Subconjunto

Euler que muestra el diagrama
A es un subconjunto de B

Diagrama de Venn que muestra
A es un subconjunto de B. El círculo de la izquierda es la A, las partes B. Rojas derecha indican posibles situaciones. La situación en la que algo es dentro del círculo A, pero no en B no es rojo, por lo tanto imposible.

En matemáticas , especialmente en la teoría de conjuntos , un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si A está "contenido" dentro de B. Observe que A y B puede coincidir. La relación de un conjunto siendo un subconjunto de otro se llama inclusión o contención.

Definiciones

Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también un elemento de B, entonces:

• A es un subconjunto de (o se incluye en) B, denotado por ,

o equivalentemente

• B es un superconjunto de (o incluye) A, denotado por .

Si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B no contenida en A), entonces

• A es también un subconjunto propio (o estricto) de B; esto se escribe como .

o equivalentemente

• B es un superconjunto adecuada de A; esto se escribe como .

Para cualquier conjunto S, la relación de inclusión ⊆ es un orden parcial en el set 2 ^S de todos los subconjuntos de S (el conjunto potencia de S).

Los símbolos y ⊂ ⊃

Otros autores prefieren utilizar los símbolos y ⊂ ⊃ para indicar subconjunto propio y superconjunto, respectivamente, en lugar de y . Este uso hace ⊆ y ⊂ análoga a ≤ y <Por ejemplo, si x ≤ y entonces x puede ser igual ay, o tal vez no, pero si x <y, entonces x definitivamente no es igual y, pero es estrictamente menor que y . Del mismo modo, el uso de la "⊂ significa subconjunto propio" convención, si A ⊆ B, entonces A puede o no puede ser igual a B, pero si A ⊂ B, entonces A es definitivamente no es igual a B.

Ejemplos

• El conjunto {1, 2} es un subconjunto propio de {1, 2, 3}.
• Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo, pero no es un subconjunto propio.
• La conjunto vacío, ∅ escrito, es también un subconjunto de cualquier conjunto dado X. (Esta declaración es verdades vacías, ver la prueba más adelante) El conjunto vacío es siempre un subconjunto propio, excepto de sí mismo.
• El conjunto {x: x es un número primo mayor que 2.000} es un subconjunto propio de {x: x es un número impar mayor que 1000}
• El conjunto de números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales y el conjunto de puntos en una segmento de línea es un subconjunto propio del conjunto de puntos en una línea . Estos son ejemplos contrarios a la intuición en la que tanto la parte y el todo son infinitos, y la parte tiene el mismo número de elementos que el conjunto (ver Cardinalidad de conjuntos infinitos).

Propiedades

Proposición 1

La conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.

Prueba: Dado cualquier conjunto A, queremos demostrar que ø es un subconjunto de A. Esto implica que demuestra que todos los elementos de ø son elementos de A. Pero no hay elementos de ø.

Para el matemático experimentado, la inferencia "ø no tiene elementos, por lo que todos los elementos de S son elementos de A" se inmediata, pero puede ser más problemático para el principiante. Desde ø no tiene miembros en todo, ¿cómo pueden "ellos" ser miembros de cualquier otra cosa? Puede ayudar a pensar en ello al revés. Con el fin de probar que ø no era un subconjunto de A, tendríamos que encontrar un elemento de ø que no era también un elemento de A. Dado que no existen elementos de ø, esto es imposible y por lo tanto ø es de hecho un subconjunto de A.

Proposición 2

La siguiente proposición dice que la inclusión es un orden parcial.

Si A, B y C son conjuntos entonces la siguiente espera:

reflexividad: A ⊆ A

antisimetría: A ⊆ B y B ⊆ A si y sólo si A = B

transitividad: Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C

Proposición 3

La siguiente proposición dice que para cualquier conjunto S el conjunto potencia de S ordenado por la inclusión es una acotadas celosía, y por lo tanto, junto con la distribución y complementar las leyes para los sindicatos y las intersecciones (véase Las leyes fundamentales del conjunto álgebra), muestran que se trata de un Álgebra de Boole.

Si A, B y C son subconjuntos de un conjunto S entonces la siguiente espera:

existencia de una menos elemento y un elemento más grande:

• ø ⊆ A ⊆ S (que ø ⊆ A es la Proposición 1 arriba.)

existencia de une:

• A ⊆ A ∪ B
• Si A ⊆ C y B ⊆ C entonces A ∪ B ⊆ C

existencia de cumple:

• A ∩ B ⊆ A
• Si C ⊆ A y C ⊆ B entonces C ⊆ A ∩ B

Proposición 4

La siguiente proposición dice que, la declaración "A ⊆ B", es equivalente a varias otras declaraciones que implican uniones, intersecciones y complementa.

Para cualquier dos conjuntos A y B, los siguientes son equivalentes:

• A ⊆ B
• A ∩ B = A
• A ∪ B = B
• A - B = ø
• B '⊆ A'

Esto demuestra que la relación del conjunto inclusión puede caracterizarse por cualquiera de las operaciones de conjuntos de unión o intersección, lo que significa que la noción de conjunto de inclusión es axiomáticamente superfluo dado ninguna de esas operaciones y la igualdad.

Proposición 5

Si el número de elementos del conjunto A es n, entonces el número de todos los subconjuntos de A es igual a .

La prueba de esto es un ejercicio de inducción.

Otras propiedades de inclusión

La inclusión es la canónica orden parcial en el sentido de que cada conjunto parcialmente ordenado (X, ) Es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo sencillo, si cada ordinal n se identifica con el conjunto [n] de todos los ordinales de menos de o igual a n, entonces a ≤ b si y sólo si [a] ⊆ [b].

Para el POWER ajustado 2 ^S de un conjunto S, el orden parcial inclusión es (hasta un isomorfismo orden) el Producto cartesiano de k = | S | (el cardinalidad de S) copias de la orden parcial en {0,1} para el que 0 <1. Esto se puede ilustrar mediante la enumeración de S = {s _1, s _2, ..., _k s} y asociar con cada subconjunto T ⊆ S ( es decir, con cada elemento de 2 ^S) de la tupla k de {0,1} ^k de los cuales el i-ésimo de coordenadas es 1 si y sólo si s _i es un miembro de T.