Integración numérica

Integración numérica consiste en encontrar aproximaciones numéricas para el valor

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia familia de algoritmos para el cálculo del valor numérico de un definido integral , y, por extensión, el término también se utiliza a veces para describir la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Este artículo se centra en el cálculo de integrales definidas. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado como cuadratura) es más o menos un sinónimo de integración numérica, especialmente en relación a las integrales de una sola dimensión. Integración numérica sobre más de una dimensión se describe a veces como cubature, aunque el significado de cuadratura se entiende para una mayor integración dimensional también.

El problema básico considerado por integración numérica es calcular una solución aproximada a una integral definida:

Si f (x) es una función de buen comportamiento suave, integrada por un pequeño número de dimensiones y los límites de integración son limitadas, hay muchos métodos de aproximación de la integral con precisión arbitraria.

Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. El f integrando (x) puede ser conocido solamente en ciertos puntos, tal como se obtiene por muestreo . Algunos sistemas integrados y otras aplicaciones informáticas pueden necesitar integración numérica por esta razón.

Una fórmula para el integrando puede ser conocida, pero puede ser difícil o imposible encontrar una antiderivada que es un función elemental. Un ejemplo de un tal integrando es f (x) = exp (- x ^2), la primitiva de los cuales (el función de error, los tiempos de una constante) no pueden ser escritos en forma elemental.

Puede ser posible encontrar una primitiva forma simbólica, pero puede ser más fácil de calcular una aproximación numérica que para calcular la antiderivada. Ese puede ser el caso si la primitiva se da como una serie infinita o producto, o si su evaluación requiere una función especial que no está disponible.

Métodos para integrales unidimensionales

Métodos de integración numérica generalmente pueden describirse como la combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. El integrando se evalúa en un conjunto finito de puntos llamados puntos de integración y una suma ponderada de estos valores se utiliza para aproximar la integral. Los puntos de integración y pesos dependen del método específico utilizado y de la precisión requerida de la aproximación.

Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones se considera generalmente superior. Reducir el número de evaluaciones del integrando reduce el número de operaciones aritméticas implicado, y por lo tanto reduce el total de error de redondeo. Además, cada evaluación lleva tiempo, y el integrando puede complicarse arbitrariamente.

Una especie "fuerza bruta" de la integración numérica se puede hacer, si el integrando es razonablemente buen comportamiento (es decir, a trozos continua y de variación acotada), mediante la evaluación del integrando con incrementos muy pequeños.

Reglas de cuadratura mediante funciones de interpolación

Una gran clase de reglas de cuadratura se puede derivar mediante la construcción de interpolación de funciones que son fáciles de integrar. Típicamente, estas funciones de interpolación son polinomios .

Ilustración de la regla rectángulo.

El método más simple de este tipo es dejar que la función de interpolación ser una función constante (un polinomio de grado cero) que pasa por el punto ((a + b) / 2, f ((a + b) / 2)). Esto se conoce como la regla del punto medio o regla rectángulo.

Ilustración de la regla trapezoidal.

La función de interpolación puede ser una función afín (un polinomio de grado 1) que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Esto se llama el regla trapezoidal.

Ilustración de la regla de Simpson.

Para cualquiera de estas reglas, podemos hacer una aproximación más precisa al romper el intervalo [a, b] en un número n de subintervalos, calcular una aproximación para cada subintervalo, entonces la suma de todos los resultados. Esto se llama una regla compuesta, regla extendida o regla iterativa. Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta se puede plantear como

donde los subintervalos tienen la forma [k h, (k 1) h], con h = (b - a) / n y k = 0, 1, 2, ..., n -1.

La interpolación con polinomios evaluados en puntos equidistantes en [a, b] se obtiene la Fórmulas de Newton-Cotes, de las cuales la regla rectángulo y la regla trapezoidal son ejemplos. La regla de Simpson, que se basa en un polinomio de orden 2, es también una fórmula de Newton-Cotes.

Reglas de cuadratura con puntos equidistantes tienen la propiedad muy conveniente de anidación. La regla correspondiente con cada intervalo subdividido incluye todos los puntos actuales, por lo que los valores del integrando se puede volver a utilizar.

Si permitimos que los intervalos entre puntos de interpolación para variar, nos encontramos con otro grupo de fórmulas de cuadratura, tales como la Fórmulas de cuadratura de Gauss. Una regla de cuadratura de Gauss es típicamente más exacta que una regla de Newton-Cotes, que requiere el mismo número de evaluaciones de la función, si el integrando es suave (es decir, si es suficientemente diferenciable). Otros métodos de cuadratura con intervalos variables incluyen Clenshaw-Curtis cuadratura (también llamada cuadratura Fejér) métodos, que hacen nido.

Reglas de cuadratura de Gauss no anidan, pero la relacionada Fórmulas de cuadratura de Gauss-Kronrod hacen.

Algoritmos adaptativos

Si f (x) no tiene muchos derivados en todos los puntos, o si los derivados se hacen grandes, entonces Cuadratura de Gauss es a menudo insuficiente. En este caso, un algoritmo similar al siguiente se obtienen mejores resultados:

 def calculate_definite_integral_of_f (f, initial_step_size): '' 'Este algoritmo calcula la integral definida de una función de 0 a 1, de forma adaptativa, por la elección de pasos más pequeños cerca de los puntos problemáticos.  '' 'X = 0,0 h = initial_step_size acumulador = 0,0, mientras que x <1.0: si x + h> 1.0: h = 1,0 - x = quad_this_step si error_too_big_in_quadrature_of_over_range (f, [x, x + h]): h = make_h_smaller (h ) else: acumulador + = quadrature_of_f_over_range (f, [x, x + h]) x + = h si error_too_small_in_quadrature_of_over_range (f, [x, x + h]): h = make_h_larger (h) # Evite perder el tiempo en pequeños pasos. retorno acumulador 

Algunos detalles del algoritmo requieren pensamiento cuidadoso. Para muchos casos, la estimación del error de cuadratura en un intervalo para una función f (x) no es obvia. Una solución popular es el uso de dos reglas diferentes de cuadratura, y utilizar su diferencia como una estimación del error de cuadratura. El otro problema es decidir qué "demasiado grande" o "muy pequeña" significan. Un criterio local para "demasiado grande" es que el error de cuadratura no debe ser mayor que t · h donde t, un número real, es la tolerancia que queremos establecer para el error global. Por otra parte, si h es ya pequeño, puede que no valga la pena para que sea aún más pequeño incluso si el error de cuadratura es aparentemente grande. Un criterio global es que la suma de errores en todos los intervalos debe ser inferior a t. Este tipo de análisis de errores por lo general se llama "a posteriori", ya que se calcula el error después de haber calculado la aproximación.

Heurística para cuadratura adaptativa son discutidos por Forsythe et al. (Sección 5.4).

Métodos de extrapolación

La precisión de una regla de cuadratura del tipo Newton-Cotes es generalmente una función del número de puntos de evaluación. El resultado es por lo general más precisa como el número de puntos de evaluación aumenta, o, equivalentemente, como la anchura de el tamaño de paso entre los puntos disminuye. Es natural preguntarse cuál sería el resultado si el tamaño de paso se les permitió acercarse a cero. Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o más tamaños de paso no nulos, utilizando métodos de aceleración series como Extrapolación de Richardson. La función de extrapolación puede ser un polinomio o función racional. Métodos de extrapolación se describen en más detalle por Stoer y Bulirsch (Sección 3.4) y se aplican en muchas de las rutinas en el Biblioteca QUADPACK.

Conservador (a priori) la estimación de error

Sea f tiene una primera derivada acotada en [a, b]. La teorema del valor medio para f, donde x <b, da

para algunos y _x en [a, x] en función de x. Si integramos en x de A a B en ambos lados y tomar los valores absolutos, obtenemos

Podemos aproximar aún más la integral en el lado de la mano derecha por lo que el valor absoluto en el integrando, y reemplazando el término en f 'por un límite superior:

(**)

(Ver supremum) Por lo tanto, si nos aproximamos la integral ∫ _a ^b f (x) dx por la regla de cuadratura (b - a.) f (a) nuestro error no es mayor que el lado derecho de (**). Podemos convertir esto en un análisis de error para la suma de Riemann (*), dando un límite superior de

para el término de error de que la aproximación particular. (Tenga en cuenta que este es precisamente el error se calculó para el ejemplo ). El uso más derivados, y por ajustar la cuadratura, podemos hacer un análisis de error similar utilizando una serie de Taylor (utilizando una suma parcial con plazo remanente) para f. Este análisis del error da una estricta límite superior en el error, si los derivados de f están disponibles.

Este método de integración se puede combinar con aritmética de intervalos para producir pruebas de ordenador y cálculos verificados.

Integrales sobre intervalos infinitos

Intervalos de Infinite

Una manera de calcular una integral sobre intervalo infinito,

es para transformarla en una integral sobre un intervalo finito por uno cualquiera de varios cambios posibles de variables, por ejemplo:

La integral sobre intervalo finito puede entonces ser evaluada por los métodos de integración ordinarios.

Intervalos de medio infinitas

Una integral durante un intervalo de media-infinito del mismo modo se puede transformar en una integral sobre un intervalo finito por uno cualquiera de los diversos cambios posibles de variables, por ejemplo:

Del mismo modo,

Integrales multidimensionales

Las reglas de cuadratura discutido hasta ahora todos han sido diseñados para calcular integrales unidimensionales. Para calcular integrales en múltiples dimensiones, un enfoque consiste en la frase múltiplo entero como repetidas integrales unidimensionales apelando a El teorema de Fubini. Este enfoque requiere las evaluaciones de la función a crecer de forma exponencial el número de dimensiones aumenta. Dos métodos son conocidos para superar esta llamada maldición de la dimensionalidad.

Monte Carlo

Métodos de Monte Carlo y métodos cuasi-Monte Carlo son fáciles de aplicar a integrales multidimensionales, y pueden producir una mayor precisión para el mismo número de evaluaciones de la función de integraciones repetidas utilizando métodos unidimensionales.

Una gran clase de métodos de Monte Carlo útiles son el llamado Algoritmos Monte Carlo cadena de Markov, que incluyen la Algoritmo de Metropolis-Hastings y Muestreo de Gibbs.

Redes dispersas

Rejillas Escasos fueron desarrollados originalmente por Smolyak para la cuadratura de las funciones de alta dimensión. El método se basa siempre en una regla de cuadratura dimensional uno, pero lleva a cabo una combinación más sofisticada de los resultados univariados.

Conexión con ecuaciones diferenciales

El problema de la evaluación de la integral

se puede reducir a una problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria . Si la integral anterior se denota por I (b), entonces la función I satisface

Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, tales como Métodos de Runge-Kutta, se pueden aplicar al problema reexpresado y por lo tanto ser usados para evaluar la integral. Por ejemplo, el método de Runge-Kutta de cuarto orden estándar aplicado a la ecuación diferencial se obtiene la regla de Simpson desde arriba.

La ecuación diferencial I '(x) = f (x) tiene una forma especial: la parte derecha contiene sólo la variable dependiente (en este caso x) y no la variable independiente (aquí). Esto simplifica la teoría y algoritmos considerablemente. El problema de la evaluación de las integrales de este modo se estudia mejor en su propio derecho.