Operador (matemáticas)

En matemáticas , el operador es una función , que opera en (o modifica) otra función. A menudo, un "operador" es una función que actúa en funciones para producir otras funciones (el sentido en que Oliver Heaviside utilizó el término); o puede ser una generalización de una función de este tipo, como en álgebra lineal , donde algunos de la terminología refleja el origen de la materia en las operaciones sobre las funciones que son soluciones de las ecuaciones diferenciales . Un operador puede realizar una función en cualquier número de operandos (entradas), aunque más a menudo hay un solo operando.

El operador también puede ser llamado un operación, pero el punto de vista es diferente. Por ejemplo, se puede decir "la operación de adición" (pero no el "operador de adición") cuando se centra en los operandos y el resultado. Uno dice "operador de adición" al centrarse en el proceso de adición, o desde el punto de vista más abstracto, la función +: S × S → S.

Notación

Un nombre de operador o símbolo de operador es una notación que denota un operador particular. Cuando no hay peligro de confusión, un nombre de operador o símbolo de operador pueden ser referidos a más brevemente como un "operador". Estrictamente hablando, sin embargo, el operador es un objeto matemático y no la entidad sintáctica que denota ella. La razón de que lo identifica con su notación es que hay algunos operadores que han llegado a tener anotaciones estándar.

Ejemplos sencillos de los operadores

En álgebra lineal un "operador" es un operador lineal. En el análisis de un "operador" puede ser un diferencial operador, para llevar a cabo la diferenciación ordinaria, o un operador integral, para llevar a cabo la integración ordinario.

Un ejemplo es un operador diferencial, es el derivado de sí mismo. El nombre del operador correspondiente D, cuando se coloca antes de una función diferenciable f, indica que la función es ser diferenciada con respecto a la variable.

Operadores comparadas con las funciones

El operador palabra puede, en principio, aplicarse a cualquier función. Sin embargo, en la práctica se aplica más frecuentemente a funciones que operan sobre matemática entidades de mayor complejidad de los números reales , tales como vectores , variables aleatorias , o expresiones matemáticas. La diferencial y operadores integrales, por ejemplo, tienen dominios y codomains cuya elementos son expresiones matemáticas de complejidad indefinida. Por el contrario, funciona con dominios con valores vectoriales sino rangos escalares se llaman funcionales y formas.

En general, si bien el dominio o codomain (o ambos) de una función contiene elementos significativamente más complejo que los números reales, esa función se conoce como un operador. A la inversa, si ni el dominio ni la codomain de una función contienen elementos más complicados que los números reales, que la función es probable que se hace referencia simplemente como una función. funciones trigonométricas tales como coseno son ejemplos de este último caso.

Además, cuando se utilizan funciones con tanta frecuencia que han evolucionado anotaciones rápidas o fáciles que la forma genérica F (x, y, z, ...), las formas especiales que son resultado también se llaman operadores. Los ejemplos incluyen operadores infijos, como suma "+" y la división "/", y Operadores de sufijo tales como factorial "!". Este uso no está relacionada con la complejidad de las entidades involucradas.

Las influencias de otras disciplinas

Conceptos de otras disciplinas, como en la física y en menor grado la informática , han influido en la forma en que los operadores se perciben y utilizan.

Física

La influencia mutua entre la física y las matemáticas en relación con el concepto de los operadores ha sido a largo plazo, a partir de principios de 1900, y profunda en ambos sentidos. La mecánica cuántica , en particular, se vio obligado a pasar de las estrategias de medición clásicos que implican valores numéricos sólo simples para el uso de operadores que transformaron y manipulados entidades menos intuitivas. Estos incluyeron vectores tanto en el espacio real y en generalizaciones de espacio real llamadas Espacios de Hilbert, espinores, y diversas formas de matrices . El gran físico PAM Dirac capturó la importancia de la relación entre la física cuántica y la matemática diciendo "Las leyes físicas deben tener la belleza matemática y la sencillez".

Ejemplos de operadores matemáticos

Esta sección se centra en ilustrar el poder expresivo del concepto operador en matemáticas. Por favor, consulte las páginas de temas individuales para más detalles.

Operadores lineales

El tipo más común de operador encontrados son operadores lineales. Al hablar de los operadores lineales, el operador está representado generalmente por las letras T o L. Operadores lineales son aquellos que cumplen las siguientes condiciones; tomar el operador general de T, la función actuó en el marco del operador T, escrito como f (x), y la constante A:

Muchos operadores son lineales. Por ejemplo, el operador diferencial y el operador laplaciano, que veremos más adelante.

Operadores lineales también se conocen como transformaciones o aplicaciones lineales lineal. Muchos otros operadores que uno encuentra en las matemáticas son lineales, y operadores lineales son los más fácilmente estudiado (Comparar con no linealidad).

Un ejemplo de una transformación lineal entre vectores en R ² es la reflexión: dado un vector x = (x _1, x ₂₎

Q (x _1, x ₂₎ = (- x _1, x ₂₎

También podemos dar sentido a los operadores lineales entre las generalizaciones de finitos espacios vectoriales bidimensionales. Por ejemplo, hay un gran cuerpo de trabajo que trata de los operadores lineales en Espacios de Hilbert y en Espacios de Banach. Ver también álgebra operador.

Los operadores de la teoría de probabilidades

Los operadores también están involucrados en la teoría de la probabilidad. Tales operadores como expectativa, varianza , covarianza, factoriales , etc.

Los operadores de cálculo

Cálculo es, esencialmente, el estudio de los dos operadores particulares: el operador diferencial D = d / d t, y el operador integral indefinida . Estos operadores son lineales, al igual que muchos de los operadores construidas a partir de ellos. En las partes más avanzadas de matemáticas, estos operadores se estudian como parte de análisis funcional.

El operador diferencial

La operador diferencial es un operador que se utiliza fundamentalmente en el cálculo para denotar la acción de tomar un derivado. Notaciones comunes son dy / dx, y y '(x) para denotar la derivada de y (x). Aquí, sin embargo, vamos a utilizar la notación que es más cercano a la notación de operadores que hemos estado utilizando; es decir, usando Df para representar la acción de tomar la derivada de f.

Operadores integrales

Dado que la integración es un operador, así (inversa de la diferenciación), tenemos algunos operadores importantes que podemos escribir en términos de integración.

Circunvolución

La convolución es una asignación de dos funciones f (t) y g (t) a otra función, definida por una integral de la siguiente manera:

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier se utiliza en muchas áreas, no sólo en matemáticas, pero en la física y en el procesamiento de la señal, por nombrar algunos. Es otro operador integral; es útil principalmente debido a que convierte una función en un dominio (espacial) a una función en otra (frecuencia) de dominio, de una manera que es efectivamente invertible. Nada importante se pierde, porque hay una transformada inversa operador. En el caso simple de funciones periódicas, este resultado se basa en el teorema de que cualquier función periódica continua se puede representar como la suma de una serie de ondas sinusoidales y las ondas de coseno:

Cuando se trata de la función general R → C, la transformación adquiere un integrante formulario:

Laplaciano transformar

La transformada de Laplace es otro operador integral y está implicado en la simplificación del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales.

Dada f = f (s), se define por:

Operadores fundamentales en campos escalares y vectoriales

Tres operadores principales son la clave de cálculo vectorial , el operador ∇, conocido como gradiente, donde en un cierto punto en un campo escalar forma un vector que apunta en la dirección de mayor cambio de ese campo escalar. En un campo de vector, el divergencia es un operador que mide la tendencia de un campo vectorial que se originan en o convergen en un punto dado. Curl, en un campo de vector, es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial para girar alrededor de un punto.

Relación de escribir teoría

En teoría de tipos, un operador en sí es una función, pero tiene un tipo de adjunto que indica el operando correcta, y el tipo de la función de regresar. Las funciones pueden, por tanto, por el contrario se considerarán operadores, para los que nos olvidamos de algo del tipo de equipaje, dejando sólo las calcomanías para el dominio y codominio.

Los operadores de la física

En la física , a menudo un operador adquiere un significado más especializado que en matemáticas. Operadores como observables son una parte clave de la teoría de la mecánica cuántica . En ese operador de contexto a menudo significa una transformación lineal a partir de una Espacio de Hilbert a otro, o (más abstracto) un elemento de una C * álgebra.

Los operadores en los lenguajes de programación

En general, el término "operador" en la computadora lenguajes de programación tiene el mismo significado que en las matemáticas. Esto es particularmente cierto en lenguajes de programación funcional, cuando un operador es también una función.

Operadores como primitivas

Sin embargo, la mayoría de los lenguajes de programación distinguen entre los operadores y funciones en que los operadores son una parte primitiva especial de la lengua, tanto sintácticamente y en términos de funcionalidad. Por ejemplo, la mayoría de los lenguajes proporcionan un ' + '(Además) del operador, lo que suma dos números sin hacer una llamada a la función.

En muchos idiomas, este comportamiento es totalmente diferente a la de una llamada a la función. Por ejemplo, en C (y muchos derivados tales como Java ), los operadores aritméticos pueden actuar en cualquier numérico tipo de datos, mientras que las funciones sólo están autorizados a actuar en un solo tipo explícito.

Otros idiomas (sobre todo los de mayor edad) no tienen funciones que devuelven valores en absoluto. Sin embargo, a menudo todavía tienen los operadores que hacen valores de retorno, la ampliación de la distinción entre operadores y funciones.

Operadores no matemáticos

Los lenguajes de programación ofrecen a menudo los operadores no matemáticos. Estos pueden incluir los operadores que hacen referencia o eliminar la referencia los punteros, que acceden elementos de la matriz, o conseguir la tamaño de un tipo de datos. También pueden incluir operadores compuestas tales como " += ", que incrementa una variable por un valor dado.

Los operadores en lenguaje ensamblador

En programación en lenguaje ensamblador, el término "operador" puede referirse a la código de operación de una instrucción dada. Esto es muy similar al concepto primitivo de un operador en un lenguaje de alto nivel.