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Inégalité de Cauchy-Schwarz

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En mathématiques , l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi connu comme l'inégalité Schwarz, l'inégalité de Cauchy, ou l'inégalité de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, une inégalité utile rencontré dans de nombreux contextes différents, tels que l'algèbre linéaire appliquée à des vecteurs , dans l'analyse appliquée à série infinie et l'intégration de produits, et la théorie des probabilités , appliqués aux écarts et covariances.

L'inégalité des sommes a été publié par Augustin Cauchy (1821), tandis que l'inégalité correspondante pour les intégrales a été indiqué par Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) et redécouvert par Nicole Jeanmart (1888) (souvent mal orthographié "Schwartz").

Déclaration de l'inégalité

L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que pour tous les vecteurs x et y d'un réel ou complexe espace intérieur du produit,

| \ Langle x, y \ rangle | ^ 2 \ leq \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle,

\ Langle \ cdot, \ cdot \ rangle est le produit interne. Équivalente, en prenant la racine carrée de deux côtés, et se référant au normes des vecteurs, l'inégalité se écrit

| \ Langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ cdot \ | y \ |. \,

En outre, les deux côtés sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendante (ou, dans un sens géométrique, ils sont parallèle ou l'un des vecteurs est égale à zéro).

Si x_1, \ cdots, x_n \ in \ mathbb C et y_1, \ cdots, y_n \ in \ mathbb C sont les composantes du x et y par rapport à un orthonormé base de V l'inégalité peut être reformulée de manière plus explicite comme suit:

| \ Overline {x} _1 y_1 + \ cdots + \ overline {x} _n y_n | ^ 2 \ leq (| x_1 | ^ 2 + \ cdots + | x_n | ^ 2) (| y_1 | ^ 2 + \ cdots + | y_n | ^ 2).

Égalité si et seulement si soit x = 0 Ou il existe un scalaire \ Lambda tel que

y_1 = \ lambda x_1, \ Y_2 = \ lambda x_2, \ dots, y_n = \ lambda x_n.

Le cas de dimension finie de cette inégalité pour les vrais vecteurs a été prouvé par Cauchy en 1821, et en 1859 élèves de Cauchy V.Ya. Bunyakovsky noter que, en prenant limites on peut obtenir une forme intégrale de l'inégalité de Cauchy. Le résultat général pour un espace de produit interne a été obtenue par KHASchwarz en 1885.

Preuve

Comme l'inégalité est trivialement vrai dans le cas y = 0, nous pouvons supposer <y, y> est différent de zéro. Laisser \ Lambda un nombre complexe . Ensuite,

0 \ leq \ left \ | x \ lambda y \ right \ | ^ 2 = \ langle x \ lambda y, x \ lambda y \ rangle = \ langle x, x \ rangle - \ bar {\ lambda} \ langle x, y \ rangle - \ lambda \ langle y, x \ rangle + | \ lambda | ^ 2 \ langle y, y \ rangle.

Choisir

\ Lambda = \ langle x, y \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle ^ {- 1}

on obtient

0 \ leq \ langle x, x \ rangle - | \ langle x, y \ rangle | ^ 2 \ cdot \ langle y, y \ rangle ^ {- 1}

ce qui est vrai si et seulement si

| \ Langle x, y \ rangle | ^ 2 \ leq \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle

ou de manière équivalente:

\ Big | \ langle x, y \ rangle \ big | \ leq \ left \ | x \ right \ | \ left \ | y \ right \ |,

qui est l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Cas particuliers notables

R n

Dans l'espace euclidien R n avec le produit intérieur standard, l'inégalité de Cauchy-Schwarz est

\ Left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i y_i \ right) ^ 2 \ leq \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 \ right) \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n y_i ^ 2 \ right).

Dans ce cas particulier, une preuve alternative est la suivante: Considérons le polynôme en z

(Z + x_1 y_1) ^ 2 + \ cdots + (z + x_n y_n) ^ 2.

Notez que le polynôme est quadratique en z. Depuis le polynôme est positive, il ne peut pas avoir des racines à moins que tous les ratios x i / y i sont égaux. D'où son discriminante est inférieure ou égale à zéro, ce est-

\ Left (\ sum (x_i \ cdot y_i) \ right) ^ 2 - \ sum {x_i ^ 2} \ cdot \ sum {y_i ^ 2} \ le 0 ,

ce qui donne l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Une preuve équivalente R n commence avec la somme ci-dessous.

Élargir les supports que nous avons:

\ Sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ n \ gauche (x_i y_j - x_j y_i \ right) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 \ sum_ {j = 1 } ^ n y_j ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ n x_j ^ 2 \ sum_ {i = 1} ^ n y_i ^ 2-2 \ sum_ {i = 1} ^ n x_i y_i \ sum_ {j = 1 } ^ n x_j y_j ,

collecte termes ensemble identiques (mais avec différents indices de sommation) nous trouvons:

\ Frac {1} {2} \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ n \ left (x_i y_j - x_j y_i \ right) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 \ sum_ {i = 1} ^ n y_i ^ 2 - \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i y_i \ right) ^ 2.

Étant donné que le côté gauche de l'équation est une somme des carrés de nombres réels, il est supérieur ou égal à zéro, soit:

\ Sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 \ sum_ {i = 1} ^ n y_i ^ 2 - \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i y_i \ right) ^ 2 \ geq 0 .

En outre, lorsque n = 2 ou 3, le produit scalaire est liée à l'angle entre les deux vecteurs et l'on peut voir immédiatement à l'inégalité:

| X \ cdot y | = \ | x \ | \ | y \ | | \ cos \ theta | \ le \ | x \ | \ | y \ |.

En outre, dans ce cas, l'inégalité de Cauchy-Schwarz peut également être déduit à partir de Identité de Lagrange. Pour n = 3, l'identité de Lagrange prend la forme

\ Langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle = | \ langle x, y \ rangle | ^ 2 + | x \ times y | ^ 2

à partir de laquelle suit facilement l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

L 2

Pour l'espace intérieur de produit de valeurs complexes carrés intégrables fonctions , on a

\ Left | \ int f (x) \ overline {g} (x) \, dx \ right | ^ 2 \ leq \ int \ left | f (x) \ right | ^ 2 \, dx \ cdot \ int \ left | g (x) \ right | ^ 2 \, dx.

Une généralisation de ce est la L'inégalité de Hölder.

Utilisation

Le inégalité triangulaire pour le produit interne est souvent représenté comme une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, comme suit: étant donné vecteurs x et y,

\ | X + y \ | ^ 2= \ Langle x + y, x + y \ rangle
= \ | X \ | ^ 2 + \ langle x, y \ rangle + \ langle y, x \ rangle + \ | y \ | ^ 2
\ Le \ | x \ | ^ 2 + 2 | \ langle x, y \ rangle | + \ | y \ | ^ 2
\ Le \ | x \ | ^ 2 + 2 \ | x \ | \ | y \ | + \ | y \ | ^ 2
\ Le \ left (\ | x \ | + \ | y \ | \ right) ^ 2

Prenant les racines carrées donne l'inégalité triangulaire.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet d'étendre la notion de "angle entre deux vecteurs" à toute réelle espace de produit intérieur, en définissant:

\ Cos \ theta_ {xy} = \ frac {\ langle x, y \ rangle} {\ | x \ | \ | y \ |}

L'inégalité de Cauchy-Schwarz prouve que cette définition est sensible, en montrant que la droite se situe dans l'intervalle [-1,1] , Et justifie la notion que les vrais espaces de produits intérieurs sont tout simplement des généralisations de l'espace euclidien.

Le Cauchy-Schwarz est utilisé pour prouver que le produit intérieur est un fonction continue par rapport à la topologie induite par le produit interne lui-même.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est généralement utilisé pour montrer Inégalité de Bessel.

La formulation générale de la Principe d'incertitude de Heisenberg est dérivée en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace intérieur de produit de physique fonctions d'onde.

Généralisations

Diverses généralisations de l'inégalité de Cauchy-Schwarz existent dans le cadre de la théorie de l'opérateur, par exemple pour les fonctions d'opérateur-convexe, et algèbres d'opérateurs, où le domaine et / ou gamme de φ sont remplacés par un C * -algèbre ou W * -algèbre.

Cette section répertorie quelques-uns de ces inégalités de la création de l'algèbre de l'opérateur, pour donner une saveur des résultats de ce type.

Fonctionnelles positifs sur C * - et W * -algèbres

On peut discuter des produits intérieurs que fonctionnelles positifs. Étant donné un espace de Hilbert L2 (m), M étant une mesure finie, le produit scalaire <·, ·> donne lieu à une fonctionnelle positif par φ

\ Phi (g) = \ langle g, 1 \ rangle.

Depuis <f, f> ≥ 0, φ (f f *) ≥ 0 pour tout f dans L 2 (m),f * est le conjugué de F ponctuel. Alors φ est positive. Inversement chaque φ fonctionnelle positif donne un produit correspondant intérieure <f, g> φ = φ (g * f). Dans cette langue, l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient

| \ Phi (g ^ * f) | ^ 2 \ leq \ phi (f ^ * f) \ phi (g ^ * g),

qui se étend verbatim fonctionnelles positifs sur C * -algèbres.

Nous donnons maintenant une preuve théorique de l'opérateur pour l'inégalité de Cauchy-Schwarz qui passe au réglage de -algèbre C *. On peut voir à partir de la preuve que l'inégalité de Cauchy-Schwarz est une conséquence de la positivité et anti-symétrie axiomes intérieure de produits.

Considérons la matrice positif

M = \ begin {} f ^ bmatrix * \\ g ^ * \ end {bmatrix} \ begin {} bmatrix f & g \ end {} bmatrix = \ begin {} f ^ bmatrix * f & f ^ * g \\ g ^ * f & g ^ * g \ end {} bmatrix.

Depuis φ est une carte linéaire positive dont la gamme, le nombres complexes C, est un commutatif C * -algèbre, φ est tout à fait positive. Donc

M '= (I_2 \ otimes \ phi) (M) = \ begin {bmatrix} \ phi (f ^ * f) & \ phi (f ^ * g) \\ \ phi (g ^ * f) & \ phi ( g ^ * g) \ end {} bmatrix

est une matrice 2 × 2 scalaire positive, ce qui implique qu'il a déterminant positif:

\ Phi (f ^ * f) \ phi (g ^ * g) - | \ phi (g ^ * f) | ^ 2 \ geq 0 \ quad \ mbox {} dire \ quad \ phi (f ^ * f) \ phi (g ^ * g) \ geq | \ phi (g ^ * f) | ^ 2.

Ce est précisément l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Si f et g sont des éléments d'une C * -algèbre, f * g * et désigner leurs adjoints respectifs.

On peut également déduire de ce qui précède que chaque fonction linéaire positive est limitée, ce qui correspond au fait que le produit scalaire est conjointement continu.

Cartes positifs

Fonctionnelles positifs sont des cas particuliers cartes positifs. Une carte Φ linéaire entre C * -algèbres est dit être une carte positive si a ≥ 0 implique Φ (a) ≥ 0. Il est naturel de se demander si les inégalités de Schwarz-type existent pour les cartes positives. Dans ce cadre plus général, habituellement hypothèses supplémentaires sont nécessaires pour obtenir de tels résultats.

L'inégalité de Kadison

Une telle inégalité est la suivante:

Théorème Si Φ est une carte unifère positif, alors pour tout élément normale dans son domaine, nous avons Φ (a * a) ≥ Φ (a *) Φ (a) et Φ (a * a) ≥ Φ (a) Φ (a *).

Ceci étend le fait φ (a * a) · 1 ≥ φ (a) * φ (a) = | φ (a) | 2,φ est une fonction linéaire.

Le cas où un est auto-adjoint, à savoir A = A *, qui est connu comme l'inégalité de Kadison.

Deux cartes-positifs

Lorsque Φ est 2-positif, une hypothèse plus forte que simplement positif, on a quelque chose qui ressemble beaucoup à l'inégalité de Cauchy-Schwarz originale:

Théorème (inégalité de Schwarz modification pour les cartes 2-positifs) Pour une carte Φ 2-positive entre C * -algèbres, pour tout a, b dans son domaine,

i) Φ (a) * Φ (a) ≤ || Φ (1) || Φ (a * a).
ii) || Φ (a * b) || 2 ≤ || Φ (a * a) || · || Φ (b * b) ||.

Un simple argument en faveur ii) est la suivante. Considérons la matrice positif

M = \ begin {} bmatrix un ^ * & 0 \\ b ^ * & 0 \ end {bmatrix} \ begin {} bmatrix a & b \\ 0 & 0 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix un ^ * A & A ^ * b \\ b ^ * a & b ^ b * \ end {} bmatrix.

En deux-positivité de Φ,

(I_2 \ otimes \ Phi) M = \ begin {bmatrix} \ Phi (un ^ * a) & \ Phi (un ^ * b) \\ \ Phi (b ^ * a) & \ Phi (b ^ * b) \ end {} bmatrix

est positif. L'inégalité désirée se ensuit alors des propriétés des 2 × 2 (opérateur) matrices positives.

Partie i) est analogue. On peut remplacer la matrice \ Begin {} bmatrix a & b \\ 0 & 0 \ end {} bmatrix par \ Begin {} bmatrix 1 et un 0 \\ & 0 \ end {} bmatrix.

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