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Ecuaciones de Navier-Stokes

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Las ecuaciones de Navier-Stokes, el nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, describir el movimiento de sustancias fluidas tales como líquidos y los gases . Estas ecuaciones establecen que los cambios en el impulso de los volúmenes infinitesimales de fluido son simplemente la suma de disipativa fuerzas viscosas (similares a fricción), los cambios en presión, gravedad y otras fuerzas que actúan en el interior del fluido: una aplicación de la segunda ley de Newton a fluido.

Se trata de uno de los conjuntos más útiles de las ecuaciones porque describen la física de un gran número de fenómenos de interés académico y económico. Ellos se pueden utilizar para modelo de tiempo , las corrientes oceánicas, el flujo de agua en una tubería, flujo alrededor de un perfil aerodinámico (ala), y el movimiento de estrellas dentro de una galaxia . Como tales, estas ecuaciones en ambas formas completo y simplificado, se utilizan en el diseño de aviones y coches, el estudio del flujo de sangre, el diseño de centrales eléctricas, el análisis de los efectos de la contaminación, etc. Junto con las ecuaciones de Maxwell que pueden ser utilizados para modelar y estudiar magnetohidrodinámica.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son también de gran interés en un sentido puramente matemática. Algo sorprendente, dada su amplia gama de usos prácticos, los matemáticos todavía no han demostrado que siempre existen en tres soluciones dimensiones ( existencia), o que si lo hacen existir que no contienen ningún Infinities, singularidades o discontinuidades (suavidad). Estos se llaman el Navier-Stokes existencia y suavidad problemas. La Instituto Clay de Matemáticas ha llamado a este uno de los siete más importantes problemas abiertos en matemática, y ofreció un premio de $ 1.000.000 para una solución o un contraejemplo.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales que, a diferencia ecuaciones algebraicas, no establecen explícitamente una relación entre las variables de interés (por ejemplo, la velocidad y presión). Más bien, se establecen relaciones entre las tasas de cambio . Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes para el caso sencillo de una fluido ideal (no viscoso) puede indicar que la aceleración (la tasa de cambio de velocidad ) es proporcional a la gradiente (un tipo de derivado de multivariante) de presión.

Contrariamente a lo que se ve normalmente en mecánica de sólidos, las ecuaciones de Navier-Stokes no dictan posición, sino más bien la velocidad . Una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes se llama un campo o campo de velocidad de flujo, que es una descripción de la velocidad del fluido en un punto dado en el espacio y el tiempo. Una vez que el campo de velocidad se resuelve para, otras cantidades de interés (tales como velocidad de flujo, fuerza de arrastre, o la ruta de una "partícula" de líquido se llevará a) se pueden encontrar.

Propiedades

No linealidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes son no lineales de ecuaciones diferenciales parciales en casi todas las situaciones reales (las excepciones incluyen un flujo dimensional y rastrero flujo). La no linealidad hace la mayoría de los problemas difíciles o imposibles de resolver y es parte de la causa de turbulencia.

La no linealidad se debe a aceleración convectiva, que es una aceleración asociado con el cambio en la velocidad sobre la posición. Por lo tanto, cualquier flujo de convección, ya sea turbulento o no, implicará la no linealidad, un ejemplo de convección, pero laminar (no turbulento) de flujo sería el paso de un fluido viscoso (por ejemplo, aceite) a través de un pequeño convergente boquilla. Estos flujos, si resoluble exactamente o no, se pueden estudiar a menudo a fondo y comprendido.

Turbulencia

La turbulencia es el dependiente del tiempo caótico comportamiento visto en muchos flujos de fluidos. En general se cree que es debido a la la inercia del fluido como un todo: la culminación de tiempo de aceleración dependiente y convectiva; por lo tanto, los flujos que los efectos inerciales son pequeñas tienden a ser laminar (el Número de Reynolds cuantifica la cantidad de flujo se ve afectada por inercia). Se cree, aunque no se conoce con certeza, que las ecuaciones de Navier-Stokes modelo de turbulencia correctamente.

A pesar de que la turbulencia es una experiencia cotidiana, es extremadamente difícil encontrar soluciones, cuantificar, o en caracterizan general. A $ 1.000.000 premio fue ofrecido en mayo de 2000 por la Instituto Clay de Matemáticas a quien hace progreso preliminar hacia una teoría matemática que ayudará en la comprensión de este fenómeno.

La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo turbulento es extremadamente difícil, y debido a las significativamente diferentes escalas de longitud de mezcla que están implicados en el flujo turbulento, la solución estable de este requiere una resolución de malla fina tal que el tiempo de cálculo se hace significativamente inviable para el cálculo (véase Simulación numérica directa). Los intentos para resolver el flujo turbulento usando un solucionador laminar típicamente resultar en una solución en tiempo inestable, que no converge adecuadamente. Para contrarrestar esto, varias aproximaciones como el promedio de Reynolds ecuaciones de Navier-Stokes (RANS), complementadas con modelos de turbulencia (como el modelo k-ε), se utilizan en prácticas de dinámica de fluidos computacional (CFD) aplicaciones al modelar flujos turbulentos. Otra técnica para resolver numéricamente la ecuación de Navier-Stokes es la simulación a gran Eddy (LES). Este enfoque es computacionalmente más caro que el método RANS (en el tiempo y la memoria del ordenador), pero produce mejores resultados, ya que parte de las escalas características turbulentos se resuelven de forma explícita.

Aplicabilidad

Junto con ecuaciones suplementarios (por ejemplo, la conservación de la masa) y las condiciones de contorno bien formuladas, las ecuaciones de Navier-Stokes parecen modelar el movimiento de fluidos con precisión; incluso flujos turbulentos parecen (en promedio) de acuerdo con las observaciones del mundo real.

Las ecuaciones de Navier-Stokes se supone que el fluido que se está estudiando es una continuum. A escalas muy pequeñas o en condiciones extremas, fluidos reales hechas de moléculas discretas producirá resultados diferentes de los fluidos continuos modeladas por las ecuaciones de Navier-Stokes. Dependiendo de Número de Knudsen del problema, la mecánica estadística o posiblemente incluso dinámica molecular puede ser un enfoque más apropiado.

Otra limitación es muy simplemente la complicada naturaleza de las ecuaciones. Existen formulaciones ensayadas Tiempo para las familias de fluido comunes, pero la aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes a las familias menos comunes tiende a resultar en formulaciones muy complicados que son un área de investigación actual. Por esta razón, las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben generalmente para Fluidos newtonianos.

Derivación y la descripción

La derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes se inicia con la conservación de la masa, la inercia y la energía se escribe para un volumen de control arbitrario. En una sistema de referencia inercial, la forma más general de las ecuaciones de Navier-Stokes termina siendo:

\ Rho \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ t parcial} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v} \ right) = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ mathbb {T} + \ mathbf {f},

donde \ Mathbf {v} es la velocidad de flujo, \ Rho es la densidad del fluido, p es la presión, \ Mathbb {T} es el ( desviador) tensor de tensiones, y \ Mathbf {f} representa fuerzas corporales (por unidad de volumen) que actúa sobre el fluido y \ Nabla es el del operador. Esta es una declaración de la conservación del momento en un fluido y es una aplicación de la segunda ley de Newton a un continuum. Esta ecuación se escribe a menudo utilizando el derivado de fondo, por lo que es más evidente que se trata de una declaración de la ley de Newton:

\ Rho \ frac {D \ mathbf {v}} {D t} = - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ mathbb {T} + \ mathbf {f}.

El lado izquierdo de la ecuación describe la aceleración, y puede estar compuesta de tiempo efectos dependientes o convectivos (también los efectos de coordenadas no inerciales si está presente). El lado derecho de la ecuación es en efecto una suma de fuerzas del cuerpo (como la gravedad) y derivados espaciales de las fuerzas de superficie (presión y estrés).

Aceleración convectiva

Un ejemplo de convección. Aunque el flujo es constante (independiente del tiempo), los desacelera fluido a medida que se mueve hacia abajo el conducto divergente (cuando el flujo es subsónico), por lo tanto no es la aceleración.

Una característica muy importante de las ecuaciones de Navier-Stokes es la presencia de aceleración convectiva. Estos términos describen el tiempo de aceleración independiente de un fluido con respecto al espacio, y se representan por la cantidad:

\ Mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v}.

El gradiente del vector de velocidad sería más bien ser escrito con la derivado tensor como \ Mathbf {v} \ cdot (\ nabla \ otimes \ mathbf {v}) , Donde \ Nabla \ otimes \ mathbf {v} es el Matriz jacobiana de la velocidad con respecto al espacio. Hay algunas otras maneras de representar la convección:

\ Mathbf {v} \ cdot (\ nabla \ otimes \ mathbf {v}) = (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} = \ nabla \ left (\ frac {\ mathbf {v} ^ 2} {2} \ right) + \ nabla \ times \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v}.

El segundo formulario utiliza por encima de la operador de advección y es común (tenga en cuenta la diferencia entre advección y convección - advección se refiere específicamente al transporte de un escalar). La tercera forma ha utilizar en el flujo irrotacional, donde el enrollamiento de la velocidad (llamado vorticidad) \ Nabla \ times \ mathbf {v} está ausente.

Independientemente de qué tipo de líquido se está tratando, la aceleración convectiva es un efecto no lineal. Convección está presente en la mayoría de los flujos, las excepciones incluyen arrastrándose de flujo y flujo incompresible en una dimensión.

Subraya

El estrés en el fluido está representada por la \ Scriptstyle \ nabla p y \ Scriptstyle \ nabla \ cdot \ mathbb {T} términos, estos son los gradientes de las fuerzas de superficie, análogas a las tensiones en un sólido. \ Scriptstyle \ nabla p se llama el gradiente de presión y surge de tensiones normales que se convierten en casi todas las situaciones, dinámicas o no. \ Scriptstyle \ nabla \ cdot \ mathbb {T} convencionalmente describe fuerzas viscosas; para el flujo incompresible, esto es sólo un efecto de cizallamiento.

Curiosamente, sólo el gradiente de presión se presenta, no la propia presión. El efecto del gradiente de presión es que el fluido fluye desde la alta presión a la baja presión.

El término estrés \ Scriptstyle \ nabla \ cdot \ mathbb {T} contiene demasiadas incógnitas para ser inmediatamente utilizable, por lo tanto, la forma general de arriba no es directamente aplicable a los problemas prácticos. Por esta razón, los supuestos sobre el comportamiento viscoso específica de un fluido se hacen (basados en observaciones naturales) y se aplican con el fin de especificar esta cantidad en términos de variables familiares, como la velocidad. Por ejemplo, este término se convierte en la cantidad útil \ Scriptstyle \ mu \ nabla ^ 2 \ mathbf {v} cuando el fluido se supone incompresible y Newtoniano.

Otras fuerzas

\ Scriptstyle \ mathbf {f} representa "otro" ( fuerza corporal) fuerzas. Normalmente, esto es sólo la gravedad , pero puede incluir otros campos (tales como electromagnética). En un no-inercial de coordenadas del sistema, otras "fuerzas", como la asociada con coordenadas giratorias pueden insertarse.

A menudo, estas fuerzas pueden representarse como el gradiente de alguna cantidad escalar. La gravedad en el z dirección, por ejemplo, es el gradiente de - \ Rho g z . Dado que la presión se muestra sólo como un gradiente, esto implica que la solución de un problema sin tal fuerza cuerpo puede ser reparado para incluir la fuerza de cuerpo mediante la modificación de la presión.

Otras ecuaciones

Las ecuaciones de Navier-Stokes son estrictamente una declaración de la conservación del momento. Con el fin de describir completamente el flujo de fluido, se necesita más información (cuánto depende de las suposiciones hechas), esto puede incluir datos de fronteras ( no deslizante, superficie capilar, etc.), la conservación de la masa, conservación de la energía, y / o una ecuación de estado.

Con independencia de los supuestos de flujo, una declaración de la conservación de la masa es generalmente necesario. Esto se logra a través de la masa ecuación de continuidad, da en su forma más general como:

\ Frac {\ partial \ rho} {\ t parcial} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {v}) = 0

o, utilizando el derivado de fondo:

\ Frac {D \ rho} {Dt} + \ rho (\ nabla \ cdot \ mathbf {v}) = 0.

Flujo incompresible de fluidos newtonianos

La gran mayoría de los trabajos sobre las ecuaciones de Navier-Stokes se realiza en virtud de un suposición de flujo incompresible para Fluidos newtonianos. La suposición de flujo incompresible típicamente sostiene bien incluso cuando se trata de un fluido "compresible", tal como aire a temperatura ambiente (incluso cuando fluye hasta aproximadamente Mach 0,3). Tomando el supuesto flujo incompresible en cuenta y asumiendo viscosidad constante, las ecuaciones de Navier-Stokes leerán (en forma vectorial):

\ Rho \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ t parcial} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ nabla ^ 2 \ mathbf {v} + \ mathbf {f}

f representa "otro" las fuerzas de cuerpo (fuerzas por unidad de volumen), tales como la gravedad o fuerza centrífuga. Vale la pena observar el significado de cada término:

\ Overbrace {\ rho \ grande (\ underbrace {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ t parcial}} _ {\ begin {smallmatrix} \ text {} inestable \\ \ text {aceleración} \ end { smallmatrix}} + \ underbrace {\ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v}} _ {\ begin {smallmatrix} \ text {} convectiva \\ \ text {aceleración} \ end {smallmatrix}} \ Grande) } ^ {\ text {inercia}} = \ underbrace {- \ nabla p} _ {\ begin {smallmatrix} \ text {} Presión \\ \ text {gradiente} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ mu \ nabla ^ 2 \ mathbf {v}} _ {\ text {Viscosidad}} + \ underbrace {\ mathbf {f}} _ {\ begin {smallmatrix} \ text {otra} \\ \ texto {fuerzas} \ end {smallmatrix }}

Tenga en cuenta que sólo los términos convectivos son no lineales para el flujo newtoniano incompresible. La aceleración convectiva es una aceleración causada por un cambio (posiblemente constante) en la velocidad sobre la posición, por ejemplo la aceleración del fluido que entra en un convergente boquilla. Aunque las partículas de fluido individuales se aceleran y por lo tanto están bajo movimiento inestable, el campo de flujo (una distribución de velocidad) no será necesariamente dependiente del tiempo.

Otra observación importante es que la viscosidad está representado por la Laplaciano vector del campo de velocidades. Esto implica que la viscosidad newtoniana es la difusión de impulso, este funciona de la misma manera que la difusión del calor visto en el ecuación del calor (que también implica el Laplaciano).

Si también se desprecian los efectos de temperatura, la única ecuación de "otros" (aparte de las condiciones iniciales / contorno) necesita es la ecuación de continuidad de masa. Bajo el supuesto incompresible, la densidad es una constante y se deduce que la ecuación va a simplificar a:

\ Nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0

Esto es más específicamente un comunicado de la conservación de volumen (ver divergencia).

Estas ecuaciones se utilizan comúnmente en los sistemas de coordenadas 3: Cartesiano, cilíndrica, y esférica . Las ecuaciones cartesianas siguen directamente de la ecuación vectorial anterior, la obtención de ecuaciones en otros sistemas de coordenadas requerirá una cambio de variables.

Coordenadas cartesianas

Escribir la ecuación vectorial de forma explícita,

\ Rho \ left (\ frac {\ u parcial} {\ t parcial} + u \ frac {\ u parcial} {\ x parcial} + v \ frac {\ u parcial} {\ y parcial} + w \ frac { \ u parcial} {\ z parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ x parcial} + \ mu \ left (\ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial z ^ 2} \ right) + \ rho g_x
\ Rho \ left (\ frac {\ v parcial} {\ t parcial} + u \ frac {\ v parcial} {\ x parcial} + v \ frac {\ v parcial} {\ y parcial} + w \ frac { \ v parcial} {\ z parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ y parcial} + \ mu \ left (\ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ z parcial ^ 2} \ right) + \ rho g_y
\ Rho \ left (\ frac {\ partial w} {\ t parcial} + u \ frac {\ partial w} {\ x parcial} + v \ frac {\ partial w} {\ y parcial} + w \ frac { \ w parcial} {\ z parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ z parcial} + \ mu \ left (\ frac {\ partial ^ 2 w} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {w \ y parcial ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 w} {\ z parcial ^ 2} \ right) + \ rho g_z

Tenga en cuenta que la gravedad ha sido contabilizada como una fuerza del cuerpo, y los valores de g_x, g_y, g_z dependerá de la orientación de la gravedad con respecto al conjunto de coordenadas elegido.

La ecuación de continuidad se lee:

{\ Partial u \ sobre \ x parcial} + {\ partial v \ sobre \ y parcial} + {\ partial w \ sobre \ z parcial} = 0

Tenga en cuenta que los componentes de la velocidad (las variables dependientes que hay que resolver para) son u , v , w . Este sistema de cuatro ecuaciones comprende la forma más utilizada y estudiada. Aunque comparativamente más compacta que otras representaciones, esta es una sistema no lineal de ecuaciones diferenciales parciales para los que las soluciones son difíciles de obtener.

Coordenadas cilíndricas

Un cambio de las variables en las ecuaciones cartesianas se obtendrán los siguientes ecuaciones de movimiento para r, θ, y z:

\ Rho \ left (\ frac {\ U_r parcial} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ U_r parcial} {\ r parcial} + \ frac {u _ {\ theta}} {r} \ frac {\ U_r parcial } {\ partial \ theta} + u_z \ frac {\ U_r parcial} {\ z parcial} - \ frac {u _ {\ theta} ^ 2} {r} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ r parcial} + \ mu \ left [\ frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ U_r parcial} {\ r parcial} \ right) + \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 U_r} {\ partial \ theta ^ 2} + \ frac {\ U_r parcial ^ 2} {\ z parcial ^ 2} - \ frac {U_r} {r ^ 2} - \ frac {2} {r ^ 2} \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ partial \ theta} \ right] + \ rho g_r
\ Rho \ left (\ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ r parcial} + \ frac {u _ {\ theta}} { r} \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ partial \ theta} + u_z \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ z parcial} + \ frac {U_r u _ {\ theta}} {r } \ right) = - \ frac {1} {r} \ frac {\ p parcial} {\ partial \ theta} + \ mu \ left [\ frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ partial r} \ left (r \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ r parcial} \ right) + \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u _ {\ theta}} { \ partial \ theta ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u _ {\ theta}} {\ partial z ^ 2} + \ frac {2} {r ^ 2} \ frac {\ U_r parcial} {\ partial \ theta} - \ frac {u _ {\ theta}} {r ^ 2} \ right] + \ rho g _ {\ theta}
\ Rho \ left (\ frac {\ u_z parcial} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ u_z parcial} {\ r parcial} + \ frac {u _ {\ theta}} {r} \ frac {\ u_z parcial } {\ partial \ theta} + u_z \ frac {\ u_z parcial} {\ z parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ z parcial} + \ mu \ left [\ frac {1} { r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ u_z parcial} {\ r parcial} \ right) + \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u_z} {\ partial \ theta ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_z} {\ z parcial ^ 2} \ right] + \ rho g_z

Los componentes de gravedad generalmente no serán constantes, sin embargo, para la mayoría de aplicaciones se eligen cualquiera de las coordenadas de manera que los componentes de gravedad son constantes o bien se supone que la gravedad es contrarrestado por un campo de presión (por ejemplo, el flujo en la tubería horizontal se trata normalmente sin la gravedad y sin un gradiente de presión vertical). La ecuación de continuidad es:

\ Frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r U_r \ right) + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial u_ \ theta} {\ partial \ theta } + \ frac {\ u_z parcial} {\ z parcial} = 0.

Esta representación cilíndrica de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles es el segundo que más se ve (la primera fue cartesiano arriba). Coordenadas cilíndricas se eligen para tomar ventaja de la simetría, de modo que un componente de la velocidad puede desaparecer. Un caso muy común es el flujo de simetría axial, donde no hay velocidad tangencial ( u _ {\ theta} = 0 ) Y las cantidades restantes son independientes de \ Theta :

\ Rho \ left (\ frac {\ U_r parcial} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ U_r parcial} {\ r parcial} + u_z \ frac {\ U_r parcial} {\ z parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ r parcial} + \ mu \ left [\ frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ U_r parcial} {\ r parcial} \ right) + \ frac {\ partial ^ 2 U_r} {\ partial z ^ 2} - \ frac {U_r} {r ^ 2} \ right] + \ rho g_r
\ Rho \ left (\ frac {\ u_z parcial} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ u_z parcial} {\ r parcial} + u_z \ frac {\ u_z parcial} {\ z parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ z parcial} + \ mu \ left [\ frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ u_z parcial} {\ r parcial} \ right) + \ frac {\ partial ^ 2 u_z} {\ z parcial ^ 2} \ right] + \ rho g_z
\ Frac {1} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r U_r \ right) + \ frac {\ u_z parcial} {\ z parcial} = 0.

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas , la r , \ Theta Y \ Phi ecuaciones de momento están (tenga en cuenta la convención usada: \ Phi es colatitud):

\ Rho \ left (\ frac {\ U_r parcial} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ U_r parcial} {\ r parcial} + \ frac {u _ {\ theta}} {r \ sin (\ phi)} \ frac {\ U_r parcial} {\ partial \ theta} + \ frac {u _ {\ phi}} {r} \ frac {\ U_r parcial} {\ partial \ phi} - \ frac {u _ {\ theta} ^ 2 + u _ {\ phi} ^ 2} {r} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ r parcial} + \ rho g_r
\ Mu \ left [\ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r ^ 2 \ frac {\ U_r parcial} {\ r parcial} \ right) + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin (\ phi) ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 U_r} {\ partial \ theta ^ 2} + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ left (\ sin (\ phi) \ frac {\ U_r parcial} {\ partial \ phi} \ right) - 2 \ frac {U_r + \ frac {\ u_ parcial {\ phi}} {\ partial \ phi} + u _ {\ phi} \ cuna (\ phi)} {r ^ 2} + \ frac {2} {r ^ 2 \ sin (\ phi)} \ frac {\ parcial u _ {\ theta}} {\ partial \ theta} \ right]


\ Rho \ left (\ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ r parcial} + \ frac {u _ {\ theta}} { r \ sin (\ phi)} \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ partial \ theta} + \ frac {u _ {\ phi}} {r} \ frac {\ partial u _ {\ theta}} { \ partial \ phi} + \ frac {U_r u _ {\ theta} + u _ {\ theta} u _ {\ phi} \ cuna (\ phi)} {r} \ right) = - \ frac {1} {r \ sin (\ phi)} \ frac {\ p parcial} {\ partial \ theta} + \ rho g _ {\ theta}
\ Mu \ left [\ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r ^ 2 \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ r parcial} \ right ) + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin (\ phi) ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u _ {\ theta}} {\ partial \ theta ^ 2} + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ left (\ sin (\ phi) \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ partial \ phi} \ right) + \ frac {2 \ frac {\ U_r parcial} {\ partial \ theta} + 2 \ cos (\ phi) \ frac {\ partial u _ {\ theta}} {\ partial \ theta} - u _ {\ theta}} { r ^ 2 \ sin (\ phi) ^ 2} \ right]


\ Rho \ left (\ frac {\ partial u _ {\ phi}} {\ t parcial} + U_r \ frac {\ partial u _ {\ phi}} {\ r parcial} + \ frac {u _ {\ theta}} { r \ sin (\ phi)} \ frac {\ partial u _ {\ phi}} {\ partial \ theta} + \ frac {u _ {\ phi}} {r} \ frac {\ partial u _ {\ phi}} { \ partial \ phi} + \ frac {U_r u _ {\ phi} - u _ {\ theta} ^ 2 \ cuna (\ phi)} {r} \ right) = - \ frac {1} {r} \ frac {\ p parcial} {\ partial \ phi} + \ rho g _ {\ phi}
\ Mu \ left [\ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r ^ 2 \ frac {\ partial u _ {\ phi}} {\ r parcial} \ right ) + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin (\ phi) ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u _ {\ phi}} {\ partial \ theta ^ 2} + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ left (\ sin (\ phi) \ frac {\ partial u _ {\ phi}} {\ partial \ phi} \ right) + \ frac {2} {r ^ 2} \ frac {\ U_r parcial} {\ \ parcial phi} - \ frac {u _ {\ phi} + 2 \ cos (\ phi) \ frac {\ partial u _ {\ theta} } {\ partial \ theta}} {r ^ 2 \ sin (\ phi) ^ 2} \ right]


Continuidad Misa leerá:

\ Frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r ^ 2 U_r \ right) + \ frac {1} {r \ sin (\ phi)} \ frac {\ parcial u_ \ theta} {\ partial \ theta} + \ frac {1} {r \ sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ left (\ sin (\ phi) u_ \ phi \ right) = 0

Estas ecuaciones pueden ser (ligeramente) simplificado, por ejemplo, la factorización 1 / r ^ 2 a partir de los términos viscosos. Esto no se hace para preservar la estructura de la laplaciana y otras cantidades.

Formulación función de corriente

Tomando el enrollamiento de los resultados de las ecuaciones de Navier-Stokes en la eliminación de la presión. Esto es especialmente fácil de ver si se supone flujo cartesiana 2D ( w = 0 y sin dependencia de cualquier cosa en z ), Donde las ecuaciones se reducen a:

\ Rho \ left (\ frac {\ u parcial} {\ t parcial} + u \ frac {\ u parcial} {\ x parcial} + v \ frac {\ u parcial} {\ y parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ x parcial} + \ mu \ dejó (\ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2 } \ right) + \ rho g_x
\ Rho \ left (\ frac {\ v parcial} {\ t parcial} + u \ frac {\ v parcial} {\ x parcial} + v \ frac {\ v parcial} {\ y parcial} \ right) = - \ frac {\ p parcial} {\ y parcial} + \ mu \ dejó (\ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial y ^ 2 } \ right) + \ rho g_y

Diferenciando la primera con respecto a y , La segunda con respecto a x y restando las ecuaciones resultantes eliminará presión y cualquier fuerza potencial. Definición de la función de corriente \ Psi a través de

u = \ frac {\ partial \ psi} {\ y parcial} \ quad; \ Quad v = - \ frac {\ partial \ psi} {\ x parcial}

resultados en la continuidad de masa está satisfecho incondicionalmente (dada la función de corriente es continua), y luego incompresible impulso 2D newtoniana y conservación de la masa se degradan en una ecuación:

\ Frac {\ partial} {\ t parcial} \ left (\ nabla ^ 2 \ psi \ right) + \ frac {\ partial \ psi} {\ y parcial} \ frac {\ partial} {\ x parcial} \ left (\ nabla ^ 2 \ psi \ right) - \ frac {\ partial \ psi} {\ x parcial} \ frac {\ partial} {\ y parcial} \ left (\ nabla ^ 2 \ psi \ right) = \ nu \ nabla ^ 4 \ psi

donde \ Nabla ^ 4 es el (2D) operador biharmonic y \ Nu es el de la viscosidad cinemática. Esta ecuación única junto con las condiciones de contorno adecuadas describe el flujo de fluido 2D, teniendo viscosidad cinemática sólo como un parámetro. Tenga en cuenta que la ecuación para rastrero resultados de flujo cuando se supone que el lado izquierdo cero.

Flujo compresible de fluidos newtonianos

Hay algunos fenómenos excepcionales que están estrechamente vinculados con el fluido compresibilidad. Uno de los ejemplos obvios es sonido . Descripción de tales fenómenos requiere presentación más general de la ecuación de Navier-Stokes que toma en cuenta la compresibilidad del fluido. Si se supone que la viscosidad aparece una constante, un mandato adicional, como se muestra aquí:

\ Rho \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ t parcial} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ nabla ^ 2 \ mathbf {v} + \ mathbf {f} + (4 \ mu / 3 + \ mu ^ v) \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {v})

donde v es μ segundo coeficiente de viscosidad. Se relaciona con viscosidad volumen o viscosidad mayor. Este término adicional desaparece para fluido incompresible, cuando el divergencia del flujo es igual a 0.

Aplicación a problemas específicos

Las ecuaciones de Navier-Stokes, incluso cuando explícitamente escrito para fluidos específicos, son más bien de carácter genérico y su correcta aplicación a los problemas específicos pueden ser muy diversas. Esto es en parte porque hay una enorme variedad de problemas que pueden ser modelados, que van desde tan simple como la distribución de la presión estática a tan complicado como flujo multifásico impulsado por la tensión superficial .

Generalmente, la aplicación a problemas específicos comienza con algunas suposiciones de flujo y formulación condición inicial / límite, esto puede ser seguido por análisis de escala para simplificar aún más el problema. Por ejemplo, después de asumir constante, paralelo, de una sola dimensión, la presión nonconvective impulsado flujo entre placas paralelas, la resultante escalado (adimensional) problema de contorno es:

Visualización de una) de flujo paralelo y b) flujo radial.
\ Frac {d ^ 2 u} {d} y ^ 2 = -1 \ quad; \ Quad u (0) = U (1) = 0

La condición de frontera es la ninguna condición de deslizamiento. Este problema se resuelve fácilmente por el campo de flujo:

u (y) = \ frac {y - y ^ 2} {2}

Desde este punto en adelante más cantidades de interés se pueden obtener fácilmente, como fuerza de arrastre viscoso o tasa de flujo neto.

Pueden surgir dificultades cuando el problema se vuelve un poco más complicado. Un giro aparentemente modesto en el flujo paralelo anterior sería el flujo radial entre placas paralelas; esto implica la convección y por lo tanto no linealidad. El campo de velocidad puede ser representada por una función f (z) que debe satisfacer:

\ Frac {d ^ 2 f} {d z ^ 2} + R f ^ 2 = -1 \ quad; \ Quad f (0) = f (1) = 0

Esta ecuación diferencial ordinaria es lo que se obtiene cuando las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben y los supuestos de flujo aplicados (además, el gradiente de presión se resuelve para). La término no lineal hace de este un problema muy difícil de resolver analíticamente (un largo solución implícita puede encontrarse que implica integrales elípticas y raíces de los polinomios cúbicos). Problemas con la existencia real de las soluciones surgen de I> 22.609 (aproximadamente), el parámetro R es el Número de Reynolds con escalas elegidas adecuadamente. Este es un ejemplo de supuestos de flujo de perder su aplicabilidad, y un ejemplo de la dificultad de "alto" número de Reynolds fluye.

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