Radián
Antecedentes
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El radián es una unidad de avión ángulo , igual a 180 / π grados , o alrededor de 57,2958 grados. Es la unidad de medida angular en todas las áreas de las matemáticas más allá del nivel elemental.
El radián es representado por el símbolo "rad" o, más raramente, por el c superíndice (por "medida circular"). Por ejemplo, un ángulo de 1,2 radianes se escribiría "1,2 rad" o "1.2 c" (el segundo símbolo se puede confundir con un título: "1.2 °"). Sin embargo, el radián se considera matemáticamente un "número puro" que no necesita ninguna símbolo de la unidad, y en la escritura matemática el símbolo "rad" casi siempre se omite. En ausencia de cualquier radianes símbolo se supone, y cuando los grados se significan el símbolo Se utiliza.
El radián antes era un SI unidad suplementaria, pero esta categoría fue abolida en 1995 y el radián es ahora considerado un Unidad SI derivada. La unidad SI de medición de ángulo sólido es el estereorradián.
Definición
Un radián es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por una arco de circunferencia que es igual en longitud a la radio del círculo.
Más en general, la magnitud en radianes de cualquier ángulo subtendido por dos radios es igual a la relación de la longitud del arco cerrado al radio del círculo; es decir, θ = s / r, donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por el contrario, la longitud del arco cerrado es igual al radio multiplicado por la magnitud del ángulo en radianes; es decir, s = rθ.
De ello se deduce que la magnitud en radianes de una revolución completa (360 grados) es la longitud de toda la circunferencia dividida por el radio, o 2π r / r, o 2π. Así radianes 2π es igual a 360 grados, lo que significa que un radián es igual a 180 / π grados.
Historia
El concepto de medida de arco, en oposición a la medida de un ángulo, probablemente debería ser acreditado a Roger Costas en 1714. Tenía el radián en todo menos en el nombre, y él reconoció su naturalidad como unidad de medida angular.
El término radian primero apareció en la impresión en 5 de junio de 1873 , en las preguntas de examen establecido por James Thomson (hermano de Lord Kelvin ) a Queen College, Belfast . Usó el término ya en 1871, mientras que en 1869, Thomas Muir, a continuación, de la Universidad de St Andrews , vacilaba entre rad, radial y radian. En 1874 , Muir adoptó radian después de una consulta con James Thomson.
Conversiones
Conversión entre radianes y grados
Como se indicó anteriormente, un radián es igual a 180 / π grados. Por lo tanto, para convertir de radianes a grados, multiplique por 180 / π. Por ejemplo,
A la inversa, para convertir de grados a radianes, multiplique por π / 180. Por ejemplo,
También puede convertir radianes a revoluciones dividiendo el número de radianes 2π.
La tabla muestra la conversión de algunos ángulos comunes.
| Grados | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 180 ° | 270 ° | 360 ° |
| Radianes | 0 |  |  |  |  |  |  |  |
Conversión entre radianes y grados centesimales
2π radianes son igual a una revolución completa, que es de 400 g. Así que, para convertir de radianes a graduados se multiplican por 200 / π, y convertir de graduados a radianes multiplicar por π / 200. Por ejemplo,
Razones por las que se prefieren radianes en matemáticas
En el cálculo y la mayoría de las otras ramas de las matemáticas más allá de geometría práctica, los ángulos se miden en radianes universalmente. Esto es porque radianes tienen una "naturalidad" matemático que conduce a una formulación más elegante de un número de resultados importantes.
En particular, los resultados de análisis que involucran funciones trigonométricas son sencillas y elegantes cuando los argumentos de las funciones se expresan en radianes. Por ejemplo, el uso de radianes conduce a la simple límite de fórmula
,
que es la base de muchas otras identidades en matemáticas, incluyendo
Debido a estas y otras propiedades, las funciones trigonométricas aparecen en soluciones a los problemas matemáticos que no están obviamente relacionados con significados geométricas Las funciones '(por ejemplo, las soluciones de la ecuación diferencial d 2 a / dx = 2 - y, la evaluación de la integral ∫ dx / (1 + x 2), y así sucesivamente). En todos estos casos se encuentra que los argumentos de las funciones se escriben más de forma natural en la forma que corresponda, en contextos geométricos, a la medición de ángulos en radianes.
Las funciones trigonométricas también tienen desarrollos en serie simple y elegante cuando se utilizan radianes; por ejemplo, la siguiente serie de Taylor para sen x:
Si x se expresaron en grados, entonces la serie contendría factores desordenado que implican poderes de π / 180: si x es el número de grados, el número de radianes es y = π x / 180, por lo
Matemáticamente relaciones importantes entre el seno y el coseno funciones y la función exponencial (véase, por ejemplo, La fórmula de Euler) son, de nuevo, elegante cuando los argumentos de las funciones 'están en radianes y desordenado de lo contrario.
Análisis dimensional
Aunque el radián es una unidad de medida, se trata de una cantidad adimensional. Esto se puede ver de la definición dada anteriormente: el ángulo subtendido en el centro de un círculo, medido en radianes, es la relación de la longitud del arco cerrado a la longitud del radio del círculo. Dado que las unidades de medida se cancelan, esta relación es adimensional.
Otra forma de ver el dimensionlessness del radián es en las representaciones de la serie de las funciones trigonométricas, como la serie de Taylor para sen x se mencionó anteriormente:
Si x tenía unidades, entonces la suma tendría sentido: la lineal término x no se puede añadir a (o haber restado) el término cúbico 
o el término de quinto grado 
, Etc. Por lo tanto, x debe ser adimensional.
El uso en la física
El radián es ampliamente utilizado en la física cuando se requieren medidas angulares. Por ejemplo, la velocidad angular se mide típicamente en radianes por segundo (rad / s). Una revolución por segundo es igual a 2π radianes por segundo.
Del mismo modo, aceleración angular se mide a menudo en radianes por segundo por segundo (rad / s 2).
Las razones son las mismas que en las matemáticas.
Los múltiplos de unidades de radianes
Prefijos métricos tienen un uso limitado con radianes, y ninguno en las matemáticas.
El milirradián (0.001 rad, o 1 mrad) se utiliza en artillería y focalización, porque corresponde a un error de 1 m en una gama de 1,000 m (en tales ángulos pequeños, la curvatura es despreciable). La divergencia de láser vigas también se suele medir en milirradianes.
Las unidades más pequeñas como microrradianes (μrads) y nanoradians (nrads) se utilizan en astronomía, y también se pueden usar para medir la calidad del haz de rayos láser con ultra-baja divergencia. Del mismo modo, los prefijos más pequeño que milli- son potencialmente útiles en la medición de ángulos muy pequeños.
Sin embargo, los prefijos más grandes tienen ninguna utilidad aparente, principalmente porque para exceder 2π radianes es comenzar el mismo círculo (o ciclo revolucionario) de nuevo.
