Límite de Roche

Considere la posibilidad de una masa en órbita de líquido se mantiene unido por la gravedad, aquí se ve desde encima del plano orbital. Lejos de la Roche limitar la masa es prácticamente esférica.

Más cerca de la Roche limitar el cuerpo se deforma por las fuerzas de marea.

Dentro de la Roche limitar la propia gravedad de la masa ya no puede soportar las fuerzas de marea, y el cuerpo se desintegra.

Las partículas más cerca de la jugada primaria más rápidamente que las partículas más lejos, como se representa por las flechas rojas.

La velocidad orbital variable del material finalmente hace que para formar un anillo.

El límite de Roche ( / ʁoʃ /), a veces referido como el radio Roche, es la distancia dentro de la cual un cuerpo celeste, mantiene unida sólo por su propia gravedad , se desintegrará debido a un segundo del cuerpo celeste las fuerzas de marea gravitatoria excedan auto-atracción del primer cuerpo. Dentro del límite de Roche, el material en órbita tiende a dispersarse y formar anillos, mientras que fuera del límite, el material tenderá a confluir. El término se nombra después Édouard Roche, el francés astrónomo que primero calcular este límite teórico en 1848.

Explicación

Típicamente, el límite de Roche se aplica a una desintegra por satélite debido a las fuerzas de marea inducidas por su principal, el cuerpo sobre el que órbitas. Partes del satélite que están más cerca de la primaria se sienten atraídos por la gravedad más fuerte de la primaria, mientras que las partes más alejadas son repelidos por más fuerte fuerza centrífuga desde la órbita curva del satélite. Algunos satélites reales, tanto natural y artificial, puede orbitar dentro de sus límites de Roche, ya que se mantienen unidos por fuerzas distintas de la gravitación. Júpiter Luna 's Metis y Saturno luna 's Pan, son ejemplos de este tipo de satélites, que mantienen unidos debido a su resistencia a la tracción (es decir, que son sólidos y no fácilmente separan). En casos extremos, los objetos que descansa sobre la superficie de un satélite tales realidad podría ser levantado de distancia por las fuerzas de marea. Un satélite más débil, tal como una cometa , podría ser disuelta cuando pasa dentro de su límite de Roche.

Desde que las fuerzas de marea abruman la gravedad que podrían mantener el satélite en conjunto dentro del límite de Roche, ninguna gran satélite puede unirse gravitacionalmente de partículas más pequeñas dentro de ese límite. De hecho, casi todos los conocidos anillos planetarios se encuentran dentro de su límite de Roche, Saturno E-Ring y Anillo de Phoebe siendo notables excepciones. O bien podrían ser los restos de el planeta proto-planetario disco de acreción que falló a unirse en lunas, o por el contrario se han formado cuando una luna pasa dentro de su límite de Roche y se desintegró.

También vale la pena teniendo en cuenta que el límite de Roche no es el único factor que hace que las cometas se rompan. La división por estrés térmico, interna la presión del gas y la división de rotación son más probables formas de un cometa para dividir bajo estrés.

La determinación del límite de Roche

La distancia límite a la que un satélite puede acercarse sin romper depende de la rigidez de la vía satélite. En un extremo, un satélite completamente rígida mantendrá su forma hasta que las fuerzas de marea rompen aparte. En el otro extremo, un satélite de alta fluidez gradualmente deforma que conduce a un aumento de las fuerzas de marea, haciendo que el satélite se alargue, lo que agrava aún más las fuerzas de marea y haciendo que se rompa más fácilmente. La mayoría de los satélites reales se encuentran en algún lugar entre estos dos extremos, con resistencia a la tensión haciendo que el satélite no perfectamente rígida ni perfectamente fluido. El límite de Roche también se calcula por lo general para el caso de una órbita circular, a pesar de que es fácil de modificar el cálculo de aplicar al caso (por ejemplo) de un cuerpo de pasar la primaria en una trayectoria parabólica o hiperbólica.

Cálculo rígido por satélite

El límite de Roche de cuerpo rígido es un cálculo simplificado para un satélite esférica, donde se desprecia la deformación del cuerpo por efectos de marea. El cuerpo se supone que mantendrá su esférica forma mientras se mantienen unidos sólo por su propia gravedad. Otros efectos también se descuidan, como la deformación de las mareas de la primaria, la rotación y la órbita del satélite, y su forma irregular. Estos supuestos, aunque poco realista, simplifican enormemente el cálculo Roche-límite.

El límite de Roche para un satélite esférica rígida excluyendo efectos orbitales, es la distancia, , Desde la primaria a la que la fuerza de la gravedad sobre una masa de prueba en la superficie del objeto es exactamente igual a la fuerza de la marea tirando el objeto lejos del objeto:

donde es el radio de la primaria, es la densidad de la primaria, y es la densidad del satélite. Esto se puede escribir como equivalentemente

donde es el radio de la secundaria, es la masa de la primaria, y es la masa de la secundaria.

Tenga en cuenta que esto no depende de lo grande que el objeto en órbita es, pero sólo en la relación de densidades. Esta es la distancia orbital dentro de los cuales el material suelto (por ejemplo, regolith o rocas sueltas) en la superficie del satélite más cercano a la primaria se apartó, y del mismo modo el material en el lado opuesto de la primaria también se alejado de, en lugar de hacia el satélite.

Si el satélite es más de dos veces más denso que el principal, como puede ser fácilmente el caso de una luna rocosa orbitando un gigante de gas, entonces el límite de Roche será dentro de la primaria y por lo tanto no es relevante.

Derivación de la fórmula

Derivación del límite de Roche

Con el fin de determinar el límite de Roche, consideramos una pequeña masa en la superficie del satélite más cercano a la primaria. Hay dos fuerzas en esta masa : La atracción gravitatoria hacia el satélite y la atracción gravitatoria hacia la primaria. Suponiendo que el satélite está en caída libre alrededor de la primaria y que el fuerza de marea es el único término correspondiente de la atracción gravitatoria de la primaria. Este supuesto es una simplificación como caída libre sólo es verdaderamente se aplica al centro planetario, pero será suficiente para esta derivación.

La fuerza de gravedad de la masa hacia el satélite con la masa y el radio se puede expresar de acuerdo con La ley de Newton de la gravitación.

la fuerza de marea de la masa hacia el primario con radio de y la masa , A una distancia entre los centros de los dos cuerpos, se puede expresar aproximadamente como

.

Para obtener esta aproximación, encontrar la diferencia en la atracción gravitacional de la primaria en el centro del satélite y en el borde del satélite más cercano a la primaria:

En la aproximación donde r < en el numerador y cada término con en el denominador tiende a cero, lo que nos da:

Se ha alcanzado el límite de Roche, cuando la fuerza de la gravedad y la fuerza de las mareas se equilibran entre sí.

o

,

que da el límite de Roche, , Como

.

Sin embargo, realmente no queremos que la radio del satélite aparezca en la expresión para el límite, por lo que volver a escribir esto en términos de densidades.

Para una esfera de la masa puede ser escrito como

donde es el radio de la primaria.

Y del mismo modo

donde es el radio del satélite.

Sustituyendo las masas en la ecuación para el límite de Roche, y cancelando da

,

que puede ser simplificado al límite de Roche:

.

Satélites de Fluidos

Un enfoque más preciso para calcular el límite de Roche toma la deformación del satélite en cuenta. Un ejemplo extremo sería una anclaje mareal satélite líquido orbitando un planeta, donde cualquier fuerza que actúa sobre el satélite se deformaría en un prolato esferoide.

El cálculo es complejo y su resultado no se puede representar en una fórmula algebraica exacta. Roche sí mismo deriva la siguiente solución aproximada para el límite de Roche:

Sin embargo, una mejor aproximación que tiene en cuenta el achatamiento de la primaria y la masa del satélite es:

donde es el achatamiento de la primaria. El factor numérico se calcula con la ayuda de un ordenador.

La solución fluido es apropiado que los organismos que se celebran solamente libremente juntos, como un cometa. Por ejemplo, el cometa Decaimiento de la órbita de Shoemaker-Levy 9 alrededor de Júpiter pasa dentro de su límite de Roche en julio de 1992, haciendo que se fragmento en una serie de piezas pequeñas. En su próximo acercamiento en 1994 los fragmentos se estrellaron en el planeta. Shoemaker-Levy 9 fue observado por primera vez en 1993, pero su órbita indicó que había sido capturado por Júpiter unas décadas antes.

Derivación de la fórmula

Como el caso satélite fluido es más delicado que el uno rígido, el satélite se describe con algunas suposiciones de simplificación. En primer lugar, asumir el objeto consiste en fluido incompresible que tiene densidad constante y el volumen que no dependen de las fuerzas externas o internas.

En segundo lugar, asumir el satélite se mueve en una órbita circular y permanece en rotación síncrona. Esto significa que la velocidad angular en la que gira alrededor de su centro de masa es la misma que la velocidad angular a la que se mueve alrededor del sistema global baricentro.

La velocidad angular está dada por la tercera ley de Kepler :

Cuando M es mucho más grande que m, este estará cerca de

La rotación síncrona implica que el líquido no se mueve y el problema puede ser considerada como una estática. Por lo tanto, la viscosidad y la fricción del líquido en este modelo no juega un papel importante, ya que estas cantidades podrían desempeñar un papel sólo para un fluido en movimiento.

Dados estos supuestos, las siguientes fuerzas deben tenerse en cuenta:

• La fuerza de la gravitación debido al cuerpo principal;
• la la fuerza centrífuga en el sistema de referencia giratorio; y
• el campo de la auto-gravitación del satélite.

Dado que todas estas fuerzas son conservadores, pueden ser expresados por medio de un potencial. Además, la superficie del satélite es un uno equipotencial. De lo contrario, las diferencias de potencial darían lugar a las fuerzas y el movimiento de algunas partes del líquido en la superficie, lo que contradice el modelo supuesto estática. Dada la distancia desde el cuerpo principal, nuestro problema es determinar la forma de la superficie que satisface la condición de potencial.

Distancia radial de un punto en la superficie de la elipsoide para el centro de masa

Como la órbita se ha asumido circular, la fuerza gravitatoria total y la fuerza centrífuga que actúa sobre cancelar el cuerpo principal. Por lo tanto, la fuerza que afecta a las partículas del líquido es la fuerza de la marea, que depende de la posición con respecto al centro de masa, ya considerado en el modelo rígido. Para cuerpos pequeños, la distancia de las partículas de líquido desde el centro del cuerpo es pequeño en relación a la distancia d al cuerpo principal. Así, la fuerza de la marea se puede linealizar, resultando en la misma fórmula para F _t según se indica anteriormente. Si bien esta fuerza en el modelo rígido depende sólo de la radio r del satélite, en el caso de fluido tenemos que considerar todos los puntos de la superficie y la fuerza de la marea depende de la distancia Delta d desde el centro de masa de una partícula dada proyectada en la línea que une el satélite y el cuerpo principal. Hacemos un llamado Dd la distancia radial. Dado que la fuerza de la marea es lineal en Dd, el potencial relacionado es proporcional al cuadrado de la variable y para tenemos

Queremos determinar la forma del satélite para el que la suma del potencial de auto-gravitación y es constante en la superficie del cuerpo. En general, un problema de este tipo es muy difícil de resolver, pero en este caso particular, puede ser resuelto por una conjetura hábil debido a la dependencia cuadrada del potencial de las mareas de la distancia radial Dd

Dado que el potencial V _T cambia sólo en una dirección, es decir, la dirección hacia el cuerpo principal, el satélite se puede esperar para tomar una forma axialmente simétrica. Más precisamente, se puede pensar que se necesita una forma de sólido de revolución. La auto-potencial en la superficie de un sólido de revolución sólo puede depender de la distancia radial al centro de masa. De hecho, la intersección de la vía satélite y un plano perpendicular a la línea que une los cuerpos es un disco cuyo límite por nuestras suposiciones es un círculo de potencial constante. En caso de que la diferencia entre el potencial y V auto-gravitación _T ser constante, ambos potenciales deben dependen de la misma manera en Dd. En otras palabras, la auto-potencial tiene que ser proporcional al cuadrado de Dd. Entonces se puede demostrar que la solución equipotencial es un elipsoide de revolución. Dada una densidad y volumen constante la auto-potencial de tal cuerpo depende sólo de la excentricidad ε del elipsoide:

donde es la auto-potencial constante en la intersección del borde circular del cuerpo y el plano de simetría central dada por la ecuación Delta d = 0.

La función adimensional f ha de ser determinado a partir de la solución exacta para el potencial de la elipsoide

y, sorprendentemente, no depende del volumen del satélite.

La gráfica de la función adimensional f que indica cómo la fuerza de la marea potencial depende de la excentricidad ε del elipsoide

Aunque la forma explícita de la función f se ve muy complicado, está claro que podemos y escogemos el valor de ε para que el potencial V _T es igual a V _S más una constante independiente de la variable Dd. Por inspección, esto ocurre cuando

Esta ecuación se puede resolver numéricamente. El gráfico indica que hay dos soluciones y por lo tanto el más pequeño representa la forma de equilibrio estable (el elipsoide con la excentricidad más pequeña). Esta solución determina la excentricidad de la elipsoide de marea como una función de la distancia al cuerpo principal. La derivada de la función f tiene un cero donde se alcanza la excentricidad máxima. Esto corresponde al límite de Roche.

La derivada de f determina la excentricidad máxima. Esto le da al límite de Roche.

Más precisamente, el límite de Roche está determinada por el hecho de que la función f, que puede considerarse como una medida no lineal de la fuerza de compresión del elipsoide hacia una forma esférica, está limitada de manera que no es una excentricidad en el que esta fuerza de contracción se convierte en máximo . Puesto que los aumentos de la fuerza de marea cuando el satélite se aproxima al cuerpo principal, está claro que hay una distancia crítico en el que el elipsoide es roto.

La excentricidad máxima se puede calcular numéricamente como el cero de la derivada de f '. Se obtiene

que corresponde a la relación de la elipsoide ejes de 1: 1,95. Insertando esto en la fórmula para la función f se puede determinar la distancia mínima a la que existe el elipsoide. Este es el límite Roche,

Límites de Roche para ejemplos seleccionados

La siguiente tabla muestra la densidad media y el radio ecuatorial de los objetos seleccionados en el Sistema Solar .

Con estos datos, los límites de Roche para cuerpos rígidos y fluidos fácilmente se pueden calcular. La densidad media de los cometas se toma alrededor de 500 kg / m³.

La siguiente tabla muestra los límites de Roche expresadas en metros y en radios de primaria. El verdadero límite de Roche para un satélite depende de su densidad y rigidez.

Si el primario es menos de la mitad tan denso como el satélite, el límite de Roche de cuerpo rígido es menor que el radio de la primaria, y los dos cuerpos puede colisionar antes de que se alcance el límite de Roche.

¿Qué tan cerca están las lunas del Sistema Solar a su límite de Roche? La siguiente tabla muestra el radio orbital de cada satélite interior dividido por su propio radio Roche. Ambos se dan cálculos de cuerpos rígidos y fluidos. Nota Pan, Metis, y Náyade, en particular, que puede ser bastante cerca de sus puntos de ruptura-up reales.

En la práctica, las densidades de la mayoría de los satélites interiores de los planetas gigantes no son conocidos. En estos casos, mostrados en cursiva, se han asumido valores probables, pero su límite real Roche pueden variar desde el valor mostrado.