Arithmétique
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Arithmétique ou arithmétique (du grec mot ἀριθμός, arithmos " nombre ") est la branche la plus ancienne et la plus élémentaire de mathématiques , utilisé par presque tout le monde, pour des tâches allant du simple au jour le jour à compter avancées scientifiques et commerciales calculs. Il se agit de l'étude de la quantité , d'autant plus que le résultat des opérations qui combinent numéros. Dans l'usage courant, il se réfère aux propriétés simples en utilisant la traditionnelle opérations de plus , la soustraction , la multiplication et la division avec de plus petites valeurs de nombres. Professionnels mathématiciens utilisent parfois le terme (supérieur) arithmétique en se référant à des résultats plus avancés liés à la théorie des nombres , mais cela ne devrait pas être confondus avec l'arithmétique élémentaire .
Histoire
La préhistoire de l'arithmétique est limitée à un petit nombre d'objets qui peut indiquer la conception de l'addition et la soustraction, le plus connu étant le bâton d'Ishango de l'Afrique centrale , datant de quelque part entre 20 000 et 18 000 en Colombie-Britannique, bien que son interprétation est contestée.
Les premiers documents écrits indiquent la Egyptiens et Babyloniens utilisaient toutes les opérations arithmétiques élémentaires dès 2000 BC. Ces artefacts ne révèlent pas toujours le processus spécifique utilisé pour résoudre les problèmes, mais les caractéristiques du particulier système de numération influencent fortement la complexité des méthodes. Le système hiéroglyphique Chiffres égyptiens, comme les ultérieures chiffres romains , les descendants de marques de pointage utilisés pour le comptage. Dans les deux cas, cette origine a donné lieu à des valeurs qui utilisaient une virgule base, mais ne comprend pas notation positionnelle. Des calculs complexes avec chiffres romains besoin de l'aide d'un conseil ou le comptage Abacus romaine pour obtenir les résultats.
Les premiers systèmes numériques qui comprenait notation de position ne étaient pas décimal, y compris le sexagésimal (base 60) système de Chiffres babyloniennes et le vigésimal système (base 20) qui a défini Numération maya. En raison de ce concept de valeur de, la possibilité de réutiliser les mêmes chiffres pour différentes valeurs a contribué à des méthodes de calcul plus simples et plus efficaces.
Le développement historique continue de l'arithmétique moderne commence par la La civilisation hellénistique de la Grèce antique, même si elle provient beaucoup plus tard que les Babyloniens et les exemples égyptiens. Avant les œuvres d' Euclide autour de 300 avant JC, Études grecques en mathématiques chevauchent avec les croyances philosophiques et mystiques. Par exemple, Nicomaque a résumé le point de vue de la première Approche de Pythagore pour les numéros et leurs relations les uns aux autres, dans son Introduction à l'arithmétique.
Chiffres grecs, dérivées du système égyptien hiératique, manquaient également de notation de position, et donc imposées la même complexité sur les opérations de base de l'arithmétique. Par exemple, l'ancien mathématicien Archimède a consacré toute son travail L'Arénaire simplement à l'élaboration d'une notation pour un certain grand nombre entier.
Le développement progressif de Chiffres indo-arabes conçus indépendamment du concept de valeur de position et la notation, qui combine les méthodes plus simples pour les calculs avec une base décimal et l'utilisation d'un chiffre représentant zéro . Cela a permis au système de représenter toujours petits et grands entiers. Cette approche finalement remplacé tous les autres systèmes. Au début du 6e siècle de notre ère, le mathématicien indien Aryabhata incorporé une version existante de ce système dans son travail, et a expérimenté avec différentes notations. Au 7ème siècle, Brahmagupta établi l'utilisation de zéro en tant que numéro séparé et déterminé les résultats de multiplication, division, addition et la soustraction de zéro et tous les autres numéros, sauf pour le fait de division par zéro. Son contemporain, le Évêque syriaque Sévère Sebôkht décrit l'excellence de ce système comme «... des méthodes de calcul de valeur qui dépassent description". Les Arabes aussi appris cette nouvelle méthode et l'a appelé hesab.
Bien que le Chronique d'Albelda décrit une forme précoce de chiffres arabes (en omettant zéro) par 976 AD, Fibonacci était principalement responsable de la diffusion de leur utilisation dans toute l'Europe après la publication de son livre Liber Abaci en 1202. Il a considéré l'importance de cette "nouvelle" représentation des nombres, qui qu'il appelait la «méthode des Indiens» (latin Modus Indorum), si fondamental que tous liés fondements mathématiques, y compris les résultats de Pythagore et de la algorism décrivant les méthodes pour effectuer des calculs réels, étaient «presque une erreur" en comparaison.
Dans les Moyen-Age , l'arithmétique était l'un des sept arts libéraux enseignées dans les universités.
L'épanouissement de l'algèbre dans le médiévale islamique monde et dans la Renaissance l'Europe était une excroissance de l'énorme simplification des calcul travers décimale notation.
Il existe divers types d'outils pour aider dans les calculs numériques. Des exemples comprennent règles à calcul (pour la multiplication, la division et la trigonométrie) et abaques en plus de la électrique calculateur .
Les opérations arithmétiques
Les opérations arithmétiques de base sont l'addition, soustraction, multiplication et division, bien que ce sujet comprend également des opérations plus avancées, telles que les manipulations de pourcentages , racines carrées , exponentiation , et des fonctions logarithmiques . Arithmétique est effectuée selon un ordre des opérations. Tout ensemble d'objets sur lesquels tous les quatre opérations arithmétiques (sauf division par zéro) peut être effectuée, et où ces quatre opérations obéissent aux lois habituelles, est appelé domaine.
Addition (+)
L'addition est le fonctionnement de base de l'arithmétique. Dans sa forme la plus simple, plus combine deux chiffres, les opérandes ou termes, en un seul chiffre, la somme des nombres.
Ajout de plus de deux nombres peut être considéré comme une addition répétée; Cette procédure est connue en tant que sommation et comprend des moyens d'ajouter une infinité de nombres dans un série infinie; addition répétée du nombre une est la forme la plus élémentaire de compter.
L'addition est commutative et associative donc l'ordre les termes sont ajoutés à ne importe pas. Le élément de l'identité de l'addition (la identité additive) est 0, ce est-à 0 ajoutant des rendements en même nombre que numériques. En outre, le élément inverse de l'addition (la additif inverse) est l'inverse d'un nombre quelconque, ce est, en ajoutant à l'opposé d'un certain nombre au nombre lui-même donne le identité additive, 0. Par exemple, à l'opposé de -7 7 est alors 7 + (-7) = 0 .
L'addition peut être donnée géométriquement comme dans l'exemple suivant:
- Si nous avons deux bâtons de longueurs 2 et 5, si l'on place ensuite les bâtonnets une après l'autre, la longueur de la tige ainsi formée est 2 + 5 = 7.
Soustraction (-)
La soustraction est à l'opposé de l'addition. Soustraction trouve la différence entre les deux nombres, le diminuende moins la soustraction. Si le minuende est supérieure à la soustraction, la différence est positive; si le diminuende est inférieure à la soustraction, la différence est négative; si elles sont égales, la différence est égale à zéro.
Soustraction ne est ni commutative ni associative. Pour cette raison, il est souvent utile d'examiner la soustraction en tant que l'addition du minuende et à l'opposé de la soustraction, ce est-a - b = a + (- b). Lorsque écrite comme une somme, toutes les propriétés de plus en attente.
Il existe plusieurs méthodes de calcul des résultats, dont certains sont particulièrement avantageux de calcul de la machine. Par exemple, les ordinateurs numériques utilisent la méthode de le complément à deux. D'une grande importance est la méthode de comptage par lequel le changement est effectué. Supposons un montant P est donnée de payer le montant requis Q, avec P supérieur à Q. Plutôt que d'effectuer la soustraction P - Q et comptant à ce montant dans le changement, l'argent est compté à partir de Q et continue jusqu'à atteindre P. Bien que le montant compté doit être égal au résultat de la soustraction P - Q, la soustraction n'a jamais vraiment été fait et la valeur de P - Q peut-être encore inconnu du changement-maker.
Multiplication (× ou · ou *)
Multiplication est la deuxième opération de base de l'arithmétique. Multiplication combine également deux chiffres dans un numéro unique, le produit. Les deux numéros originaux sont appelés le multiplicateur et le multiplicande, parfois les deux facteurs appelés simplement.
La multiplication est plus considéré comme une opération de mise à l'échelle. Si les numéros sont imaginées comme se trouvant dans une ligne, la multiplication par un nombre, par exemple x, supérieure à 1 est le même que tout écart qui se étend uniformément à partir de 0, de telle sorte que le nombre 1 lui-même est étirée à l'endroit où x a. De même, la multiplication par un nombre inférieur à 1 peut être imaginé comme serrant vers 0. (Là encore, d'une manière telle que 1 va à l'multiplicande).
La multiplication est commutative et associative; il est en outre distributive sur l'addition et la soustraction. L' identité multiplicative est 1, ce est-à multiplier un nombre quelconque de 1 rendements que même numéro. En outre, le est l'inverse multiplicatif réciproque de ne importe quel nombre (sauf zéro; zéro est le seul numéro sans inverse multiplicatif), qui est, en multipliant l'inverse de ne importe quel nombre par le nombre lui-même donne le identité multiplicatif.
Le produit de a et b est écrit que a × b ou a • b. Lorsque a ou b sont des expressions écrites simplement pas avec les chiffres, il est aussi écrit par simple juxtaposition: ab. En langages de programmation informatique et de logiciels dans laquelle on ne peut utiliser les caractères qui se trouvent normalement sur un clavier, il est souvent écrit avec un astérisque: a * b.
Division (÷ ou /)
La division est essentiellement l'inverse de la multiplication. Division trouve le quotient de deux nombres, le dividende divisé par le diviseur. Tout dividende divisé par zéro ne est pas défini. Pour les nombres positifs, si le dividende est plus grand que le diviseur, le quotient est supérieur à un, sinon ce est moins d'un (une règle semblable se applique pour les nombres négatifs). Le quotient multiplié par le diviseur donne toujours le dividende.
Division commutatif ne est ni ni associatif. Comme il est utile d'examiner la soustraction que l'addition, il est utile d'examiner la division que la multiplication des temps de dividendes de la inverse du diviseur, ce est-a ÷ b = a × 1 / b. Lorsque écrite en tant que produit, il obéit à toutes les propriétés de multiplication.
Arithmétique décimale
Représentation décimale se réfère exclusivement, d'usage courant, à l'écrit système de numération utilisant des chiffres arabes que les chiffres pour une radix 10 ("virgule") notation positionnelle; cependant, tout système numérique basé sur des puissances de 10, par exemple, Grecque, Cyrillique, romaine , ou Chinois chiffres peuvent conceptuellement être décrits comme "notation décimale» ou «représentation décimale".
Les méthodes modernes pour quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et division) ont d'abord été conçues par Brahmagupta de l'Inde. Cela a été connu pendant que l'Europe médiévale "Modus Indoram" ou la méthode des Indiens. Notation de position (aussi connu comme "la notation de valeur de") se réfère à la représentation et le codage des numéros utilisant le même symbole pour les différents ordres de grandeur (par exemple, la «ceux place", "des dizaines lieu", "des centaines place») et, avec un point de base, en utilisant les mêmes symboles pour représenter fractions (par exemple, le "lieu dixièmes", "centièmes place"). Par exemple, 507,36 désigne 5 des centaines (10 2), en plus de 0 dizaines (10 1), en plus de 7 unités (10 0), en plus de 3/10 (10 -1), plus 6/100 (10) -2.
Zéro comme un nombre comparable aux autres chiffres de base est un concept qui est essentiel pour cette notation, comme ce est le concept de l'utilisation de zéro comme un espace réservé, et comme ce est la définition de la multiplication et addition avec zéro. L'utilisation de zéro comme un espace réservé et, par conséquent, l'utilisation d'une notation de position est d'abord attesté dans la Texte Jain de l'Inde le droit de la Lokavibhâga, datée 458 AD et ce est seulement au début du 13ème siècle que ces concepts, transmis par l'intermédiaire du bourse d'études du monde arabe, ont été introduits dans l'Europe par Fibonacci en utilisant le Système de numération indo-arabe.
Algorism comprend toutes les règles pour effectuer des calculs arithmétiques en utilisant ce type de chiffre écrite. Par exemple, l'addition produit la somme de deux nombres arbitraires. Le résultat est calculé par l'addition répétée d'un seul chiffre à partir de chaque numéro qui occupe la même position, en procédant de droite à gauche. Une table d'addition avec dix lignes et dix colonnes affiche toutes les valeurs possibles pour chaque somme. Si un individu somme dépasse la valeur neuf, le résultat est représenté avec deux chiffres. Le chiffre le plus à droite est la valeur de la position en cours, et le résultat de l'addition ultérieure des chiffres à gauche par l'augmentation de la valeur de la seconde (à gauche) chiffres, ce qui est toujours une. Cet ajustement est appelé un report de la valeur un.
Procédé pour la multiplication de deux nombres quelconques est similaire au procédé de l'addition. Une table de multiplication par dix lignes et dix colonnes dresse la liste des résultats pour chaque paire de chiffres. Si un produit individuel d'une paire de chiffres est supérieur à neuf, le réglage de report augmente le résultat d'une multiplication ultérieure de chiffres à la gauche d'une valeur égale à la seconde (à gauche) chiffre, qui correspond à une valeur de un à huit (9 × 9 = 81). Des étapes supplémentaires définissent le résultat final.
Des techniques similaires existent pour la soustraction et la division.
La création d'un processus adapté à la multiplication se appuie sur la relation entre les valeurs de chiffres adjacents. La valeur pour chaque chiffre dans un nombre dépend de sa position. De plus, chaque position à gauche représente une valeur dix fois plus grande que la position à droite. En termes mathématiques, le représentant de la radix (base) de dix par une augmentation (à gauche) ou par une diminution (à droite). Par conséquent, la valeur de ne importe quel chiffre arbitraire est multipliée par une valeur de la forme 10 n avec entier n. La liste des valeurs correspondant à toutes les positions possibles pour un seul chiffre se écrit: {..., 10 2, 10, 1, 10 -1, 10 -2, ...}.
Multiplication répétée de toute valeur dans cette liste de dix produit une autre valeur dans la liste. Dans la terminologie mathématique, cette caractéristique est définie comme fermeture, et la liste précédente est décrit comme fermé sous la multiplication. Ce est la base pour trouver correctement les résultats de multiplication en utilisant la technique précédente. Ce résultat est un exemple de l'utilisation de la théorie des nombres .
Composé unité arithmétique
Composé unité arithmétique est l'application d'opérations arithmétiques à quantités de bases multiples tels que pieds et pouces, gallons et les pintes, livres shillings et pence, et ainsi de suite. Avant l'utilisation de systèmes à base de décimales-de l'argent et les unités de mesure, l'utilisation de l'unité de composant arithmétique formé une partie importante du commerce et de l'industrie.
Opérations arithmétiques de base
Les techniques utilisées pour l'unité de composant arithmétique a été développé au cours des siècles et sont bien documentés dans de nombreux manuels dans de nombreuses langues différentes. En plus des fonctions arithmétiques de base rencontrées dans l'arithmétique décimale, composé unité arithmétique emploie trois autres fonctions:
- Réduction d'une quantité de composé est réduit à une seule quantité, par exemple la conversion d'une distance exprimée en mètres, pieds et pouces à une exprimée en pouces.
- L'expansion, la fonction inverse à la réduction, est la conversion d'une quantité qui est exprimée comme une seule unité de mesure à une unité de composé, comme l'élargissement de 24 oz £ 1, 8 oz
- Normalisation est la conversion d'un ensemble d'unités de composés à un formulaire standard - par exemple la réécriture "1 m 13" que "2 pi 1 po".
La connaissance de la relation entre les différentes unités de mesure, leurs multiples et sous-multiples leurs constitue une partie essentielle de l'unité de composant arithmétique.
Principes de l'unité de composant arithmétique
Il ya deux approches de base au composé unité arithmétique:
- Procédé de réduction de la dilatation où toutes les variables d'unité sont réduits de composé de variables d'unité unique, le calcul effectué et le résultat étendu retour à des unités composées. Cette approche adaptée aux calculs automatisés. Un exemple typique est le temps de manipulation par Microsoft Excel où tous les intervalles de temps sont traitées comme à l'intérieur des jours et des fractions décimales d'un jour.
- En cours méthode de normalisation dans lequel chaque unité est traitée séparément, et le problème est continuellement normalisé comme la solution se développe. Cette approche, qui est largement décrit dans les textes classiques, est le mieux adapté pour les calculs manuels. Un exemple de la méthode de normalisation en cours telle qu'elle est appliquée à l'addition est représentée ci-dessous.
| UK pré-décimale monnaie | |||
|---|---|---|---|
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L'opération d'addition est effectuée de droite à gauche; dans ce cas, pence sont traitées en premier, puis suivies par shillings livres. Les numéros ci-dessous la «ligne de réponse" sont des résultats intermédiaires.
Le total de la colonne est pence 25. Comme il ya 12 centimes dans un shilling, le nombre 24 est divisé par 12 pour donner 2 avec un reste de 1. La valeur "1" est ensuite écrit à la ligne de réponse et la valeur " 2 "reporté à la colonne de shillings. Cette opération est répétée en utilisant les valeurs de la colonne de shillings, avec l'étape supplémentaire d'ajouter de la valeur qui a été reporté de la colonne de centimes. Le total intermédiaire est divisé par 20 plutôt que 12, comme il ya vingt shillings dans une livre. La colonne de la livre est ensuite traitée, mais comme livres sont la plus grande unité qui est envisagée, aucune valeur sont reportés de la colonne de livres.
Il convient de noter que, par souci de simplicité, l'exemple choisi ne avait pas deniers.
Opérations dans la pratique
Au cours des 19e et 20e siècles diverses aides ont été élaborés pour aider à la manipulation des unités composées, en particulier dans les applications commerciales. Les aides les plus communes étaient tills mécaniques qui ont été adaptés dans des pays comme le Royaume-Uni pour accueillir livres, shillings et pennies liards et "Prêt Reckoners" - livres visant à ce que les commerçants catalogués les résultats de divers calculs de routine telles que les pourcentages ou multiples de diverses sommes d'argent. Un livret typique qui a couru 150 pages sous forme de tableaux multiples "une à dix mille dans les différents prix d'un centime à une livre".
La lourdeur de l'unité de composant arithmétique a été reconnu depuis de nombreuses années - en 1586, le mathématicien flamand Simon Stevin publié une petite brochure intitulée De thiende ("le dixième") dans lequel il a déclaré que l'introduction universelle de décimales pièces de monnaie, des mesures et des poids pour être simplement une question de temps alors que dans l'ère moderne, de nombreux programmes de conversion, comme que noyé dans la calculatrice fournie en standard des sept exploitation des unités composées d'affichage du système de Microsoft Windows dans un format décimal réduite plutôt que d'utiliser un format élargi (ie "2,5 m" se affiche plutôt que "2 pi 6 po").
La théorie des nombres
Le terme se réfère également à l'arithmétique la théorie des nombres. Cela comprend les propriétés des nombres entiers liés à la primalité , la divisibilité et le solution des équations dans entiers, ainsi que la recherche moderne qui est une excroissance de cette étude. Ce est dans ce contexte que l'on traverse le théorème fondamental de l'arithmétique et de fonctions arithmétiques. Un Cours en arithmétique par Jean-Pierre Serre reflète cet usage, comme le font ces phrases comme premier ordre arithmétique ou la géométrie algébrique arithmétique. La théorie des nombres est également désigné sous le nom arithmétique ultérieure, comme dans le titre de Le livre de Harold Davenport sur le sujet.
Arithmétique dans l'éducation
L'enseignement primaire en mathématiques met souvent l'accent sur des algorithmes pour l'arithmétique des nombres naturels , entiers , fractions et décimales (en utilisant le système de valeur de décimales). Cette étude est parfois connu comme algorism.
La difficulté et l'apparence démotivés de ces algorithmes a longtemps conduit les éducateurs à se interroger sur ce programme, préconisant l'enseignement précoce des idées mathématiques plus centrales et intuitives. Un mouvement notable dans cette direction a été la New Math des années 1960 et 1970, qui a tenté d'enseigner l'arithmétique dans l'esprit du développement axiomatique de la théorie des ensembles, un écho de la tendance qui prévaut dans les mathématiques supérieures.
