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Diagrama de Venn

Temas relacionados: Matemáticas

Antecedentes

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Un diagrama de Venn de los conjuntos A, B, y C

Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos . Inventado en 1881 por John Venn, muestran todas las posibles matemáticas o lógicas relaciones entre conjuntos (grupos de cosas). Normalmente consisten en la superposición de círculos . Por ejemplo, en un sistema de dos diagrama de Venn, un círculo puede representar todas las cosas que son líquidos a temperatura ambiente, mientras que otro círculo puede representar el conjunto de todos los elementos químicos. El área de superposición (intersección) representaría entonces las cosas que son líquidos a temperatura y elementos de ambiente, por ejemplo el mercurio. Otras formas pueden ser empleados (véase más adelante), y esto es necesario para más de tres sets.

Orígenes

Vidriera en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge

La Hull-nacido británico filósofo y matemático John Venn (1834-1923) introdujo el diagrama de Venn en 1881 .

Un vitral en Caius College, Cambridge , donde estudió Venn y pasó la mayor parte de su vida, le conmemora y representa un diagrama de Venn.

Ejemplos

Conjuntos A y B

El círculo de color naranja ( conjunto A) podría representar, por ejemplo, todos los seres vivos que son de dos patas. El círculo azul, (serie B) podría representar seres vivos que pueden volar. La zona en la que los círculos azules y naranjas se superponen contiene todos los seres vivos que pueden volar y que tienen dos piernas - por ejemplo, los loros. (Imagine cada tipo separado de criatura como un punto en algún lugar en el diagrama).

Los humanos y los pingüinos estarían en el círculo de color naranja, en la parte que no se solapa con el círculo azul. Los mosquitos tienen seis patas, y volar, por lo que el punto de mosquitos estarían en la parte del círculo azul, que no se superponga con la naranja uno. Las cosas que no son de dos patas y no pueden volar (por ejemplo, las ballenas y las arañas) todos serían representados por puntos fuera de los círculos. Técnicamente, el diagrama de Venn anterior se puede interpretar como "las relaciones del conjunto A y el conjunto B que puede tener algunos elementos (pero no todos) en común".

El área combinada de los conjuntos A y B se denomina unión de A y B, denotado por AUB. La unión en este caso contiene todas las cosas que o bien tienen dos piernas, o que vuelan, o ambos.

La zona en la que tanto A como B, donde los dos conjuntos se solapan, se llama la intersección de A y B, denotado por A∩B. La intersección de los dos conjuntos no está vacía, porque los círculos se superponen, es decir, no son criaturas que son tanto en el naranja y círculos azules.

A veces un rectángulo llamado el " Conjunto universal "se dibuja alrededor del diagrama de Venn para mostrar el espacio de todas las cosas posibles. Como se mencionó anteriormente, una ballena estaría representada por un punto que no está en el sindicato, pero es en el Universo (de los seres vivos, o de todos cosas, dependiendo de cómo uno eligió para definir el universo de un diagrama en particular).

Extensiones a un mayor número de conjuntos

Construcción de Venn con n = 3
Construcción de Venn con n = 4
Construcción de Venn con n = 5
Construcción de Venn con n = 6

Diagramas de Venn tienen típicamente tres conjuntos. Venn estaba dispuesto a encontrar figuras simétricas ... elegante en sí mismos que representan un mayor número de conjuntos e ideó un esquema de cuatro set usando elipses . También dio una construcción de diagramas de Venn con cualquier número de curvas, donde cada curva sucesiva es intercalada con curvas anteriores, comenzando con el diagrama 3-círculo.

Simples Venn Diagramas simétricas

DW Henderson demostró en 1963 que la existencia de un diagrama -Venn n con n -fold simetría rotacional implica que n era primordial . También demostró que existen tales diagramas de Venn simétricas cuando n es 5 ó 7. En 2002 Peter hamburguesa encontró diagramas de Venn simétricas de n = 11 y en 2003, Griggs, Killian, y Savage mostraron que existen diagramas de Venn simétricas para todos los demás primos. Por lo tanto existen los diagramas de Venn simétricos si y sólo si n es un número primo.

Diagramas de Venn de Edwards

Diagrama de Venn de Edwards de tres sets
Diagrama de Venn de Edwards de cuatro juegos
Diagrama de Venn de Edwards de cinco sets
Diagrama de Venn de Edwards de seis conjuntos

AWF Edwards dio una construcción a un mayor número de juegos que cuenta con algunas simetrías. Su construcción se consigue proyectando el diagrama de Venn sobre una esfera . Tres conjuntos pueden ser fácilmente representados tomando tres hemisferios en ángulo recto (x ≥0, y ≥0 yz ≥0). Un cuarto conjunto se puede representar mediante la adopción de una curva similar a la costura en una pelota de tenis que serpentea hacia arriba y abajo alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes se pueden proyectar de nuevo al avión para dar diagramas de cremallera, con un creciente número de dientes. Estos diagramas se diseñaron mientras que el diseño de un cristal de colores ventana in memoriam de Venn.

Otros diagramas

Diagramas de Venn de Edwards son topológicamente equivalente a diagramas ideado por Branko Grünbaum que se basa en la intersección de polígonos con un creciente número de lados. También son representaciones 2-dimensionales de hipercubos.

Smith ideó diagramas n -Establecer similares utilizando curvas sinusoidales con ecuaciones y = sin (2 x) i / 2 i, 0≤i≤ n -2.

Charles Lutwidge Dodgson (aka Lewis Carroll) ideó un esquema de cinco sets.

Uso en el aula

Diagramas de Venn se utilizan a menudo por los profesores en el aula como un mecanismo para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos artículos. Las características se enumeran en cada sección del diagrama, con características compartidas enumerados en la sección de solapamiento.

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