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Series de potencias

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En matemáticas , una serie de potencias (en una variable) es una serie infinita de la forma

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n \ left (xc \ right) ^ n = a_0 + a_1 (xc) ^ 1 + a_2 (xc) ^ 2 + a_3 (xc) ^ 3 + \ cdots

donde un n representa el coeficiente de la n-ésima plazo, c es una constante, y x varía alrededor c (por esta razón a veces uno habla de la serie como está centrada en c). Esta serie se presenta generalmente como la serie de Taylor de algunos conocidos función ; la serie de Taylor artículo contiene muchos ejemplos.

En muchas situaciones c es igual a cero, por ejemplo cuando se considera una serie de Maclaurin . En tales casos, la serie de potencias toma la forma más simple

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n x ^ n = A_0 + A_1 x + A_2 x ^ 2 + a_3 x ^ 3 + \ cdots.

Estas series de potencias surgen principalmente en el análisis, sino que también se producen en la combinatoria (bajo el nombre de la generación de funciones) y en ingeniería eléctrica (con el nombre de la Z-Transform). Lo familiar notación decimal para enteros también puede ser visto como un ejemplo de una serie de potencias, pero con el argumento x fijado en 10. En la teoría de números , el concepto de números p-adic también está estrechamente relacionada con la de una serie de potencias.

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n 1 términos de su serie de potencias Maclaurin (en rojo).

Ejemplos

Cualquier polinomio se puede expresar fácilmente como una serie de potencias en torno a cualquier centro de c, aunque con la mayoría de los coeficientes iguales a cero. Por ejemplo, el polinomio f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 se puede escribir como una serie de potencias en torno al centro c = 0 como

f (x) = x 3 + 2 + 1 x ^ 2 + 0 x ^ 3 + x ^ 0 + 4 \ cdots \,

o alrededor del centro c = 1 como

f (x) = 6 + 4 (x-1) + 1 (x-1) ^ 2 + 0 (x-1) ^ 3 + 0 (x-1) ^ 4 + \ cdots \,

o de hecho en torno a cualquier otro centro c. Uno puede ver series de potencias como si fuera "polinomios de grado infinito", aunque las series de potencias no son polinomios.

La fórmula de la serie geométrica

\ frac {1} {1-x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots,

que es válida para | X | <1 , Es uno de los ejemplos más importantes de una serie de potencias, como lo son la fórmula función exponencial

e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} { 3!} + \ cdots,

y la fórmula sine

\ Sin (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} = X - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {! 7} + \ cdots,

válida para todo real x. Estas series de energía también son ejemplos de series de Taylor .

Poderes negativos no son permitidos en una serie de potencias, por ejemplo 1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + \ cdots no se considera una serie de potencias (aunque es una Serie de Laurent). Poderes mismo modo, fraccionales tales como x ^ {1/2} No se permiten (pero ver Serie Puiseux). Los coeficientes a_n no se les permite depender x , Por lo tanto, por ejemplo:

\ Sin (x) x + \ sin (2x) x ^ 2 + \ sin (3x) x ^ 3 + \ cdots \, No es una serie de potencias.

Radio de convergencia

Una serie de potencias converge para algunos valores de la variable x y puede divergir de otros. Toda serie de potencias converge en x = c. Siempre hay un número r con 0 ≤ r ≤ ∞ tal que la serie converge cuando | x - c | <r y diverge cuando | x - c |> r. El número r se denomina radio de convergencia de la serie de potencias; En general, se da como

r = \ liminf_ {n \ to \ infty} \ left | a_n \ right | ^ {- \ frac {1} {n}}

o, equivalentemente,

r ^ {- 1} = \ limsup_ {n \ to \ infty} \ left | a_n \ right | ^ {\ frac {1} {n}}

(Ver Límite superior y límite inferior). Una manera rápida de calcular es

r ^ {- 1} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | {a_ {n + 1} \ sobre a_n} \ right |

si existe este límite.

Las series converge absolutamente para | x - c | <ry converge uniformemente en cada compacto subconjunto de {x: | x - c | <r}.

Para | x - c | = r, no podemos hacer ninguna declaración general sobre si la serie converge o diverge. Sin embargo, Teorema de Abel establece que la suma de la serie es continua en x si la serie converge en x.

Operaciones en serie de potencias

Suma y resta

Cuando dos funciones fyg se descomponen en serie de potencias en torno a un mismo centro de c, la serie de potencias de la suma o diferencia de las funciones se puede obtener mediante la adición término a término y la resta. Es decir, si:

f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (x-c) ^ n
g (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (x-c) ^ n

entonces

f (x) \ pm g (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a_n \ pm b_n) (xc) ^ n

Multiplicación y división

Con las mismas definiciones anteriores, para la serie de potencias del producto y el cociente de las funciones se puede obtener como sigue:

f (x) g (x) = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (xc) ^ n \ right) \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc) ^ n \ right)
= \ Sum_ {i = 0} ^ \ infty \ sum_ {j = 0} ^ \ infty a_i b_j (xc) ^ {i + j}
= \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ sum_ {i = 0} ^ n a_i b_ {ni} \ right) (xc) ^ n.

La secuencia de m_n = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i b_ {n-i} se conoce como el convolución de las secuencias de a_n y b_n .

Para la división, observar:

{F (x) \ over g (x)} = {\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (xc) ^ n \ sobre \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc) ^ n} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty d_n (xc) ^ n
f (x) = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (xc) ^ n \ right) \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty d_n (xc) ^ n \ right)

y luego usar lo anterior, la comparación de los coeficientes.

La diferenciación y la integración

Una vez que una función se administra como una serie de potencias, es continua dondequiera que converge y es diferenciable en el interior de este conjunto. Se puede diferenciar y integrado con bastante facilidad, mediante el tratamiento de cada término por separado:

f ^ \ prime (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n n \ left (xc \ right) ^ {n-1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n + 1} \ left (n + 1 \ right) \ left (xc \ right) ^ {n}
\ Int f (x) \, dx = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {a_n \ left (xc \ right) ^ {n + 1}} {n + 1} + k = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {a_ {n-1} \ left (xc \ right) ^ {n}} {n} + k.

Ambas series tienen el mismo radio de convergencia que el original.

Las funciones analíticas

Una función f definida en algunos subconjunto abierto U de R o C se llama analítica si se administra localmente por series de potencias. Esto significa que cada a ∈ U tiene un abierto barrio V ⊆ U, tal que existe una serie de potencias con centro de una que converge a f (x) para todo x ∈ V.

Cada serie de potencias con un radio de convergencia positivo es analítica en el interior de su región de convergencia. Todos funciones holomorfas son-analítica compleja. Sumas y productos de funciones analíticas son analíticas, como lo son cocientes, siempre que el denominador es distinto de cero.

Si una función es analítica, entonces es infinitamente diferenciable a menudo, pero en el caso real de lo contrario no es cierto en general. Para una función analítica, los coeficientes a n se pueden calcular como

a_n = \ frac {f ^ {\ left (n \ right)} \ left (c \ right)} {n!}

donde f ^ {(n)} (c) denota la n-ésima derivada de f en c, y f ^ {(0)} (c) = f (c) . Esto significa que cada función analítica está representada localmente por su serie de Taylor .

La forma global de una función analítica está completamente determinado por su comportamiento local en el siguiente sentido: si fyg son dos funciones analíticas definidas en el mismo conjunto abierto U conectado, y si existe un elemento c ∈ U tal que f (n) (c) = g (n) (c) para todo n ≥ 0, entonces f (x) = g (x) para todo x ∈ U.

Si se da una serie de potencias con radio de convergencia r, se puede considerar continuaciones analíticas de la serie, es decir, las funciones analíticas f que se definen en conjuntos más grandes que {x: | x - c | <r} y estoy de acuerdo con la serie de potencias dada en este conjunto. El número r es máxima en el siguiente sentido: siempre existe un número complejo x con | x - a | = r tal que ningún continuación analítica de la serie puede ser definida en x.

La expansión en serie de potencias de la función inversa de una función analítica se puede determinar usando el Lagrange teorema de inversión.

Series formales

En álgebra abstracta , se intenta capturar la esencia de la serie de potencias, sin estar limitada a la campos de números reales y complejos, y sin la necesidad de hablar de convergencia. Esto conduce al concepto de series formales, un concepto de gran utilidad en combinatoria algebraica.

Series de potencias en varias variables

Una extensión de la teoría es necesaria para los fines de cálculo multivariable. Una serie de potencias se define aquí como una serie infinita de la forma

f (x_1, \ dots, x_n) = \ sum_ {j_1, \ dots, j_n = 0} ^ {\ infty} a_ {j_1, \ dots, j_n} \ prod_ {k = 1} ^ n \ left (x_k - C_K \ right) ^ {j_k},

donde j = (j 1, ..., j n) es un vector de números naturales, los coeficientes a (j 1, ..., j n) suelen ser números reales o complejos, y el centro c = (c1 , ..., c n) y el argumento x = (x 1, ..., x n) suelen ser vectores reales o complejos. En el más conveniente multi-índice de notación esto se puede escribir

f (x) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ n} un _ {\ alpha} \ left (x - c \ right) ^ {\ alpha}.

La teoría de las series es más complicado que para la serie de una sola variable, con más complicados regiones de convergencia. Por ejemplo, la serie de potencias \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty x_1 ^ n ^ n x_2 es absolutamente convergente en el conjunto \ {(X_1, x_2): | x_1 x_2 | <1 \} entre dos hipérbolas. (Este es un ejemplo de un conjunto log-convexa, en el sentido de que el conjunto de puntos (\ Log | x_1 |, \ log | x_2 |) , Donde (X_1, x_2) encuentra en la región anterior, es un conjunto convexo. Más generalmente, se puede demostrar que cuando c = 0, el interior de la región de convergencia absoluta es siempre un conjunto log-convexa en este sentido.) Por otro lado, en el interior de esta región de convergencia se puede diferenciar e integrar bajo el signo de la serie, al igual que uno puede con la serie de potencias ordinaria.

Orden de una serie de potencias

Vamos α ser un multi-índice para una serie de potencias f (x 1, x 2, ..., x n). El orden de la serie de potencias f se define como el menor valor | α | tal que una α ≠ 0, o 0 si f ≡ 0. En particular, para una serie de potencias f (x) en una sola variable x, el orden de f es la potencia más pequeño de x con un coeficiente distinto de cero. Esta definición se extiende fácilmente a Serie de Laurent.

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