Moyenne arithmétique

Dans les mathématiques et les statistiques , l'arithmétique moyenne (ou simplement la moyenne) d'une liste de numéros est la somme de tous les membres de la liste, divisé par le nombre d'éléments dans la liste. Si la liste est un population statistique, la moyenne de cette population est appelée une moyenne de la population. Si la liste est un échantillon statistique , nous appelons la résultante La statistique un échantillon signifie.

La moyenne est le type le plus couramment utilisé de moyenne et est souvent appelée simplement la moyenne. Le terme "signifie" ou "moyenne arithmétique" est préféré en mathématiques et statistiques pour le distinguer des autres moyennes telles que la médiane et le Mode.

Introduction

Si l'on note un ensemble de données par X = (x _1, x _2, ..., x _n), puis la moyenne d'échantillon est généralement notée avec une barre horizontale sur la variable ( , Énoncé «x bar").

Le symbole μ (en grec: mu) est utilisé pour désigner la moyenne arithmétique d'une population entière. Ou, pour une nombre aléatoire qui a défini une moyenne, μ est la moyenne probabiliste ou valeur attendue du nombre aléatoire. Si l'ensemble X est un ensemble de nombres aléatoires avec une moyenne de μ probabiliste, puis pour chaque échantillon individuel, x _i, à partir de cette collection, μ = E {x _i} est la valeur attendue de cet échantillon.

Dans la pratique, la différence entre μ et est que μ est généralement observable parce que l'on observe un échantillon plutôt que l'ensemble de la population, et si l'échantillon est prélevé au hasard, alors on peut traiter , Mais pas μ, en tant que variable aléatoire , en attribuant une distribution de probabilité pour le (la distribution d'échantillonnage de la moyenne).

Les deux sont calculés de la même façon:

Si X est une variable aléatoire , la valeur attendue de X peut être considéré comme l'arithmétique moyenne à long terme qui se produit sur des mesures répétées de X. Ce est le contenu de la loi des grands nombres. En conséquence, la moyenne d'échantillon est utilisé pour estimer les valeurs attendues inconnus.

Notez que plusieurs autres "moyens" ont été définis, y compris le moyenne généralisée, la généralisée f-moyen, le moyenne harmonique, la arithmétique moyenne géométrique, et divers des moyens pondérés.

Exemples

• Si vous avez trois numéros puis les ajouter et les diviser par trois:
• Si vous avez 4 numéros les ajouter et diviser par 4:

Problèmes liés à certaines utilisations de la moyenne

Bien que le moyen est souvent utilisé pour signaler la tendance centrale, il peut ne pas être approprié pour décrire distributions asymétriques, car il est facilement mal interprétés. La moyenne arithmétique est fortement influencée par aberrantes. Ces distorsions peuvent se produire lorsque la moyenne est différente de la médiane. Lorsque cela arrive, la médiane peut être une meilleure description de la tendance centrale.

Un exemple classique est revenu moyen. La moyenne arithmétique peut être mal interprété impliquer que les revenus de la plupart des gens sont plus élevés que ce qui est effectivement le cas. Lorsque présenté avec une une "moyenne" peut être amené à croire que les revenus de la plupart des gens sont à proximité de ce numéro. Cette (moyenne arithmétique) revenu «moyen» est plus élevé que les revenus de la plupart des gens, parce que les valeurs aberrantes à revenu élevé faussent résultat le plus élevé (en revanche, le revenu médian "résiste" telle inclinaison). Cependant, cette «moyenne» ne dit rien sur le nombre de personnes près du revenu médian (ni ne dit rien sur le revenu modale que la plupart des gens sont à proximité). Néanmoins, parce que l'on peut porter négligemment "moyenne" et "la plupart des gens», on pourrait supposer à tort que les revenus de la plupart des gens seraient plus élevés (près cette gonflé "moyenne") que ce qu'ils sont. Par exemple, les rapports de la "moyenne" valeur nette Medina, Washington comme la moyenne arithmétique de toutes les valeurs nettes annuelles donneraient un nombre étonnamment élevé en raison de Bill Gates . Considérez les scores (1, 2, 2, 2, 3, 9). La moyenne arithmétique est 3,17, mais les scores cinq des six sont en dessous.

Dans certaines situations, la moyenne arithmétique est la mauvaise mesure de la tendance centrale tout à fait. Par exemple, si un stock a chuté de 10% dans la première année, et a augmenté de 30% la deuxième année, il serait inexact de déclarer son augmentation "moyenne" par an au cours de cette période de deux ans comme la moyenne arithmétique (-10% + 30%) / 2 = 10%; la moyenne correcte dans ce cas est le moyenne géométrique qui donne une augmentation moyenne par an de seulement 8,2%. La raison en est que chacun de ces pourcentages ont différents points de départ. Si le stock commence à $ 30 et tombe à 10%, il est maintenant de 27 $. Si le stock se élève alors à 30%, il est maintenant $ 35,1. La moyenne arithmétique de ces hausses est de 10%, mais puisque le stock a augmenté de $ 5,1 en 2 ans, un moyenne de 8,2% se traduirait par la finale $ 35,1 figure [$ 30 (1-10%) (1 + 30%) = 30 $ (1 + 8,2%) (1 + 8,2%) = $ 35,1]. Si l'on utilise la moyenne arithmétique de 10% de la même manière, on pourrait pas obtenir l'augmentation réelle [30 $ (1 + 10%) (1 + 10%) = $ 36,3].

Une attention particulière doit être prise lors de l'utilisation des données cycliques tels que les phases ou des angles. Prendre la moyenne arithmétique de 1 degré et 359 degrés donne un résultat de 180 degrés, tandis que 1 et 359 sont tous deux adjacents à 360 degrés, ce qui peut être une valeur moyenne plus correctes. En application générale un tel oubli conduira à la valeur moyenne mobile artificiellement vers le milieu de la gamme numérique. Une solution à ce problème est d'utiliser la formulation d'optimisation, et redéfinir la différence en tant que distance modulaire.