Algèbre abstraite

Algèbre abstraite est la zone objet de mathématiques qui étudie les structures algébriques , comme les groupes , bagues, champs, modules, espaces vectoriels , et algèbres. La plupart des auteurs écrivent aujourd'hui tout simplement l'algèbre à la place de l'algèbre abstraite.

Le terme algèbre abstraite renvoie désormais à l'étude de toutes les structures algébriques, distincte de l' algèbre élémentaire habituellement enseigné aux enfants, qui enseigne les règles correctes pour manipuler des formules et des expressions algébriques impliquant réels et des nombres complexes et inconnues. Algèbre élémentaire peut être considéré comme une introduction informelle aux structures connues sous le nom champ réel et algèbre commutative.

Mathématiques contemporaines et la physique mathématique font un usage intensif de l'algèbre abstraite; par exemple, la physique théorique se appuie sur algèbres de Lie. Des domaines tels que algébrique théorie des nombres, topologie algébrique, et géométrie algébrique appliquer des méthodes algébriques à d'autres domaines des mathématiques. la théorie de la représentation, grosso modo, prend la «abstrait» sur «l'algèbre abstraite ', étudier le côté concret d'une structure donnée; voir théorie des modèles.

Deux domaines mathématiques qui étudient les propriétés des structures algébriques considérées dans leur ensemble sont algèbre universelle et théorie des catégories. Structures algébriques, avec l'Associated homomorphismes, forme catégories. La théorie des catégories est un formalisme puissant pour étudier et comparer les différentes structures algébriques.

Histoire et exemples

Comme dans d'autres parties des mathématiques, des problèmes et des exemples concrets ont joué un rôle important dans l'évolution de l'algèbre. Jusqu'à la fin du XIXe siècle, beaucoup, peut-être plus, de ces problèmes étaient en quelque sorte liée à la théorie des équations algébriques. Parmi les principaux thèmes que nous pouvons citer:

• résolution de systèmes d'équations linéaires, qui ont conduit à des matrices, déterminants et algèbre linéaire .
• tente de trouver des formules pour les solutions d'équations polynomiales générales de degré supérieur qui ont abouti à la découverte de groupes comme des manifestations abstraites de symétrie ;
• et les enquêtes arithmétiques des formes quadratiques et le degré supérieur et équations diophantiennes, notamment, à prouver le dernier théorème de Fermat , qui produit directement les notions d'un anneau et idéal.

De nombreux manuels d'algèbre abstraite commencent avec définitions axiomatiques de diverses structures algébriques et passer ensuite à établir leurs propriétés, créant une fausse impression que d'une certaine manière en algèbre axiomes étaient venus d'abord et ensuite servi de motivation et comme base d'une étude ultérieure. Le véritable ordre du développement historique était presque exactement le contraire. La plupart des théories que nous reconnaissons maintenant que les pièces de l'algèbre ont commencé comme des collections de faits disparates provenant de diverses branches des mathématiques, a acquis un thème commun qui a servi de noyau autour duquel différents résultats ont été regroupés, et enfin devenus unifié sur une base d'un ensemble commun de concepts. Un exemple archétypique de cette évolution peut être vu dans la théorie des groupes .

La théorie des groupes précoce

Il ya eu plusieurs discussions dans le développement précoce de la théorie des groupes, en langage moderne correspondant vaguement à la théorie des nombres, la théorie des équations, et la géométrie, dont nous nous concentrons sur les deux premiers.

Leonhard Euler considérées comme des opérations algébriques sur les nombres modulo un entier, l'arithmétique modulaire , prouvant sa généralisation des Le petit théorème de Fermat. Ces enquêtes ont été prises beaucoup plus loin en Carl Friedrich Gauss , qui a considéré la structure des groupes multiplicatifs de résidus mod n et établies de nombreuses propriétés de cyclique et plus générale groupes abéliens qui se posent dans cette façon. Dans ses enquêtes sur les Composition des formes quadratiques binaires, Gauss explicitement la loi associative pour la composition des formes, mais comme Euler avant lui, il semble avoir été plus intéressé par des résultats concrets que dans la théorie générale. En 1870, Leopold Kronecker a donné une définition d'un groupe abélien, dans le contexte de groupes de classes idéales d'un champ de numéro, une généralisation de grande envergure des travaux de Gauss. Il semble qu'il ne avait pas l'attacher avec des travaux antérieurs sur les groupes, en particulier, des groupes de permutation. En 1882, compte tenu de la même question, Heinrich Weber réalisé la connexion et a donné une définition similaire qui impliquait la la propriété d'annulation, mais omis l'existence de la élément inverse, ce qui était suffisant dans son contexte (groupes finis).

Permutations ont été étudiés par Joseph Lagrange dans son document de 1770 Réflexions sur la résolution des équations algébrique consacrées aux solutions des équations algébriques, dans lequel il introduit Résolvantes de Lagrange. L'objectif de Lagrange était de comprendre pourquoi équations du troisième et quatrième degré admettent formules de solutions, et il a identifié comme principaux objets permutations des racines. Une étape de nouvelle importante prise par Lagrange dans ce document était la vue abstraite des racines, ce est à dire comme des symboles et non comme des nombres. Cependant, il ne considérait pas la composition de permutations. Par un heureux hasard, la première édition du Edward Waring Meditationes Algebraicae paru dans la même année, avec une version élargie publié en 1782. Waring a prouvé la théorème principal sur les fonctions symétriques, et spécialement examiné la relation entre les racines d'une équation du quatrième degré et son résolvante cubes. Mémoire sur la Résolution des équations de Alexandre Vandermonde (1771) a développé la théorie des fonctions symétriques à partir d'un angle légèrement différent, mais comme Lagrange, dans le but de comprendre la solvabilité des équations algébriques.

Kronecker revendiqué en 1888 que l'étude de l'algèbre moderne a commencé avec ce premier document de Vandermonde. Cauchy stipule très clairement que Vandermonde avait priorité sur Lagrange pour cette idée remarquable qui a finalement conduit à l'étude de la théorie des groupes.

Paolo Ruffini était la première personne à développer la théorie de groupes de permutation, et comme ses prédécesseurs, également dans le cadre de la résolution des équations algébriques. Son objectif était d'établir impossibilité de solution algébrique à une équation algébrique générale de degré supérieur à quatre. En route vers cet objectif, il a introduit la notion de l'ordre d'un élément d'un groupe, conjugaison, la décomposition du cycle d'éléments des groupes de permutation et les notions de primitif et imprimitive et prouvé des théorèmes importants concernant ces concepts, tels que

si G est un sous-groupe de S ₅ dont l'ordre est divisible par 5 alors G contient un élément d'ordre 5.

Notez, cependant, qu'il ne restait sans la formalisation de la notion de groupe, ou même d'un groupe de permutation. L'étape suivante a été prise par Évariste Galois en 1832, bien que son travail est resté inédit jusqu'en 1846, quand il a examiné pour la première fois ce que nous appelons maintenant la propriété de fermeture d'un groupe de permutations, qu'il a exprimée quant

... Si, dans un tel groupe on a les substitutions S et T alors on a la substitution ST.

La théorie des groupes de permutation reçu développement de grande envergure dans les mains de Augustin Cauchy et Camille Jordan, à la fois grâce à l'introduction de nouveaux concepts et, surtout, une grande richesse des résultats sur les classes spéciales de groupes de permutation et même certains théorèmes généraux. Entre autres choses, la Jordanie a défini une notion de isomorphisme, toujours dans le cadre de groupes de permutation et, accessoirement, ce est lui qui a mis le groupe terme largement utilisé.

La notion abstraite d'un groupe est apparu pour la première fois en Les papiers de Arthur Cayley en 1854. Cayley réalisé que un groupe ne doit pas être un groupe de permutation (ou même fini), et peuvent à la place composé de matrices , dont les propriétés algébriques, telles que la multiplication et inverses, il a systématiquement étudié dans les années suivantes. Beaucoup plus tard Cayley de réexaminer la question de savoir si les groupes abstraits étaient plus générale que les groupes de permutation, et d'établir que, en fait, ne importe quel groupe est isomorphe à un groupe de permutations.

L'algèbre moderne

La fin du 19ème et le début du 20e siècle a vu un changement considérable dans la méthodologie des mathématiques. Ne se contente plus d'établir les propriétés des objets concrets, les mathématiciens ont commencé à tourner leur attention à la théorie générale. Par exemple, les résultats sur les différents groupes de permutations sont venus à être considérés comme des cas de théorèmes généraux qui concernent une notion générale d'un groupe abstrait. Questions de structure et la classification des différents objets mathématiques sont venus avant-garde. Ces processus se produisaient dans l'ensemble des mathématiques, mais se sont particulièrement prononcées dans l'algèbre. Définition formelle par des opérations primitives et axiomes ont été proposées pour de nombreuses structures algébriques de base, tels que les groupes , anneaux, et domaines. Les enquêtes algébriques des domaines généraux de Ernst Steinitz et d'anneaux générales commutatives, puis par David Hilbert , Emil Artin et Emmy Noether , mise en place sur les travaux de Ernst Kummer, Leopold Kronecker et Richard Dedekind, qui avait considéré comme idéaux dans les anneaux commutatifs, et Georg Frobenius et Issai Schur, concernant la théorie de la représentation des groupes, en vint à définir algèbre abstraite. Ces développements du dernier quart du 19e siècle et le premier trimestre de 20ème siècle ont été systématiquement exposés dans Moderne l'algèbre de Bartel van der Waerden, la monographie en deux volumes publiée en 1930-1931 qui a changé à jamais pour le monde mathématique le sens du mot algèbre de la théorie des équations à la théorie des structures algébriques.

Un exemple

Algèbre abstraite facilite l'étude des propriétés et des motifs qui les concepts mathématiques apparemment disparates ont en commun. Par exemple, examiner les opérations distinctes de la composition de fonctions , f (g (x)), et de la multiplication de matrices , AB. Ces deux opérations sont en fait la même structure. Pour le voir, réfléchir à la multiplication de deux matrices carrées, AB, par un vecteur d'une colonne, x. Ceci définit une fonction équivalente à composer avec Bx Ay: Ay = A (Bx) = (AB) x. Fonctions en vertu de la composition et des matrices sous la multiplication des exemples de monoïdes. Un ensemble S et un opération binaire sur S, notée par concaténation, forment un monoïde Si l'opération associés , (ab) c = a (bc), et se il existe un e ∈ S, telle que ae = EA = a.