, \! . Entonces usted tendría la expresión

(4x ^ 3 \ sin ^ 2x-312x ^ 2 \ sin ^ 2x + 4620x \ sin ^ 2x-8024 \ sin ^ 2x) - (3x ^ 3-234x ^ 2 + 3465x-6018) \,

donde cada uno de los dos grupos se puede factorizar dándonos

4 \ sin ^ 2x (x ^ 3-78x ^ 2 + 1155x-2006) - 3 (x ^ 3-78x ^ 2 + 1155x-2006) \,

Esto se puede simplificar aún más en

(4 \ sin ^ 2x -3) (x ^ 3-78x ^ 2 + 1155x-2006) \,

cuando el entonces puede tenerse en cuenta en

(4 \ sin ^ 2x -3) (x-59) (x-17) (x-2) \,

y finalmente

(2 \ sin x- \ sqrt 3) (59-x) (x-17) (x-2) \ (x + \ sqrt 3 2 \ pecado),

que es la expresión en forma totalmente factorizada.

Otras fórmulas comunes

Hay muchas fórmulas adicionales que se pueden utilizar fácilmente para factorizar un polinomio. Entre los más comunes se enumeran a continuación.

Forma expandida Forma factorizada
a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3-3abc \, \!(A + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca) \, \!
a ^ 2 (b + c) + b ^ 2 (c + a) + c ^ 2 (a + b) + 2ABC \, \!(A + b) (b + c) (c + a) \, \!
(A + b) (b + c) (c + a) + abc \, \!(A + b + c) (ab + bc + ca) \, \!
bc (b-c) + ca (c-a) + ab (a-b) \, \!- (A-b) (b-c) (c-a) \, \!
a ^ 2 (b + c) + b ^ 2 (c + a) + c ^ 2 (a + b) + 3ABC \, \!(A + b + c) (ab + bc + ca) \, \!
a ^ 2 (b-c) + b ^ 2 (c-a) + c ^ 2 (a-b) \, \!- (A-b) (b-c) (c-a) \, \!
a ^ 3 (b-c) + b ^ 3 (c-a) + c ^ 3 (a-b) \, \!- (A-b) (b-c) (c-a) (a + b + c) \, \!
a ^ 4 + 4b ^ 4 \, \! ( Identidad de Sophie Germain) (A ^ 2 + 2ab + 2b ^ 2) (a ^ 2 - 2ab + 2b ^ 2) \, \!

Factoring en lógica matemática

En y la lógica matemática automatizado demostración de teoremas, la factorización es la técnica de derivar una sola, más específica átomo de una disyunción de dos más general átomos unificables. Por ejemplo, desde ∀ X, Y: P (X, A) o P (B, Y) podemos derivar P (b, a).

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