Octaedro
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| Octaedro regular | |
|---|---|
 (Haga clic aquí para el modelo de rotación) | |
| Tipo | Sólidos platónicos |
| Elementos | F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2) |
| Las caras de los lados | 8 {3} |
| Símbolo de Schläfli | {3,4} |
| Símbolo Wythoff | 4 | 2 3 |
| Coxeter-Dynkin |     |
| Simetría | O h, BC 3, [4,3], (* 432) |
| Grupo de rotación | O, [4,3] +, (432) |
| Referencias | U 05, C 17, W 2 |
| Propiedades | Regular convexo Deltaedro |
| Ángulo diedro | 109.47122 ° = arccos (-1/3) |
 3.3.3.3 ( Vertex figura) |  Cubo ( poliedro dual) |
 Neto | |
Un octaedro (plural: octaedros) es un poliedro con ocho caras. Un octaedro regular es un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros, cuatro de los cuales se reúnen en cada vértice.
El octaedro de grupo de simetría es O h, del orden de 48. Este grupo de subgrupos incluyen D 3d (para 12), el grupo de simetría de un triangular antiprisma; D 4h (para 16), el grupo de simetría de un cuadrado bipirámide; y T d (para 24), el grupo de simetría de un rectificada tetraedro . Estas simetrías se pueden valorizar con diferentes decoraciones de las caras.
Es una de tres dimensiones polytope cruz.
Coordenadas cartesianas
Un octaedro se puede colocar con su centro en el origen y sus vértices en los ejes de coordenadas; las coordenadas cartesianas de los vértices son entonces
- (± 1, 0, 0);
- (0, ± 1, 0);
- (0, 0, ± 1).
Área y volumen
La zona A y el volumen V de un octaedro regular de longitud de borde a son:
Así, el volumen es cuatro veces mayor que la de un habitual tetraedro con la misma longitud de borde, mientras que la superficie es dos veces (porque tenemos 8 vs 4 triángulos).
Las relaciones geométricas
El interior de la compuesto de dos dual tetraedros es un octaedro, y este compuesto, llamado stella octangula, es su primera y única constelación. Correspondientemente, un octaedro regular es el resultado de cortar a partir de un tetraedro regular, cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar la tetraedro). Los vértices de la mentira octaedro en los puntos medios de los bordes de la tetraedro, y en este sentido se refiere a la tetraedro de la misma manera que la cuboctaedro y icosidodecaedro relacionan con los otros sólidos platónicos. Uno puede también dividir los bordes de un octaedro en la relación de la justo medio para definir los vértices de un icosaedro. Esto se hace por primera vectores de colocación a lo largo de los bordes de la octaedro de manera que cada cara está limitada por un ciclo, entonces la partición de cada borde de manera similar en el medio de oro a lo largo de la dirección de su vector. Hay cinco octaedros que definen cualquier icosaedro dado de esta manera, y juntos definen un compuesto regular.
Octaedros y tetraedros se pueden alternar para formar un vértice, borde y cara uniforme teselación del espacio, llamado el cercha octeto Buckminster Fuller. Este es el único suelo de baldosas guardar la teselación regular de cubos , y es uno de los 28 panales uniformes convexos. Otro es un mosaico de octaedros y cuboctahedra.
El octaedro es único entre los sólidos platónicos en tener un número par de caras que se encuentran en cada vértice. En consecuencia, es el único miembro de ese grupo de poseer planos de simetría que no pasan a través de cualquiera de las caras.
Utilizando la nomenclatura estándar para Sólidos de Johnson, un octaedro se llamarían una bipirámide cuadrada.
Poliedros Relacionados
El octaedro también se puede considerar una tetraedro rectificada. Esto se puede demostrar por un modelo de cara a 2 colores. Con esta coloración, el octaedro tiene simetría tetraédrica.
Comparar esta secuencia truncamiento entre un tetraedro y su doble:
 Tetraedro |  Tetraedro truncado |  octaedro |  Tetraedro truncado |  Tetraedro |
Octaedros en el mundo físico
- Especialmente en juegos de rol, este sólido se conoce como un d8 , uno de los más comunes dados poliédricos .
- Si cada borde de un octaedro se sustituye por una ohm resistencia, la resistencia entre vértices opuestos es 2.1 ohmios, y que entre los vértices adyacentes 5.12 ohmios.
- Cristales naturales de diamante , alumbre o fluorita son comúnmente octaédrica.
Octaedros en la música
Si coloca las notas en cada vértice de un octaedro, usted puede conseguir un six nota de escala entonación justa con notables propiedades - es muy simétrica y tiene ocho tríadas de consonantes y doce diadas consonantes. Ver hexany
Otros octaedros
El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro; octaedros no regular puede tener hasta 12 vértices y 18 aristas.
- Prisma hexagonal: 6 plazas, 2 hexágonos
- Heptagonal pirámide: 7 triángulos, 1 heptágono
- Tetragonal bipiramidales: 8 triángulos, generalmente isósceles )
- El octaedro regular es un caso especial con triángulos equiláteros
- Tetraedro truncado: 4 triángulos, hexágonos 4
- Trapezoedro tetragonal - 8 cometas
