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Serie de Taylor

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Antecedentes

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Como el grado de los polinomios de Taylor se eleva, se aproxima a la función correcta. Esta imagen muestra \ Sin x y las aproximaciones de Taylor, los polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n 1 términos de su serie de Taylor a 0 (en rojo).

En las matemáticas , la serie de Taylor es una representación de una función como un infinito suma de términos calculados a partir de los valores de sus derivados en un solo punto. Puede ser considerado como el límite de los polinomios de Taylor . Serie de Taylor se nombra en honor de Matemático Inglés Brook Taylor. Si la serie utiliza los derivados en cero, la serie también se denomina una serie de Maclaurin, nombrado después Matemático escocés Colin Maclaurin.

Definición

La serie de Taylor de una verdadera o complejo de la función f (x) que es infinitamente diferenciable en una barrio de un verdadero o complejo número a, es la serie de potencias

f (a) + \ frac {f '(a)} {1!} (xa) + \ frac {f' '(a)} {2!} (xa) ^ 2 + \ frac {f ^ {(3 )} (a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ ,,

que en una forma más compacta se puede escribir como

\ Sum_ {n = 0} ^ {\ infin} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (Xa) ^ {n} \ ,,

donde n! es el factorial de n y f (n) (a) denota el n-ésimo derivado de f en el punto a; el derivado de cero de f se define como f sí mismo y (x - a) 0 y 0! son a la vez definida que es 1.

A menudo, f (x) es igual a su serie de Taylor evaluado en x para todo x suficientemente cerca de a. Esta es la razón principal por la serie de Taylor son importantes.

En el caso particular donde a = 0 , La serie también se llama serie de Maclaurin.

Ejemplos

La serie de Maclaurin para cualquier polinomio es el mismo polinomio.

La serie de Maclaurin para (1-x) ^ {- 1} es el serie geométrica

1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots \!

por lo que la serie de Taylor de x ^ {- 1} en a = 1 es

1- (x-1) + (x-1) ^ 2- (x-1) ^ 3 + \ cdots \! .

Mediante la integración de la anterior serie de Maclaurin encontramos la serie de Maclaurin para - \ Ln (1 - x) \! , Donde \ Ln \! denota el logaritmo natural :

x + \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 3} 3+ \ frac {x ^ 4} 4+ \ cdots \!

y la serie de Taylor correspondiente para \ Ln (x) \! en a = 1 \! es

(X-1) - \ frac {(x-1) ^ 2} 2 + \ frac {(x-1) ^ 3} 3 \ frac {(x-1) ^ 4} 4+ \ cdots \! .

La serie de Maclaurin para la función exponencial e ^ x en a = 0 es

1 + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ Frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} + \ frac {x ^ 5} {5!} + \ cdots \ qquad = \ qquad 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 4} {24} + \ frac {x ^ 5} {120} + \ cdots \! .

La expansión precedente se mantiene porque la derivada de e ^ x es también e ^ x y e ^ 0 es igual a 1. Esto deja los términos (X-0) ^ n en el numerador y n! en el denominador para cada término de la suma infinita.

Convergencia

La función seno (azul) está estrechamente aproximada por su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un período completo centrada en el origen.
Los polinomios de Taylor para log (1 + x) sólo proporcionan aproximaciones precisas en el rango -1 <x ≤ 1. Tenga en cuenta que, para x> 1, los polinomios de Taylor de grado superior son peores aproximaciones.

La serie de Taylor no tiene, en general, ser un serie convergente, pero a menudo es. El límite de una serie de Taylor convergente no tiene, en general, sea igual al valor de la función f (x), pero a menudo es. Si f (x) es igual a su serie de Taylor en una vecindad de una, que se dice que es analítica en este barrio. Si f (x) es igual a su serie de Taylor en todas partes se llama entero. La función exponencial e ^ x y la funciones trigonométricas seno y coseno son ejemplos de funciones enteras. Ejemplos de funciones que no son la totalidad incluyen el logaritmo , la función trigonométrica tangente, y su inversa arctan. Para estas funciones la serie de Taylor no lo hacen converger si x está lejos de a.

Una serie de Taylor se puede utilizar para calcular el valor de una función entera en cada punto, si el valor de la función, y de todos sus derivados, son conocidos en un solo punto. Usos de la serie de Taylor para funciones completas incluyen:

  1. Las sumas parciales (los polinomios de Taylor ) de la serie pueden ser utilizados como aproximaciones de toda la función. Estas aproximaciones son buenas si se incluyen suficientemente muchos términos.
  2. La representación en serie simplifica muchas pruebas matemáticas .

En la foto de la derecha es una aproximación exacta del pecado (x) alrededor del punto a = 0. La curva de color rosa es un polinomio de grado siete:

\ Sin \ left (x \ right) \ aprox x - \ frac {x ^ 3} {! 3} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {7!} \! .

El error en esta aproximación no es más que \ Tfrac {| x | ^ 9} {9!} \! . En particular, para | X | <1 \! , El error es menos de 0,000003.

En contraste, También se muestra una imagen de la función de log (1 + x) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de a = 0 Estas aproximaciones convergen a la función sólo en la región de -1 <x ≤ 1.; fuera de esta región los de grado superior polinomios de Taylor son peores aproximaciones para la función. Este es un ejemplo de Fenómeno de Runge.

El teorema de Taylor da una variedad de límites generales del tamaño del error en R_ {n} (x) incurridos en la aproximación de una función por su enésimo orden del polinomio de Taylor.

Historia

La Filósofo Pitágoras Zeno considera el problema de la suma de una serie infinita para lograr un resultado finito, pero rechazó como una imposibilidad: el resultado fue La paradoja de Zenón. Más tarde, Aristóteles propuso una resolución filosófica de la paradoja, pero el contenido matemático era aparentemente sin resolver hasta retomada por Demócrito y luego Arquímedes . Fue a través de Arquímedes método de agotamiento que un número infinito de subdivisiones progresivas podría realizarse para lograr un resultado trigonométrica finito. Liu Hui empleada independientemente un método similar varios siglos después.

En el siglo 14 , los primeros ejemplos de la utilización de series y estrechamente relacionados métodos de Taylor fueron dadas por Madhava de Sangamagrama. Aunque hay constancia de su obra sobrevive, escritos de posteriores matemáticos indios sugieren que se encontró con una serie de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos los de las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente , y arcotangente. La Escuela de Kerala amplió sus obras con varios desarrollos en serie y aproximaciones racionales hasta el siglo 16 .

En el siglo 17 , James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. No fue hasta 1715 sin embargo, que un método general para la construcción de estas series para todas las funciones para las que existen fue finalmente proporcionados por Brook Taylor, después de que la serie ahora tienen nombre.

La serie de Maclaurin fue nombrado después Colin Maclaurin, profesor en Edimburgo, que publicó el caso especial del resultado Taylor en el siglo 18.

Propiedades

La función de correo -1 / x² no es analítica en x = 0: la serie de Taylor es idénticamente 0, aunque la función no está.

Si esta serie converge para cada x en el intervalo (a - r, a + r) y la suma es igual a f (x), entonces la función f (x) se dice que es analítica en el intervalo (a - r, a + r). Si esto es cierto para cualquier r entonces la función se dice que es una función entera. Para comprobar si la serie converge hacia f (x), que normalmente se utiliza estimaciones para el resto del plazo teorema de Taylor . Una función es analítica si y sólo si puede ser representado como una serie de potencias ; los coeficientes de la serie de potencia son entonces necesariamente las dadas en la fórmula de Taylor anteriormente.

La importancia de tal representación en serie de potencias es al menos cuatro veces. En primer lugar, la diferenciación y la integración de las series de potencias se pueden realizar término a término y es por lo tanto particularmente fácil. En segundo lugar, una función analítica puede extenderse únicamente a una función holomorfa definida en un disco abierto en el plano complejo , lo que hace que toda la maquinaria de análisis complejo disponible. En tercer lugar, la (truncado) series se puede utilizar para calcular valores de la función de aproximadamente (a menudo mediante la refundición del polinomio en el Forma Chebyshev y evaluar con el Algoritmo Clenshaw).

En cuarto lugar, las operaciones algebraicas menudo se pueden hacer mucho más fácilmente en la representación en serie de potencias; por ejemplo, la prueba más simple de La fórmula de Euler utiliza los desarrollos en serie de Taylor para el seno, coseno y funciones exponenciales. Este resultado es de importancia fundamental en campos como análisis armónico.

Tenga en cuenta que hay ejemplos de funciones infinitamente diferenciable f (x), cuya serie de Taylor converge, pero no son iguales a f (x). Por ejemplo, la función definida por puntos por f (x) = e -1 / x ² si x ≠ 0 y f (0) = 0 es un ejemplo de una función suave no analítico. Todos sus derivados en x = 0 son cero, por lo que la serie de Taylor de f (x) a 0 es cero en todas partes, a pesar de que la función es diferente de cero para cada x ≠ 0. Esta patología en particular no aflige serie de Taylor en análisis complejo. Allí, la zona de convergencia de una serie de Taylor es siempre un disco en el plano complejo (posiblemente con un radio de 0), y donde la serie de Taylor converge, converge al valor de función. Observe que e -1 / z ² no se acerca 0 como z se aproxima a 0 a lo largo del eje imaginario, por lo tanto, esta función no es continua como una función en el plano complejo.

Dado que cada secuencia de números reales o complejos puede aparecer como coeficientes de la serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable definida en la recta real, el radio de convergencia de una serie de Taylor puede ser cero. Hay incluso infinitamente funciones diferenciables definidos en la recta real cuya serie de Taylor tiene un radio de convergencia 0 en todas partes.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen una singularidad; en estos casos, se puede a menudo todavía lograr un desarrollo en serie si se permite también potencias negativas de la variable x; ver Serie de Laurent. Por ejemplo, f (x) = e ^ {- 1 / x ^ 2} \! se puede escribir como una serie de Laurent.

La Método Parker-Sochacki es un avance reciente en la búsqueda de la serie de Taylor, que son soluciones de las ecuaciones diferenciales . Este algoritmo es una extensión de la Iteración de Picard.

Lista de series de Taylor de algunas funciones comunes

La función coseno.
Una aproximación grado octavo de la función coseno en el plano complejo .
Las dos curvas anteriores juntos.

Varios importantes desarrollos en serie de Maclaurin siguen. Todas estas expansiones son válidos para argumentos complejos x \! .

Función exponencial :

\ Mathrm {e} ^ {x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ n} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots \ quad \ mbox {para todos} x \!

Logaritmo natural :

\ Ln (1-x) = - \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {x ^ n} n \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!

Finito serie geométrica:

\ Frac {1-x ^ {m + 1}} {1-x} = \ sum ^ {m} _ {n = 0} x ^ n \ quad \ mbox {for} x \ no = 1 \ mbox {y } m \ in \ mathbb {N} _0 \!

Infinito serie geométrica:

\ Frac {1} {1-x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} x ^ n \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!

Las variantes de la serie geométrica infinita:

\ Frac {x ^ m} {1-x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = m} x ^ n \ quad \ mbox {for} | x | <1 \ mbox {} y m \ in \ mathbb {N} _0 \!
\ Frac {x} {(1-x) ^ 2} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} nx ^ n \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!

Raíz cuadrada :

\ Sqrt {1 + x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {! (- 1) ^ n (2n)} {! (1-2n) n ^ 24 ^ n} x ^ n \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!

Serie binomial (incluye la raíz cuadrada para α = 1/2 y la serie geométrica infinita para α = -1):

(1 + x) ^ \ alpha = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {\ alpha \ elegir n} x ^ n \ quad \ mbox {} para todos | x | <1 \ mbox {y todo complejo} \ alpha \!
con generalizadas coeficientes binomiales
{\ Alpha \ elegir n} = \ prod_ {k = 1} ^ n \ frac {\ alpha-k + 1} k = \ frac {\ alpha (\ alpha-1) \ cdots (\ alpha-n + 1) {} n!} \!

Funciones trigonométricas :

\ Sin x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {! (2n + 1)} x ^ {2n + 1} \ quad = x - \ frac { ! x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} - \ cdots \ mbox {para todos} x \!
\ Cos x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {(2n)!} X ^ {2n} \ quad = 1 - \ frac {x ^ 2} {! 2} + \ frac {x ^ 4} {4!} - \ cdots \ mbox {para todos} x \!
\ Tan x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} (-4) ^ n (1-4 ^ n)} {(2n)!} X ^ {2n-1 } \ quad = x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 2 5} {15} + \ cdots \ mbox {for} | x | <\ frac {\ pi} {2} \ !
donde el B s son Números de Bernoulli.
\ Sec x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n E_ {2n}} x ^ {2n} \ quad \ mbox {for} {(2n)!} | x | <\ frac {\ pi} {2} \!
\ Arcsen x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(2n)!} {4 ^ n (n!) ^ 2 (2n + 1)} x ^ {2n + 1} \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!
\ Arctan x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} x ^ {2n + 1} \ quad \ mbox {for} | x | \ le 1 \!

Funciones hiperbólicas:

\ Senh x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} \ Quad \ mbox {para todos} x \!
\ Cosh x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ Quad \ mbox {para todos} x \!
\ Tanh x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} 4 ^ n (4 ^ n-1)} {(2n)!} X ^ {2n-1} \ quad \ mbox {for} | x | <\ frac {\ pi} {2} \!
\ Mathrm {arcsinh} (x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {! (- 1) ^ n (2n)} {4 ^ n (! N) ^ 2 (2n + 1 )} x ^ {2n + 1} \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!
\ Mathrm {arctanh} (x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1} \ quad \ mbox {for} | x | <1 \!

W función de Lambert:

W_0 (x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {(- n) ^ {n-1}} {n!} X ^ n \ quad \ mbox {for} | x | < \ frac {1} {\ mathrm {e}} \!

Los números B_k \! apareciendo en las expansiones de suma de tan (x) y tanh (x) son los Números de Bernoulli. La E_k \! en la expansión de sec (x) son Números de Euler.

Cálculo de la serie de Taylor

Existen varios métodos para el cálculo de la serie de Taylor de un gran número de funciones. Uno puede tratar de utilizar la serie de Taylor como está y generalizar la forma de los coeficientes, o uno puede utilizar manipulaciones tales como la sustitución, multiplicación o división, suma o resta de la serie estándar de Taylor para la construcción de la serie de Taylor de una función, en virtud de la serie de Taylor de ser series de potencias. En algunos casos, también se puede derivar la serie de Taylor aplicando repetidamente integración por partes. Particularmente conveniente es el uso de sistemas de álgebra computacional para el cálculo de la serie de Taylor.

Primer ejemplo

Calcule el grado polinomio de Maclaurin de la función

f (x) = \ ln \ cos x, \ quad x \ en (- \ pi / 2, \ pi / 2) \! .

En primer lugar, vuelva a escribir la función como

f (x) = \ ln (1 + (\ cos x-1)) \! .

Tenemos para el logaritmo natural (mediante el uso de la gran notación O)

\ Ln (1 + x) = x - \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 3} 3 + \ mathcal {O} (x ^ 4) \!

y para la función de coseno

\ Cos x - 1 = - \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 4} {24} - \ frac {x ^ 6} {720} + \ mathcal {O} (x ^ 8) \!

El desarrollo en serie de este último tiene un cero término constante, lo que nos permite sustituir la segunda serie en la primera y de omitir fácilmente términos de orden mayor que el grado usando la notación O grande:

\ Begin {align} f (x) y = \ ln (1 + (\ cos x-1)) \\ & = \ bigl (\ cos x-1 \ BIGR) - \ frac12 \ bigl (\ cos x-1 \ BIGR) ^ 2 + \ frac13 \ bigl (\ cos x-1 \ BIGR) ^ 3 + \ mathcal {O} \ bigl ((\ cos x-1) ^ 4 \ BIGR) \\ & = \ biggl (- \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 4} {24} - \ frac {x ^ 6} {720} +\mathcal{O}(x^8)\biggr)-\frac12\biggl(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+\mathcal{O}(x^6)\biggr)^2+\frac13\biggl(-\frac{x^2}2+\mathcal{O}(x^4)\biggr)^3 + \ Mathcal {O} (x ^ 8) \\ & = - \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 4} {24} - \ frac {x ^ 6} {720} - \ frac { x ^ 4} 8 + \ frac {x ^ 6} {48} - \ frac {x ^ 6} {24} + \ mathcal {O} (x ^ 8) \\ & = - \ frac {x ^ 2} 2 - \ frac {x ^ 4} {12} - \ frac {x ^ 6} {45} + \ mathcal {O} (x ^ 8) \ end {align} \.!

Desde el coseno es una incluso la función, los coeficientes para todas las potencias impares de x, x 3, x 5, x 7,. . . tiene que ser cero.

Segundo ejemplo

Supongamos que queremos la serie de Taylor a 0 de la función

g (x) = \ frac {e ^ x} {\ cos x} \! .

Tenemos para la función exponencial

e ^ x = \ sum ^ \ infty_ {n = 0} {x ^ n \ over n!} = 1 + x + {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 3 \ over 3!} + {x ^ 4 \ más de 4!} + \ cdots \!

y, como en el primer ejemplo,

\ Cos x = 1 - {x ^ 2 \ over 2!} + {X ^ 4 \ over 4!} - \ Cdots \!

Suponga que la serie de potencias es

{E ^ x \ sobre \ cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + C_3 x ^ 3 + \ cdots \!

Luego de multiplicación con el denominador y la sustitución de la serie de los rendimientos coseno

\ Begin {align} e ^ x & = (c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + C_3 x ^ 3 + \ cdots) \ cos x \\ & = \ left (c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + C_3 x ^ 3 + 4 + c_4x ^ \ cdots \ right) \ left (1 - {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 4 \ over 4!} - \ cdots \ right) \\ & = c_0 - { c_0 \ over 2} x ^ 2 + {c_0 \ over 4} x ^ 4 + c_1x - {c_1 \ over 2} x ^ 3 + {c_1 \ over 4} x ^ 5 + c_2x ^ 2 - {c_2 \ más de 2} x ^ 4 + {c_2 \ over 4} x ^ 6 + c_3x ^ 3 - {C_3 \ over 2} x ^ 5 + {C_3 \ over 4} x ^ 7 + \ cdots \ end {align} \!

Recopilación de los plazos de hasta cuarto orden rendimientos

= C_0 + c_1x + \ left (c_2 - {c_0 \ over 2} \ right) x ^ 2 + \ left (C_3 - {c_1 \ over 2} \ right) x ^ 3 + \ left (C_4 + {c_0 \ over 4 !} - {c_2 \ over 2} \ right) x ^ 4 + \ cdots \!

La comparación de coeficientes con la serie anterior de la función exponencial se obtiene la serie de Taylor deseado

\ frac {e ^ x} {\ cos x} = 1 + x + x ^ 2 + 2x ^ {3 \ over 3} + {x ^ 4 \ over 2} + \ cdots \! .

Serie de Taylor como definiciones

Clásicamente, las funciones anteriores se definen por alguna propiedad que tiene para ellos. Por ejemplo, la función exponencial se define como la función que es igual a su propia derivada. Sin embargo, en análisis computable, funciones debe ser definido por algoritmos en lugar de las propiedades, por lo que las expansiones de Taylor anteriores se utilizan como definiciones primarias en lugar de los resultados obtenidos. Este es también probable que sea el caso en las implementaciones de software de las funciones.

El uso de la serie de Taylor, se puede definir funciones analíticas de matrices y los operadores, tales como matriz exponencial o logaritmo matriz.

Serie de Taylor en varias variables

La serie de Taylor también puede ser generalizado a funciones de más de una variable con

T (x_1, \ cdots, x_D) =
= \ Sum_ {n_1 = 0} ^ {\ infin} \ cdots \ sum_ {n_d = 0} ^ {\ infin} \ frac {\ partial ^ {n_1}} {\ x_1 parcial ^ {n_1}} \ cdots \ frac {\ partial ^ {n_d}} {\ x_D parcial ^ {n_d}} \ frac {f (a_1, \ cdots, A_D)} {n_1! \ cdots n_d!} (x_1-a_1) ^ {} \ n_1 cdots ( x_D-A_D) ^ {n_d} \! .

Por ejemplo, para una función que depende de dos variables, X e Y, la serie de Taylor de segundo orden sobre el punto (a, b) es:

f (x, y) \!
\ Aprox f (a, b) + f_x (a, b) (x-a) + f_y (a, b) (y-b) \!
+ \ Frac {1} {2!} \ Left [f_ {xx} (a, b) (xa) ^ 2 + 2f_ {xy} (a, b) (xa) (YB) + f_ {yy} (un , b) (yb) ^ 2 \ right] \!

donde los subíndices denotan la respectiva derivadas parciales.

Un segundo orden desarrollo en serie de Taylor de una función escalar de más de una variable puede ser escrito como de forma compacta

T (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {a}) + \ mathrm {D} f (\ mathbf {a}) ^ T (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) + \ frac { 1} {2} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a})! ^ T \ mathrm {D} ^ 2 f (\ mathbf {a}) (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) + \ cdots \!

donde D f (\ mathbf {a}) \! es el gradiente y D ^ 2 f (\ mathbf {a}) \! es el Matriz de Hesse. La aplicación de la notación multi-índice de la serie de Taylor para varias variables se convierte en

T (\ mathbf {x}) = \ sum_ {| \ alpha | \ ge 0} ^ {} {\ frac {\ mathrm {D} ^ {\ alpha} f (\ mathbf {a})} {\ alpha! } (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha}} \!

en plena analogía con el solo caso variable.

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