Homotopía
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En topología , dos continuas funciones de una espacio topológico a otro se llaman homotópico ( griego homos = idénticos y topos = lugar) si uno puede estar "continuamente deformado" en la otra, una deformación tal que se llama una homotopía entre las dos funciones. Un uso excepcional de homotopía es la definición de grupos de homotopía y grupos cohomotopy, importante invariantes en topología algebraica.
En la práctica, hay dificultades técnicas en el uso de homotopías con ciertos espacios patológicos. En consecuencia la mayoría de topologists algebraicas trabajan con espacios compactamente generados, Complejos CW, o espectros.
Definición formal
Formalmente, una homotopía entre dos funciones continuas f y g de un espacio topológico X a un espacio topológico Y se define como una función continua H: X × [0,1] → Y de la producto de la X espacio con el intervalo de la unidad [0,1] a Y de tal manera que, para todos los puntos x en X, H (x, 0) = f (x) y H (x, 1) = g (x).
Si pensamos en el segundo parámetro de H como "tiempo", entonces H describe una "deformación continua" de f en g: en el momento 0 tenemos la función f, en el momento 1 tenemos la función g.
Propiedades
Funciones continuas f yg (tanto desde el espacio topológico X a Y) se dice que son homotópico sii existe una homotopía H tomar f a g como se describe anteriormente. Siendo homotópico es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las funciones continuas de X a Y. Esta relación homotopía es compatible con la composición de la función en el siguiente sentido: si f 1, g 1: X → Y es homotópica, y f 2, g 2: Y → Z son homotópico, entonces sus composiciones f 2 d e 1 y 2 g o g 1: X → Z son homotópico también.
Equivalencia de homotopía y nulo homotopy
Dados dos espacios X e Y, que dicen que son homotopy equivalente o del mismo tipo de homotopía si existen continua mapas f: X → Y yg: Y → X tal que g o f es homotópica a la mapa identificaciones X y f o g es homotópica a Identificación Y.
El f mapas y g se llaman equivalencias homotopía en este caso. Claramente, cada homeomorfismo es una equivalencia homotopy, pero lo contrario no es cierto: por ejemplo, un disco sólido no es homeomorfo a un único punto, aunque el disco y el punto son equivalentes homotopy.
Intuitivamente, dos espacios X e Y son equivalentes homotopy si pueden transformarse en otras por la flexión, la contracción y expansión de las operaciones. Por ejemplo, un disco sólido o bola sólida es equivalente homotopy a un punto, y R 2 - {(0,0)} es equivalente a la homotopy círculo unitario S 1. Esos espacios que son equivalentes homotopy a un punto se llaman contráctil.
Una función f se dice que es nulo homotopic si es homotopic a una función constante. (El homotopy de f a una función constante es entonces a veces llamado un nulo homotopy). Por ejemplo, es sencillo demostrar que un mapa del círculo S 1 es nulo-homotopic precisamente cuando se puede extender a un mapa de la disco D 2.
Se desprende de estas definiciones que un espacio X es contráctil si y sólo si el mapa de identidad de X a sí mismo, lo cual es siempre una equivalencia de homotopía-es nulo homotópica.
Invariancia Homotopía
Equivalencia Homotopía es importante porque en topología algebraica muchos conceptos son homotopy invariante, es decir, del respeto a la relación de equivalencia homotópica. Por ejemplo, si X e Y son espacios equivalentes homotopy, entonces:
- si X es ruta-conectado, entonces también lo es Y
- si X es simplemente conectado, entonces también lo es Y
- la (singular) homología y grupos de cohomología de X e Y son isomorfo
- Si X e Y son path-conectado, entonces el grupos fundamentales de X e Y son isomorfos, y también lo son la mayor grupos de homotopía. Sin la asunción de la ruta conectividad, uno tiene π 1 (X, x 0) isomorfo a π 1 (Y, f (x 0)) donde f: X → Y es una equivalencia de homotopía y x 0 un punto dado en el X.
Un ejemplo de un invariante algebraico de espacios topológicos que no es homotopy-invariante es soporte compacto homología (que es, en términos generales, la homología de la compactación y compactación no es homotopy invariante).
Categoría de espacios topológicos
La idea de homotopía se puede convertir en una categoría formal de la teoría de categorías. La categoría de homotopía es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos, y cuyos morfismos son las clases de equivalencia de homotopía de aplicaciones continuas. Dos espacios topológicos X e Y son isomorfos en esta categoría si y sólo si son homotopy equivalente. A continuación, una funtor en la categoría de espacios topológicos es homotopy invariante si se puede expresar como un funtor de la categoría de homotopía.
Por ejemplo, grupos de homología son una invariante homotopy functorial: esto significa que si f y g de X a Y son homotopic, entonces la homomorfismos de grupo inducida por f y g en el nivel de grupos de homología son los mismos: H n (f) = H n (g): H n (X) → H n (Y) para todo n. Asimismo, si X e Y son además Ruta conectados, entonces los homomorfismos de grupo inducida por f y g en el nivel de grupos de homotopía también son los mismos: π n (f) = π n (g): π n (X) → π n (Y).
Homotopy Relativa
Con el fin de definir el grupo fundamental, se necesita la noción de homotopía relación a un subespacio. Estos son homotopías que mantienen los elementos de la subespacio fijo. Formalmente: si f y g son funciones continuas de X a Y y K es un subconjunto de X, entonces se dice que f y g son en relación homotópico a K si existe una homotopía H: X × [0,1] → Y entre f y g tal que H (k, t) = f (k) = g (k) para todo k ∈ K y t ∈ [0,1]. Además, si g es una retraiga desde X a K y f es el mapa de identidad, esto se conoce como un fuerte deformación de retracción de X a K.
Homotopía
En un Colector de Lorentz, ciertas curvas se distinguen como tipo tiempo. La homotopy tipo tiempo entre dos curvas temporales es una homotopía tal que cada curva intermedia es de tipo temporal. No Curva cerrada de tipo tiempo (CTC) en un colector de Lorentz es timelike homotopic a un punto (es decir, homotopic timelike null); por lo tanto, un colector tal se dice que es multiplican conectados por curvas temporales. Un colector tal como el 3-esfera se puede simplemente conectado (por cualquier tipo de curva), y sin embargo ser tipo tiempo se multiplican conectado.
Propiedad de extensión Homotopía
Otra propiedad útil que implica homotopía es la propiedad de extensión homotopía, que caracteriza a la extensión de una homotopía entre dos funciones de un subconjunto de un conjunto para el propio conjunto. Es útil cuando se trata de cofibrations.
Isotopía
En caso de que las dos funciones continuas dadas fyg del espacio topológico X al espacio topológico Y son homeomorfismos , uno puede preguntarse si se pueden conectar "a través de homeomorfismos '. Esto da lugar al concepto de isotopía, que es un homotopy, H, en la notación utilizada antes, de tal manera que para cada t fijo, H (x, t) da un homeomorfismo.
Exigiendo que dos homeomorfismos ser isotópica realmente es un requisito más fuerte que sean homotópica. Por ejemplo, el mapa de la disco unidad en R 2 definida por f (x, y) = (- x, - y) es equivalente a un 180 grados rotación alrededor del origen, y así el mapa identidad y f son isotópico, ya que pueden estar conectados por rotaciones. Sin embargo, el mapa en el intervalo [-1,1] en R definida por f (x) = - x no es isotópico a la identidad. En términos generales, cualquier homotopía de f para la identidad tendría que intercambiar los puntos finales, lo que significaría que tendrían que 'pasar por' el uno al otro. Por otra parte, f ha cambiado la orientación del intervalo, por lo tanto, no puede ser isotópico a la identidad.
En topología geométrica de ejemplo, en la teoría de nudos se utiliza -la idea de isotopía para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, cuando se deben dos nudos considerarse lo mismo? Tomamos dos nudos, K 1 y K 2, en tres espacio tridimensional. La idea intuitiva de deformar una a la otra debe corresponder a un camino de homeomorfismos: una isotopía comenzando con el homeomorfismo identidad del espacio tridimensional, y terminando en un homeomorfismo, h, de tal manera que h mueve K 1 a 2 K. Una isotopía ambiental, estudiado en este contexto, es una isotopía del espacio más grande, considera a la luz de su acción sobre la subvariedad incrustado.
