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Número perfecto

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En matemáticas, un número perfecto se define como un número entero positivo que es la suma de sus positivos adecuados divisores , es decir, la suma de los divisores positivos sin incluir el propio número. De manera equivalente, un número perfecto es un número que es la mitad de la suma de todos sus divisores positivos, o σ (n) = 2 n.

El primer número perfecto es 6, ya que 1, 2, y 3 son sus divisores positivos adecuados y 1 + 2 + 3 = 6. El siguiente número perfecto es 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Los próximos números perfectos son 496 y 8128 (secuencia A000396 en OEIS ).

Estos cuatro primeros números perfectos eran los únicos conocidos hasta principios Matemáticas griegas.

Incluso los números perfectos

Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos se generan por la fórmula 2 n -1 (2 n - 1):

para n = 2: 2 1 (febrero 2 a 1) = 6
para n = 3: 2 2 (3-1 febrero) = 28
para n = 5: 2 4 (febrero 5 a 1) = 496
para n = 7: 2 6 (febrero 7-1) = 8,128.

Al darse cuenta de que 2 n - 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2 n -1 (2 n - 1) da un número par perfecto cada vez que 2 n - (. Euclides, Prop IX.36) 1 es primo .

Matemáticos antiguos hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basados en los cuatro sabían, pero la mayoría de esos supuestos serían más tarde ser incorrectas. Uno de estos supuestos era que desde 2, 3, 5, y 7 son precisamente los primeros cuatro números primos, se obtendría el quinto número perfecto cuando n = 11, la quinta prime. Sin embargo, febrero 11 a 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por lo tanto n = 11 no cede un número perfecto. Otros dos supuestos erróneos fueron:

  • El quinto número perfecto tendría cinco dígitos en base 10 desde que los primeros cuatro tenían 1, 2, 3, y 4 dígitos, respectivamente.
  • Los números perfectos terminaban alternativamente en 6 u 8.

El número perfecto quinto ( 33550336 = 2 ^ {12} (2 ^ {13} -1) ) Tiene 8 dígitos, refutando así la primera hipótesis. Para el segundo supuesto, el quinto número perfecto de hecho termina con una 6. Sin embargo, el sexto (8 589 869 056) también termina en una 6. Es fácil demostrar que el último dígito de cualquier número par perfecto debe ser 6 o 8 .

A fin de que 2 ^ n-1 ser primer, es necesaria pero no suficiente para que n debe ser de primera. Los números primos de la forma 2 n - 1 se conocen como Primos de Mersenne, después de que el monje del siglo XVII Marin Mersenne, que estudió la teoría de números y los números perfectos.

Durante un milenio después de Euclides, Ibn al-Haytham (Alhazen) alrededor del año 1000 dC se dio cuenta de que cada número perfecto es de la forma 2 n -1 (2 n - 1) donde 2 n - 1 es primo , pero no fue capaz de demostrar este resultado. No fue sino hasta el siglo 18 que Leonhard Euler demostró que la fórmula 2 n -1 (2 n - 1) rendirá todos los números incluso perfectos. Por lo tanto, existe una asociación concreta de uno a uno entre los números pares perfectos y primos de Mersenne. Este resultado se refiere a menudo como la "Euclides-Euler Teorema". A partir de septiembre de 2007, sólo 44 números primos de Mersenne son conocidos, lo que significa que hay 44 números perfectos conocidos, siendo el más grande 2 × 32582656 (2 32582657 - 1) con 19.616.714 dígitos.

Los primeros 39 números aún son perfectos 2 n -1 (2 n - 1) para

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (secuencia A000043 en OEIS )

El otro 5 conocidos son para n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657. No se sabe si hay otros entre ellos.

Aún no se sabe si existen infinitos números primos de Mersenne y números perfectos. La búsqueda de nuevos números primos de Mersenne es el objetivo de la GIMPS distribuye proyecto de computación.

Dado que cualquier número perfecto tiene la forma 2 n -1 (2 n - 1), que es un número triangular, y, como todos los números triangulares, es la suma de todos los números naturales hasta un cierto punto; en este caso: 2 n - 1. Además, cualquier número par perfecto, excepto el primero es la suma de las primera 2 (n-1) / 2 cubos impares:

6 = 2 ^ 1 (2 ^ 2-1) = 1 + 2 + 3, \,
28 = 2 ^ 2 (2 ^ 3-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 ^ 3 + 3 ^ 3, \,
496 = 2 ^ 4 (2 ^ 5-1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 29 + 30 + 31 = 1 ^ 3 + 3 ^ 3 + 5 + 7 ^ 3 ^ 3, \,
8128 = 2 ^ 6 (2 ^ 7-1) = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 125 + 126 + 127 = 1 ^ 3 + 3 ^ 3 + 5 + 7 ^ 3 ^ 3 + 9 + 11 ^ 3 ^ 3 + 13 + 15 ^ 3 ^ 3. \,

Incluso los números perfectos (excepto 6) dan resto 1 al dividirse por 9. Esto puede reformularse de la siguiente manera. Adición de los dígitos de cualquier número par perfecto (excepto 6), entonces la adición de los dígitos del número resultante, y repitiendo este proceso hasta que se obtiene un solo dígito - el número resuting se denomina raíz digital - produce el número 1. Por ejemplo la raíz digital de 8128 = 1, ya que 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, y 1 + 0 = 1.

Números perfectos impares

Lista de los problemas sin resolver en las matemáticas
¿Existen los números perfectos impares?

Se desconoce si hay alguna números perfectos impares. Se han obtenido resultados diversos, pero ninguno que ha ayudado a localizar una o de otra manera a resolver la cuestión de su existencia. Carl Pomerance ha presentado un argumento heurístico que sugiere que no existen números perfectos impares. Además, se ha conjeturado que no hay impar Números armónicos de Ore. De ser cierto, esto implicaría que no hay números perfectos impares.

Cualquier extraño número perfecto N debe satisfacer las siguientes condiciones:

  • N> 10 300. Una búsqueda está en demostrar que también se requiere N> 10 500.
  • N es de la forma
N = q ^ {\ alpha} p_1 ^ {2e_1} \ ldots p_k ^ {2e_k},
donde:
  • q, p 1, ..., p k son números primos distintos (Euler).
  • q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
  • El factor primo más pequeño de N es menor que (2 k + 8) / 3 (Grün 1952).
  • La relación e_1 ≡ e_2 ... ≡ e_k ≡ 1 ( mod 3) no se cumple (McDaniel, 1970).
  • Cualquiera de q α> 10 20, o P_j ^ {2e_j} > 10 20 para algunos j (Cohen 1987).
  • N <2 ^ {4 ^ {k + 1}} (Nielsen 2003).
  • El factor primo más grande de N es mayor que 10 8 (Takeshi Goto y Yasuo Ohno, 2006).
  • El factor primo segundo más grande es mayor que 10 4, y el tercer factor primo más grande es mayor que 100 (Iannucci 1999, 2000).
  • N tiene al menos 75 factores primos; y al menos 9 factores primos distintos. Si al menos 3 no es uno de los factores de N, entonces n tiene 12 factores primos distintos (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).
  • Cuando E_i ≤ 2 para cada i
    • El factor primo más pequeño de N es de al menos 739 (Cohen 1987).
    • α ≡ 1 ( mod 12) o α ≡ 9 (mod 12) (McDaniel, 1970).

Cita

En 1888, Sylvester declaró:

" ... Una meditación prolongada sobre el tema me ha satisfecho de que la existencia de cualquiera de tales [número perfecto impar] -su
escapar, por así decir, de la compleja red de condiciones que el dobladillo en todos los lados, sería poco menos que un milagro. 		"

Resultados menores

Incluso los números perfectos tienen una forma muy precisa; números perfectos impares son raros, si es que existen. Hay una serie de resultados en números perfectos que son en realidad bastante fácil de probar, pero sin embargo superficialmente impresionante; algunos de ellos también vienen bajo Richard Guy ley fuerte de los pequeños números:

  • Un número perfecto impar no es divisible por 105 (Kühnel 1949).
  • Cada número perfecto impar es de la forma 12 m + 1 o 36 m + 9 (Touchard 1953; Holdener 2002).
  • El número sólo incluso perfecta de la forma x ^ 3 + 1 es 28 (Makowski 1962).
  • La Número de Fermat no puede ser un número perfecto (Luca 2000).
  • Al dividir la definición a través del número perfecto N, el inversos de los factores de un número perfecto N debe agregar hasta 2:
    • Para 6, tenemos 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2 ;
    • Para el 28, tenemos 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2 , Etc.
  • El número de divisores de un número perfecto (ya sea par o impar) tiene que ser plana, ya que N no puede ser un cuadrado perfecto.
    • A partir de estos dos resultados se deduce que cada número perfecto es una Número armónico de Ore.

Conceptos relacionados

La suma de los divisores propios da varios otros tipos de números. Números donde la suma es menor que el número en sí son llamados deficiente, y donde es mayor que el número, abundante. Estos términos, junto con la propia perfecto, vienen del griego numerología. Un par de números que son la suma de los de los demás divisores propios son llamados ciclos amistosas, y más grandes de números se llaman sociable. Un número entero positivo tal que cada número entero positivo más pequeño es una suma de divisores diferenciada de la misma es una número práctico.

Por definición, un número perfecto es un punto fijo de la restringido divisor de función s (n) = σ (n) - n, y el secuencia alícuota asociado con un número perfecto es una constante secuencia .

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