Espacio vectorial
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En las matemáticas , un espacio vectorial (o espacio lineal) es una colección de objetos (llamados vectores) que, informalmente hablando, se puede escalar y ha añadido. Más formalmente, un espacio vectorial es un establecer en la que dos operaciones, llamada (vector) suma y (escalar) multiplicación, se definen y cumplir determinadas naturales axiomas que se enumeran a continuación. Los espacios vectoriales son los objetos básicos de estudio en álgebra lineal , y se utilizan en toda la matemática, la ciencia y la ingeniería.
Los espacios vectoriales más familiares son de dos y tres dimensiones espacios euclídeos . Vectores en estos espacios se ordenan por parejas o ternas de números reales , y con frecuencia se representan como vectores geométricos que son cantidades con una magnitud y una dirección, representada generalmente como flechas. Estos vectores se pueden añadir juntos utilizando la regla paralelogramo ( suma de vectores ) o multiplicado por números reales ( multiplicación escalar). El comportamiento de los vectores geométricos en estas operaciones constituye un buen modelo intuitivo para el comportamiento de los vectores en espacios vectoriales más abstractas, que no tienen por qué tienen una interpretación geométrica. Por ejemplo, el conjunto de (reales) polinomios forma un espacio vectorial.
Definición formal
Sea F un campo (como los números reales o números complejos ), cuyo elementos serán llamados escalares. Un espacio vectorial sobre el campo F es un establecer V junto con dos operaciones binarias,
- la suma de vectores: V × V → V denota v + w, donde v, w ∈ V, y
- multiplicación escalar: F × V → V denota una v, donde a ∈ F y v ∈ V,
satisfacer la axiomas continuación. Cuatro de los axiomas requieren vectores bajo la adición para formar una grupo abeliano, y dos son leyes distributivas.
- Además vectorial es asociativa :
Por todo u, v, w ∈ V, tenemos u + (v + w) = (u + v) + w.
- Además vectorial es conmutativa :
Para todos v, w ∈ V, tenemos v + w = w + v.
- Además Vector tiene una elemento de identidad:
Existe un elemento 0 ∈ V, llamado el vector cero, tal que v + 0 = v para todo v ∈ V.
- Además Vector tiene elementos inversos:
Por todo v ∈ V, existe un elemento w ∈ V, llamado el inverso aditivo de v, tal que v + w = 0.
- Distributivity se mantiene para la multiplicación escalar más de la suma de vectores:
Para todo a ∈ F y v, w ∈ V, tenemos una (v + w) = a + v a w.
- Distributivity se mantiene para la multiplicación escalar sobre la suma de campo:
Para todo a, b ∈ F y v ∈ V, tenemos (a + b) v = a + b v v.
- Multiplicación escalar es compatible con la multiplicación en el campo de escalares:
Para todo a, b ∈ F y v ∈ V, tenemos una (v b) = (ab) v.
- Multiplicación escalar tiene una elemento de identidad:
Por todo v ∈ V, tenemos 1 v = v, donde 1 indica la identidad multiplicativa en Fa.
Formalmente, estos son los axiomas para una módulo, por lo que un espacio vectorial se puede describir de manera concisa como un módulo sobre un campo.
Tenga en cuenta que el séptimo axioma anterior, indicando un (v b) = (ab) v, no es la afirmación de la asociatividad de una operación, ya que hay dos operaciones en cuestión, multiplicación escalar: b v; y el campo de la multiplicación: ab.
Algunas fuentes optan por incluir también dos axiomas de cierre:
- V es cerrado bajo la suma de vectores:
Si u, v ∈ V, entonces u + v ∈ V.
- V es cerrado bajo la multiplicación escalar:
Si a ∈ F, v ∈ V, entonces un v ∈ V.
Sin embargo, el entendimiento formal moderno de las operaciones como mapas con codominio V implica estas declaraciones, por definición, y por lo tanto evita la necesidad de enumerarlos como axiomas independientes. La validez de los axiomas de clausura es la clave para determinar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.
Tenga en cuenta que las expresiones de la forma "v a", donde v ∈ V y a ∈ F, están, en sentido estricto, no definidos. Debido a la conmutatividad del campo subyacente, sin embargo, "una v" y "v un" son tratados a menudo como sinónimos. Además, si v ∈ V, w ∈ V, y a ∈ F donde el espacio vectorial V es, además, un álgebra sobre el campo F luego un v w = v a w, lo que hace que sea conveniente para considerar "una v" y "v un" para representar el mismo vector.
Propiedades elementales
Hay un número de propiedades que siguen fácilmente de los axiomas de espacio vectorial.
- El vector cero 0 ∈ V es único:
Si 0 1 0 y 2 son cero vectores en V, tal que 0 1 + v = v 0 y 2 + v = v para todo v ∈ V, entonces 0 = 0 1 2 = 0.
- Multiplicación escalar con el vector cero se obtiene el vector cero:
Para todo a ∈ F, tenemos un 0 = 0.
- Scalar multiplicación por cero produce el vector cero:
Por todo v ∈ V, tenemos 0 v = 0, donde 0 denota la identidad aditiva en Fa.
- Ningún otro producto escalar se obtiene el vector cero:
Tenemos una v = 0 si y sólo si a = 0 o v = 0.
- El inverso aditivo - v de un vector v es único:
Si w 1 y w 2 son inversos aditivos de v ∈ V, tal que v + w 1 = 0 y v + w 2 = 0, entonces w = 1 w 2. Llamamos a la inversa - v y definimos w - v ≡ w + (- v).
- Multiplicación escalar por unidad negativa produce el inverso aditivo del vector:
Por todo v ∈ V, tenemos (-1) v = - v, donde 1 indica la identidad multiplicativo en Fa.
- Negación viaja libremente:
Para todo a ∈ F y v ∈ V, tenemos (- a) v = a (- v) = - (a v).
Ejemplos
Subespacios y bases
Artículos principales: Subespacio lineal, Base
Dado un espacio vectorial V, un no vacío subconjunto W de V que está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar se llama subespacio de V. subespacios de V son espacios vectoriales (en el mismo campo) en su propio derecho. La intersección de todos los subespacios que contienen un conjunto dado de vectores se llama su lapso; si no hay vector se puede quitar sin cambiar el lapso, el conjunto se dice que es linealmente independientes. Un conjunto linealmente independiente cuyo alcance vale V se denomina base para V.
Uso Lema de Zorn (que es equivalente a la axioma de elección), puede ser demostrado que todo espacio vectorial tiene una base. Se desprende de lo ultrafiltro lema, que es más débil que el axioma de elección, que todas las bases de un espacio vectorial dado tienen la misma cardinalidad. Así, los espacios vectoriales sobre un campo determinado se fijan hasta isomorfismo por un solo número cardinal (llamado dimensión del espacio de vector) que representa el tamaño de la base. Por ejemplo, los espacios vectoriales de dimensión finita reales son sólo R 0, R 1, R 2, R 3, .... La dimensión del espacio vectorial real R 3 es tres.
Fue F. Hausdorff que primero probado que todo espacio vectorial tiene una base. Andreas Blass mostró este teorema conduce a la axioma de elección.
Una base que hace posible expresar cada vector del espacio como una tupla única de los elementos de campo, aunque se debe tener cuidado cuando un espacio vectorial no tiene un base finita. Espacios vectoriales veces se introducen desde este punto de vista coordinatised.
A menudo se considera espacios vectoriales que también llevan una compatible topología. Compatible aquí significa que la suma y la multiplicación escalar deben ser operaciones continuas. Este requisito de hecho asegura que la topología da lugar a una estructura uniforme. Cuando la dimensión es infinito, no es generalmente más de una topología no equivalentes, que hace que el estudio de los espacios vectoriales topológicos más rica que la de los espacios vectoriales generales.
Sólo en tales espacios vectoriales topológicos pueden considerar uno infinitas sumas de vectores, es decir, serie, a través de la noción de convergencia. Esto es de importancia tanto en matemáticas de pura y aplicada, por ejemplo, en la mecánica cuántica , donde los sistemas físicos se definen como Espacios de Hilbert, o cuando Se utilizan expansiones de Fourier.
Mapas lineales
Artículo principal: Mapa lineal
Dados dos espacios vectoriales V y W en el mismo campo F, se puede definir mapas lineales o "transformaciones lineales" de V a W. Estas son funciones f: V → W que son compatibles con la estructura correspondiente - es decir, conservan sumas y productos escalares. El conjunto de todos los mapas lineales de V a W, denota Hom F (V, W), es también un espacio vectorial sobre F. Cuando se dan bases para tanto V y W, mapas lineales se pueden expresar en términos de componentes como matrices .
Una es un isomorfismo lineal mapa 
de tal manera que existe un mapa inversa 
de tal manera que 
y 
son mapas de identidad. Un mapa lineal que es a la vez uno-a-uno ( inyectiva) y sobre ( sobreyectiva) es necesariamente un isomorfismo. Si existe un isomorfismo entre V y W, los dos espacios se dice que son isomorfos; entonces son esencialmente idénticas como espacios vectoriales.
Los espacios vectoriales sobre un campo fijo F junto con los mapas lineales son una categoría, de hecho una categoría abeliana.
Las generalizaciones
Desde un punto de vista abstracto, espacios vectoriales son módulos de más de un campo, F. La práctica común de la identificación de una v y v un vector en un espacio hace que el espacio vectorial de un F - F bimodule. Módulos en general necesitan no tener bases; los que lo hacen (incluyendo todos los espacios vectoriales) se conocen como módulos libres.
Una familia de espacios vectoriales, parametrizar continuamente por algunos subyacente espacio topológico, es una fibrado vectorial.
Una espacio afín es un conjunto con un transitiva acción espacio vectorial. Tenga en cuenta que un espacio vectorial es un espacio afín sobre sí misma, por la estructura de mapa
Estructuras adicionales
Es común para estudiar los espacios vectoriales con ciertas estructuras adicionales. Esto es a menudo necesario para la recuperación de las nociones ordinarias de la geometría.
- Un espacio vectorial real o complejo con un concepto bien definido de longitud, es decir, una norma, que se llama una espacio vectorial normado.
- Un espacio vectorial normado con el concepto adicional bien definido de ángulo se llama espacio con producto interno.
- Un espacio vectorial con una topología compatible con las operaciones - de tal manera que la suma y la multiplicación escalar son mapas continuos - se denomina espacio vectorial topológico. La estructura topológica es relevante cuando el espacio vectorial subyacente es de dimensión infinita.
- Un espacio vectorial con un adicional operador bilineal la definición de la multiplicación de los dos vectores es una álgebra sobre un campo.
- Una espacio vectorial ordenado.
