Fractal

El conjunto de Mandelbrot es un famoso ejemplo de un fractal.

Una vista más cercana del conjunto de Mandelbrot.

Un fractal es generalmente "una áspera o fragmentada forma geométrica que se puede subdividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo, "una propiedad llamada auto-similitud. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975 y procede de la América significado fractus "roto" o "fracturado".

Un fractal menudo tiene las siguientes características:

• Tiene una estructura fina en arbitrariamente pequeñas escalas.
• Es demasiado irregular para ser descrito fácilmente en el tradicional geométrico euclidiano idioma.
• Es auto-similar (al menos aproximadamente, o estocásticamente).
• Tiene un Dimensión de Hausdorff que es mayor que su dimensión topológica (aunque este requisito no se cumple por curvas que llenan el espacio, tales como la Curva de Hilbert).
• Cuenta con una sencilla y definición recursiva.

Debido a que parecen similares en todos los niveles de ampliación, los fractales se consideran a menudo ser infinitamente complejo (en términos informales). Los objetos naturales que los fractales aproximados a un grado incluyen nubes, montañas, rayos, líneas de costa, y copos de nieve. Sin embargo, no todos los objetos auto-similares son fractales-por ejemplo, la recta real (una recta Línea euclidiana) es formalmente auto-similar, pero no tiene en otras características fractales.

Historia

Para crear una Copo de nieve de Koch, se inicia con un triángulo equilátero y reemplazar el tercio medio de cada segmento de línea con un par de segmentos de línea que forman un equilátero "bache". A continuación, realice el mismo reemplazo en cada segmento de la línea de la forma resultante, ad infinitum. Con cada iteración, el perímetro de esta figura crece en 1 / 3o. El copo de nieve de Koch es el resultado de un número infinito de estas iteraciones, y tiene una longitud infinita, mientras que su área permanece finito. Por esta razón, los copos de nieve y similares construcciones Koch fueron llamados a veces "curvas monstruo."

Las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo 17, cuando el filósofo Leibniz considera autosimilaridad recursiva (aunque cometió el error de pensar que sólo la línea recta era auto-similar en este sentido).

Hubo que esperar hasta 1872 antes de una función apareció cuya gráfico sería considerado hoy fractal, cuando Karl Weierstrass dio una ejemplo de una función con el no- propiedad intuitiva de estar en todas partes continua, pero ninguna parte diferenciable. En 1904, Helge von Koch, insatisfecho con definición muy abstracta y analítica de Weierstrass, dio una definición más geométrica de una función similar, que ahora se llama la Copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año más tarde, su alfombra. Originalmente estos fractales geométricos fueron descritos como curvas en lugar de las formas 2D que se les conoce como en sus construcciones modernas. La idea de las curvas de auto-similares se tomó además por Paul Pierre Lévy, quien, en sus 1.938 Plano de papel o espacio Curvas y Superficies compuestos de partes similares al Todo describe una nueva curva fractal, la Curva Lévy C.

Georg Cantor también dio ejemplos de subconjuntos de la recta real con inusuales propiedades de éstos Conjuntos de Cantor también son ahora reconocidos como fractales.

Funciones iteradas en el plano complejo se investigaron a finales del siglo 19 y principios del 20 por Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou y Gaston Julia. Sin embargo, sin la ayuda de gráficos de ordenador modernos, que carecían de los medios para visualizar la belleza de muchos de los objetos que habían descubierto.

En la década de 1960, Benoît Mandelbrot comenzó a investigar la auto-similitud en papeles tales como ¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña? Estadística auto-similaridad y fraccional Dimensión, que se basó en un trabajo anterior de Lewis Fry Richardson. Finalmente, en 1975 Mandelbrot acuñó la palabra "fractal" para denotar un objeto cuya Dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica. Ilustró esta definición matemática con el pulso de visualizaciones por computadora construida. Estas imágenes capturan la imaginación popular; muchos de ellos se basan en la recursividad, lo que lleva al sentido popular del término "fractal".

Ejemplos

La Conjunto de Julia, un fractal relacionada con el conjunto de Mandelbrot

Una clase relativamente simple de ejemplos se da por la Cantor establece, Triángulo de Sierpinski y alfombra, Esponja de Menger, curva dragón, espacio de llenado de la curva, y Curva de Koch. Otros ejemplos de fractales incluyen la Lyapunov fractal y los conjuntos límite de Grupos kleinianos. Los fractales pueden ser determinista (todo lo anterior) o estocástico (es decir, no determinista). Por ejemplo, las trayectorias de la El movimiento browniano en el plano tiene una dimensión de Hausdorff de 2.

Sistemas dinámicos caóticos se asocian a veces con los fractales. Los objetos en el espacio de fase de un sistema dinámico puede ser fractales (véase atractor). Los objetos en el espacio de parámetros para una familia de sistemas puede ser fractal también. Un ejemplo interesante es el conjunto de Mandelbrot . Este conjunto contiene discos enteros, por lo que tiene una dimensión de Hausdorff igual a su dimensión topológica de 2, pero lo que es realmente sorprendente es que el límite del conjunto de Mandelbrot también tiene una dimensión de Hausdorff de 2 (mientras que la dimensión topológica de 1), un resultado demostró por Mitsuhiro Shishikura en 1991. Un fractal estrechamente relacionada es la Conjunto de Julia.

Incluso suaves curvas simples pueden exponer los bienes fractal de la auto-similitud. Por ejemplo, la curva de ley de potencia (también conocido como Distribución de Pareto) produce formas similares en diversas ampliaciones.

Fractales Generación

Hasta 2000 veces de aumento del conjunto de Mandelbrot descubre el detalle fino parecido a la serie completa.

Tres técnicas comunes para la generación de fractales son:

• Fractales en tiempo de Escape - Estos se definen por una relación de recurrencia en cada punto en un espacio (como el plano complejo ). Ejemplos de este tipo son el conjunto de Mandelbrot , Conjunto de Julia, la Burning fractal de la nave y la Fractal de Lyapunov.
• Sistemas de funciones iteradas - Estos tienen una regla de sustitución geométrica fija. Conjunto de Cantor, Alfombra de Sierpinski, Triángulo de Sierpinski, Curva de Peano, Copo de nieve de Koch, Harter-Heighway curva dragón, T-Cuadrado, Menger esponja, son algunos ejemplos de este tipo de fractales.
• Fractales azar - Generados por procesos estocásticos y no deterministas, por ejemplo, trayectorias de la El movimiento browniano, Vuelo de Lévy, paisajes fractales y la Árbol browniano. Los últimos rendimientos llamados fractales mass o dendríticas, por ejemplo, la agregación de difusión limitada o grupos de agregación de reacción limitada.

Clasificación

Fractales también se pueden clasificar de acuerdo a su propia semejanza. Hay tres tipos de auto-similitud encontrada en fractales:

• Auto-similitud exacta - Este es el tipo más fuerte de auto-similitud; el fractal parece idéntica a diferentes escalas. Fractales definido por sistemas de funciones iteradas menudo muestran auto-similitud exacta.
• Cuasi-auto-similitud - Esta es una forma flexible de auto-similitud; el fractal aparece aproximadamente (pero no exactamente) idéntico a diferentes escalas. Fractales-auto-similares Quasi contienen pequeñas copias de todo el fractal en formas distorsionadas y degenerados. Fractales definido por relaciones de recurrencia son normalmente cuasi-auto-similar pero no exactamente auto-similar.
• Auto-similitud estadística - Este es el tipo más débil de la auto-similitud; el fractal tiene medidas numéricas o estadísticas que se conservan a través de escalas. La mayoría de las definiciones razonables de "fractal" trivialmente implican alguna forma de auto-similitud estadística. (En sí misma dimensión fractal es una medida numérica que se conserva a través de escalas.) Fractales aleatorios son ejemplos de fractales, que son estadísticamente auto-similar, pero tampoco exactamente ni-auto-similar cuasi.

En naturaleza

Un fractal que los modelos de la superficie de una montaña (animación)

Fractales aproximados son fáciles de encontrar en la naturaleza. Estos objetos se muestren estructura auto-similar en un rango extendido, pero finito, escala. Los ejemplos incluyen las nubes, copos de nieve , cristales , cadenas montañosas , relámpago, redes fluviales , coliflor o brócoli, y los sistemas de los vasos sanguíneos y vasos pulmonares. Las costas pueden ser libremente considerados fractal en la naturaleza.

Un helecho fractal calcula utilizando una Sistema iterativo de funciones

Los árboles y helechos son fractales en la naturaleza y pueden ser modelados en un ordenador mediante el uso de un recursivo algoritmo . Esta naturaleza recursiva es evidente en estos ejemplos - una rama de un árbol o una fronda de un helecho es una réplica en miniatura del conjunto: no idéntica, pero de naturaleza similar.

En 1999, se muestra seguro de auto formas similares fractales tener una propiedad de "invariancia frecuencia" - las mismas propiedades electromagnéticas sin importar la frecuencia - de las ecuaciones de Maxwell (ver antena fractal).

Fractal pentagrama dibujado con un vector programa de iteración

En las obras de creación

Patrones fractales se han encontrado en las pinturas del artista estadounidense Jackson Pollock . Mientras que las pinturas de Pollock parecen estar compuestas de goteos y salpicaduras caótica, análisis de computadora ha encontrado patrones fractales en su obra.

Decalcomania, una técnica utilizada por artistas como Max Ernst, puede producir patrones fractales similares. Se trata de presionar pintura entre dos superficies y separándolos.

Fractales son también frecuentes en El arte y la arquitectura africana. Casas circulares aparecen en círculos de círculos, casas rectangulares en rectángulos de rectángulos, y así sucesivamente. Estos patrones de escala también se pueden encontrar en los textiles africanos, esculturas, e incluso peinados cornrow.

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  Un fractal se forma cuando separando dos cubrían-cola hojas de acrílico.

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  Desglose de alta tensión dentro de un "bloque de acrílico 4 crea un fractal Figuras de Lichtenberg.

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  Ramificación fractal se produce en una superficie fracturada tales como un microondas irradiadas DVD

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  Brócoli Romanesco muestran fractales naturales muy finas

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  La Clúster DLA cultiva a partir de una de cobre (II) sulfato de solución en un celda electrolítica

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  Unos pocos kV se ponen entre dos clavos en alguna de pino húmedo. A los llamados resultados "Woodburn fractales".

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  Una ampliación del sistema de phoenix

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  Pascal fractal generado

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  La llama del fractal creado con el programa Apófisis

Aplicaciones

Como se describió anteriormente, fractales aleatorios pueden ser utilizados para describir muchos objetos del mundo real muy irregulares. Otras aplicaciones de los fractales son:

• Clasificación de las diapositivas de histopatología en la medicina
• Paisaje fractal o Complejidad Litoral
• Enzyme / enzimología ( La cinética de Michaelis-Menten)
• Generación de nueva música
• Generación de diversas arte formas
• Señal y compresión de imagen
• Sismología
• Fractal en Mecánica de Suelos
• Informática y diseño de videojuegos, especialmente gráficos por ordenador para orgánicos entornos y como parte de generación de procedimiento
• Fractografía y mecánica de la fractura
• Antenas fractales - antenas de pequeño tamaño utilizando formas fractales
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