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Commutativité

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Exemple montrant la commutativité de l'addition (3 + 2 = 2 + 3)

Commutativité est largement utilisé mathématique terme qui renvoie à la capacité de changer l'ordre de quelque chose sans changer le résultat final. Ce est une propriété fondamentale dans la plupart des branches des mathématiques et de nombreuses preuves en dépendent. La commutativité des opérations simples était depuis de nombreuses années et suppose implicitement la propriété n'a pas été donné un nom ou attribués jusqu'au 19e siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à formaliser la théorie des mathématiques.

Les utilisations courantes

La propriété commutative (ou loi commutative) est une propriété associée à opérations binaires et fonctions . De même, si la propriété commutative est valable pour une paire d'éléments sous une certaine opération binaire alors il est dit que les deux éléments font la navette dans cette opération.

En groupe et la théorie des ensembles , de nombreuses structures algébriques sont appelés commutative lorsque certains opérandes satisfont la propriété commutative. En plus hautes branches des mathématiques, comme l'analyse et algèbre linéaire la commutativité des opérations bien connues (comme plus et la multiplication des nombres réels et complexes) est souvent utilisé (ou implicitement supposé) dans les preuves.

Définitions mathématiques

Le terme «commutative» est utilisé dans plusieurs sens connexes.

1. opération binaire * sur un ensemble S est dit commutatif si:

x * y = y * x pour tout x, yS
  • Une opération qui ne satisfait pas la propriété ci-dessus est appelé non commutative.

2. On dit que x commute avec Y sous * si:

x * y = y * x

3. Un fonction binaire f: A × AB est dit commutatif si:

f (x, y) = f (y, x) pour tout x, yA.

Histoire et étymologie

La première utilisation connue du terme était dans un Journal français publié en 1814

Dossiers de l'utilisation implicite de la propriété commutative remontent à l'Antiquité. Les Egyptiens utilisaient la commutativité de la multiplication de simplifier l'informatique produits. Euclid est connu pour avoir assumé la propriété commutative de la multiplication dans son livre Elements . Utilisations formelles de la propriété commutative surgi à la fin du 18e et début du 19e siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à travailler sur une théorie des fonctions. Aujourd'hui la propriété commutative est une propriété bien connue et de base utilisé dans la plupart des branches des mathématiques. Les versions simples de la propriété commutative sont généralement enseignées dans commençant cours de mathématiques.

La première utilisation du terme commutative réelle était dans un mémoire par François Servois en 1814, qui a utilisé le mot commutatives pour décrire les fonctions qui ont ce qu'on appelle maintenant la propriété commutative. Le mot est une combinaison du mot français qui signifie de banlieue "de remplacer ou de switch" et le suffixe sens -ative "tendant à" de sorte que le mot signifie littéralement «tendant à substituer ou commutateur." Le terme est alors apparu en anglais Philosophical Transactions de la Royal Society en 1844.

Propriétés connexes

Graphique montrant la symétrie de la fonction d'addition

Associativité

La propriété associative est étroitement liée à la propriété commutative. La propriété associative indique que l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées ne affecte pas le résultat final. En revanche, la propriété commutative indique que l'ordre des termes ne affecte pas le résultat final.

Symétrie

Symétrie peut être directement liée à la commutativité. Quand un opérateur commutatif est écrit comme une fonction binaire alors la fonction résultante est symétrique à travers la ligne y = x. Par exemple, si nous laissons une fonction f représentent plus (une opération commutative), de sorte que f (x, y) = x + y alors f est une fonction symétrique qui peut être vu dans l'image sur la droite.

Exemples

Opérations commutatives dans la vie quotidienne

  • Mettre vos chaussures ressemble à une opération commutative, car il n'a pas d'importance si vous mettez la chaussure gauche ou à droite sur la première, le résultat final (ayant deux chaussures), est le même.
  • Lors de changement que nous profitons de la commutativité de l'addition. Il ne importe pas quel ordre nous mettons le changement, il ajoute toujours le même total.

Opérations commutatives en mathématiques

Exemple montrant la commutativité de la multiplication (3 * 5 = 5 * 3)

Deux exemples bien connus des opérations binaires sont commutatives:

y + z = z + y \ quad \ forall y, z \ in \ mathbb {R}
Par exemple 4 + 5 + 4 = 5, car les deux 9 expressions sont égales.
y z = z y \ quad \ forall y, z \ in \ mathbb {R}
Par exemple, 3 x 5 = 5 × 3, étant donné que 15 les deux expressions égaux.

Opérations non commutatives dans la vie quotidienne

Concaténation, l'acte de se joindre à des chaînes de caractères ensemble, est une opération non commutative.
  • Laver et sécher vos vêtements ressemble à une opération non commutative, si vous sèche d'abord, puis lavez, vous obtenez un résultat significativement différente que si vous vous lavez d'abord, puis sec.
  • Le Cube de Rubik est non commutative. Par exemple, tordant le visage vers la droite avant, la face supérieure dans le sens horaire et la face avant dans le sens antihoraire (FUF) n'a pas donné le même résultat que la torsion de la face avant dans le sens horaire, puis la gauche et enfin tourner dans le sens horaire supérieure (FF'U). Les rebondissements ne commutent pas. Ce est étudié dans la théorie des groupes .

Opérations non commutatives en mathématiques

Certaines opérations binaires non commutatives sont:

\ Begin {} bmatrix 0 et 2 \\ 0 & 1 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {} bmatrix 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ neq \ begin {} bmatrix 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {} bmatrix 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {} bmatrix = \ begin {} bmatrix 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {} bmatrix

Structures et commutativité mathématiques

  • Une groupe abélien est un groupe dont le fonctionnement groupe est commutatif.
  • Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est commutative. (Addition dans un anneau est par définition toujours commutative.)
  • Dans un domaine tant addition et la multiplication sont commutative.
  • Le centre est le plus grand sous-ensemble d'un groupe commutatif.
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