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Plan complexe

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Représentation géométrique de z et son conjugué \ Bar {z} dans le plan complexe. La distance le long de la ligne bleu clair de l'origine au point z est le module ou la valeur absolue de z. L'angle φ est l'argument de z.

En mathématiques , ou le plan z complexe Plane est une représentation géométrique des nombres complexes établies par l'axe réel et imaginaire de l'axe orthogonal. Il peut être considéré comme une modification de plan cartésien , avec la partie réelle d'un nombre complexe représenté par un déplacement le long de l'axe x, et la partie imaginaire d'un déplacement le long de l'axe y.

Le plan complexe est parfois appelé le plan Argand car il est utilisé dans les diagrammes d'Argand. Ceux-ci sont nommés d'après Jean-Robert Argand (1768-1822), même se ils ont d'abord été décrits par l'arpenteur-norvégienne danoise et mathématicien Caspar Wessel (1745-1818). Argand diagrammes sont fréquemment utilisés pour tracer les positions de la pôles et zéros d'une fonction dans le plan complexe.

Le concept du plan complexe permet une interprétation géométrique des nombres complexes . Sous outre , ajoutent-ils comme des vecteurs . La multiplication de deux nombres complexes peut se exprimer plus facilement en coordonnées polaires - l'ampleur ou module du produit est le produit des deux valeurs absolues , ou modules, et l'angle ou l'argument du produit est la somme des deux angles, ou des arguments. En particulier, la multiplication par un nombre complexe de module 1 agit comme une rotation.

Conventions de notation

En analyse complexe des nombres complexes sont habituellement représenté par le symbole imaginaires (y) parties, comme ce z, qui peut être séparé de son véritable (x) et:

z = x + iy \,

par exemple: z = 4 + 5 i,

x et y sont des nombres réels et i est l' unité imaginaire . Dans cette notation, ce nombre complexe z correspond au point (x, y) dans le plan cartésien .

Dans le plan cartésien, le point (x, y) peut également être représentée en coordonnées polaires que

(X, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) \ qquad \ left (r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}; \ quad \ theta = \ arctan \ frac {y} {x} \ right). \,

Dans le plan cartésien, on peut supposer que le arctangente prend des valeurs de - π / 2 à π / 2 (en radians ) et un certain soin doit être pris pour définir la fonction arctangente réel pour les points (x, y)x ≤ 0. Dans le plan complexe ces coordonnées polaires prennent la forme

z = x + iy = | z | \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) = | z | e ^ {i \ theta} \,

| Z | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}; \ Quad \ theta = \ arg (z) = -i \ ln \ frac {} {z | z |}. \,

Ici | z | est la valeur absolue ou module du nombre complexe z; θ, l'argument de z, est habituellement pris sur l'intervalle 0 ≤ θ <π 2; l'égalité et le dernier (à | z | e iθ) est tirée La formule d'Euler. Notez que l'argument de z est multi-valeurs, parce que la fonction exponentielle complexe est périodique, de période 2 πi. Ainsi, si θ est une valeur de arg (z), les autres valeurs sont données par arg (z) = θ + 2 nn,n est un nombre entier ≠ 0.

La théorie de la l'intégration contour comprend une grande partie de l'analyse complexe. Dans ce contexte, la direction de Voyage autour d'une courbe fermée est important - inversion de la direction dans laquelle la courbe est traversée multiplie la valeur de l'intégrale par -1. Par convention le sens positif est le sens antihoraire. Par exemple, le cercle unité est traversé dans le sens positif quand nous commençons au point z = 1, puis voyage en haut et à gauche par le point z = i, puis vers le bas et vers la gauche à -1, puis vers le bas et vers la droite à travers - i, et enfin et vers la droite pour z = 1, où nous avons commencé.

Presque tous analyse complexe est préoccupé par fonctions complexes - ce est, avec des fonctions qui mappent un sous-ensemble du plan complexe dans un autre sous-ensemble (éventuellement chevauchement, ou même identiques) du plan complexe. Ici, il est d'usage de parler de la domaine de f (z) comme se trouvant dans la z-Plane, en se référant à la plage ou l'image de f (z) comme un ensemble de points dans l'Plane w. Dans symboles nous écrivons

z = x + iy; \ qquad f (z) = w = u + iv \,

et réfléchir souvent de la fonction f comme une transformation de la z-Plane (avec des coordonnées (x, y)) dans la Plane w (avec des coordonnées (u, v)).

Projection stéréographique

Il peut être utile de penser du plan complexe comme se il occupait la surface d'une sphère. Etant donné une sphère de rayon unité, mettre le plan complexe droite passant par le milieu de celui-ci, de sorte que le centre de la sphère coïncide avec l'origine z = 0 sur le plan complexe, et l'équateur de la sphère coïncide avec le cercle unité dans le plan .

Nous pouvons établir une une-à-une correspondance entre les points sur la surface de la sphère et les points du plan complexe de la manière suivante. Etant donné un point dans le plan, tracer une ligne droite reliant avec le pôle nord de la sphère. Cette ligne traversera la surface de la sphère dans exactement un autre point. Le point z = 0 sera projeté sur le pôle sud de la sphère. Depuis l'intérieur du cercle unité se trouve à l'intérieur de la sphère, toute cette région (| z | <1) sera mappé sur l'hémisphère sud. L'unité cercle lui-même (| z | = 1) sera mappé sur l'équateur, et l'extérieur du cercle unité (| z |> 1) sera mappé sur l'hémisphère nord. Il est clair que cette procédure est réversible - donnée tout point de la surface de la sphère qui ne est pas le pôle nord, nous pouvons tirer une ligne droite reliant ce point au pôle nord et coupant le plan plat dans exactement un point.

En vertu de cette projection stéréographique il ya juste un point le pôle nord lui-même - qui ne est pas associée à ne importe quel point dans le plan complexe. Nous perfectionnons la correspondance un-à-un en ajoutant un point de plus pour le plan complexe - le soi-disant point à l'infini -et l'associant avec le pôle nord de la sphère. Cet espace topologique, le plan complexe, plus le point à l'infini, est connu comme le étendue plan complexe. Et ce est pourquoi les mathématiciens parlent d'un seul "point à l'infini" lors de l'examen analyse complexe. Il ya deux points à l'infini (positif et négatif) sur la ligne de nombre réel, mais il ya un seul point à l'infini (le pôle nord) dans le plan complexe étendu.

Imaginez un instant ce qui va arriver aux lignes de latitude et de longitude lorsqu'ils sont projetés de la sphère sur le plan plat. Les lignes de latitude sont parallèles à l'équateur, afin qu'ils deviennent des cercles parfaits centrés sur l'origine z = 0. Et les lignes de longitude deviendra lignes droites passant par l'origine (et aussi par le "point à l'infini", depuis ils passent à la fois par les pôles nord et sud sur la sphère).

Ce ne est pas la seule possible la situation stéréographique encore plausible de la projection d'une sphère sur un plan constitué par deux ou plusieurs valeurs. Par exemple, le pôle nord de la sphère peut être placé sur le dessus de l'origine z = -1 dans un plan qui est tangent au cercle. Les détails ne importent pas vraiment. Toute projection stéréographique d'une sphère sur un plan produira une "point à l'infini", et il permettra de cartographier les lignes de latitude et de longitude sur la sphère dans les cercles et de lignes droites, respectivement, dans le plan.

Le plan de coupe

Lors de l'examen des fonctions d'une variable complexe, il est souvent commode de penser à une coupe dans le plan complexe. Cette idée se pose naturellement dans plusieurs contextes différents.

Les relations et les points de branchement à valeurs multiples

Considérons la relation simple à deux valeurs

w = f (z) = \ h \ sqrt {z} = ^ z {1/2}. \,

Avant que nous puissions traiter cette relation comme une valeur unique fonction , la gamme de la valeur qui en résulte doit être restreinte en quelque sorte. Lorsque vous traitez avec les racines carrées de nombres réels non négatifs cela se fait facilement. Par exemple, nous pouvons simplement définir

y = g (x) = \ sqrt {x} \ = x ^ {1/2} \,

être le non-négative nombre réel y tel que y 2 = x. Cette idée ne fonctionne pas si bien dans le plan complexe à deux dimensions. Pour comprendre pourquoi, nous devons penser à la façon dont la valeur de f (z) varie comme le point z se déplace autour du cercle unité. Nous pouvons écrire

z = e ^ {i \ theta} \ qquad \ Rightarrow \ qquad w = z ^ {1/2} = e ^ {i \ theta / 2} \ qquad (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi). \ ,

Évidemment, comme z déplace tout le chemin autour du cercle, avec seulement des traces sur une moitié du cercle. Donc un mouvement continu dans le plan complexe a transformé la racine carrée positive e 0 = 1 dans la négative racine carrée e = -1.

Ce problème se pose parce que le point z = 0 a une seule racine carrée, alors que tout autre nombre complexe z ≠ 0 a exactement deux racines carrées. Sur la ligne de nombre réel nous pourrions contourner ce problème en érigeant une «barrière» au seul point x = 0. Un obstacle plus important est nécessaire dans le plan complexe, pour éviter tout contour fermé à partir entourant complètement le point de ramification z = 0. Cela se fait couramment en introduisant une coupure de branche; dans ce cas le "cut" pourrait se étendre à partir du point z = 0 long de l'axe réel positif au point à l'infini, de sorte que l'argument de la variable z dans le plan de coupe est limitée à la gamme 0 ≤ arg (z) < 2 π.

Nous pouvons maintenant donner une description complète de ½ w = z. Pour ce faire nous avons besoin de deux copies de la z-Plane, chacun d'entre eux couper le long de l'axe réel. Sur une copie nous définissons la racine carrée de 1 pour e 0 = 1, et de l'autre nous définissons la racine carrée de 1 à être e = -1. Nous appelons ces deux copies des fiches complètes de plan de coupe. En faisant un argument de continuité, nous voyons que la fonction (maintenant à valeur unique) w = z ½ mappe la première feuille dans la moitié supérieure de la Plane de w, où 0 ≤ arg (w) <π, alors que la cartographie de la seconde feuille en la moitié inférieure de la w-Plane (où π ≤ arg (w) <π 2).

La coupure de branche dans cet exemple n'a pas à se trouver le long de l'axe réel. Il n'a même pas besoin d'être une ligne droite. Toute courbe continue reliant l'origine z = 0 avec le point à l'infini pourrait fonctionner. Dans certains cas, la coupure de branche n'a même pas de passer par le point à l'infini. Par exemple, considérons la relation

w = g (z) = \ left (z ^ 2-1 \ right). ^ {1/2} \,

Ici, le polynôme z 2-1 disparaît lorsque z = ± 1, donc g a évidemment deux points de branchement. Nous pouvons "couper" le plan le long de l'axe réel, -1 à 1, et d'obtenir une feuille sur laquelle g (z) est une fonction à valeur unique. Alternativement, la coupe peut courir à partir de z = 1 le long de l'axe réel positif à travers le point à l'infini, puis continuer "jusqu'à" l'axe réel négatif à l'autre point de ramification, z = -1.

Cette situation est plus facilement visualisés à l'aide de la projection stéréographique décrit ci-dessus . Sur la sphère une de ces coupes se étend longitudinalement à travers l'hémisphère sud, reliant un point sur l'équateur (z = -1) avec un autre point de l'équateur (z = 1), et passant par le pôle sud (l'origine, z = 0) sur le chemin. La deuxième version de la coupe court longitudinalement à travers l'hémisphère nord et relie les deux mêmes points équatoriales en passant par le pôle nord (ce est le point à l'infini).

Restreindre le domaine des fonctions méromorphes

Un fonction méromorphe est une fonction complexe qui est holomorphe et donc analytique partout dans son domaine, sauf à un ensemble fini, ou infini dénombrable, nombre de points. Les points sur lesquels une telle fonction ne peut être définie sont appelés pôles de la fonction méromorphe. Parfois, tous ces pôles se situent dans une ligne droite. Dans ce cas, les mathématiciens peuvent dire que la fonction est "holomorphe sur le plan de coupe". Voici un exemple simple.

Le fonction gamma, défini par

\ Gamma (z) = \ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z} \ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ left [\ left (1+ \ frac {z} {n} \ right) ^ {- 1} e {^ z / n} \ right] \,

γ est le Euler-Mascheroni constante et a des pôles simples à 0, -1, -2, -3, ... parce exactement un dénominateur de la produit infini disparaît lorsque z est zéro ou un entier négatif. Depuis tous ses pôles sont situés sur l'axe réel négatif, de z = 0 au point à l'infini, cette fonction pourrait être décrit comme

"Holomorphe sur le plan de coupe, la coupe se étendant le long de l'axe réel négatif, de 0 (inclus) au point à l'infini."

En variante, Γ (z) peut être décrit comme

"Holomorphe dans le plan de coupe avec - π <arg (z) <π et en excluant le point z = 0."

Notez que cette coupe est légèrement différente de la branche coupée nous avons déjà rencontré, car il exclut effectivement l'axe réel négatif du plan de coupe. La coupure de branche gauche de l'axe réel rapport avec le plan de coupe sur un côté (0 ≤ θ), mais coupé à partir du plan de coupe le long de l'autre côté (θ <π 2).

Bien sûr, ce ne est pas vraiment nécessaire d'exclure le segment entier de la ligne à partir de z = 0 à -∞ de construire un domaine dans lequel Γ (z) est holomorphe. Tout ce que nous devons vraiment faire, ce est la perforation de l'avion à un ensemble infini dénombrable de points {0, -1, -2, -3, ...}. Mais un contour fermé dans le plan perforé peut entourer une ou plusieurs des pôles de Γ (z), ce qui donne un intégrale de contour qui ne est pas nécessairement nul, par le théorème de résidus. En coupant le plan complexe nous nous assurons non seulement que Γ (z) est holomorphe dans ce domaine restreint - nous nous assurons également que le contour intégrante de Γ sur toute courbe fermée située dans le plan de coupe est identiquement égal à zéro. Et cela peut être important dans certains des arguments mathématiques.

Spécification régions de convergence

De nombreuses fonctions complexes sont définis par série infinie, ou en fractions continues. Une considération fondamentale dans l'analyse de ces expressions infiniment longue est d'identifier la partie du plan complexe dans lequel elles convergent vers une valeur finie. Une coupe dans le plan peut faciliter ce processus, comme les exemples suivants montrent.

Considérons la fonction définie par la série infinie

f (z) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ gauche (z ^ 2 + n \ right) ^ {- 2}. \,

Depuis z = 2 (- z) 2 pour chaque nombre complexe z, il est clair que f (z) est une même fonction de z, de sorte que l'analyse peut être limité à une moitié du plan complexe. Et depuis que la série ne est pas définie lorsque

z ^ 2 + n = 0 \ quad \ leftrightarrow \ quad z = \ h i \ sqrt {n}, \,

il est logique de couper le plan le long de la totalité de l'axe imaginaire et établir la convergence de cette série où la partie réelle de z ne est pas nul avant d'entreprendre la tâche plus ardue d'examiner f (z) lorsque z est un nombre imaginaire pur.

Dans cet exemple, la coupe est une simple commodité, parce que les points sur lesquels la somme infinie ne est pas définie sont isolés, et le plan de coupe peut être remplacé par un plan convenablement perforé. Dans certains contextes, la coupe est nécessaire, et pas seulement pratique. Envisager l'infini fraction continue périodique

f (z) = 1 + \ {cfrac z} {1 + \ {cfrac z} {1 + \ {cfrac z} {1 + \ {cfrac z} {\ ddots}}}}. \,

Il peut être démontré que f (z) converge vers une valeur finie si et seulement si z est pas un nombre réel négatif tels que z <-¼. En d'autres termes, la zone de convergence pour cette fraction continue est le plan de coupe, où la coupe se étend le long de l'axe réel négatif, de -¼ au point à l'infini.

Collage le plan de coupe de retour ensemble

Nous avons déjà vu comment la relation

w = f (z) = \ h \ sqrt {} z = z ^ {1/2} \,

peut être transformé en une fonction à valeur unique en divisant le domaine de f en deux feuilles déconnectés. Il est également possible pour "coller" ces deux feuilles de retour ensemble pour former une surface de Riemann unique sur lequel f (z) = z 1/2 peut être défini comme une fonction holomorphe dont l'image est l'ensemble w-Plane (sauf pour le point w = 0). Voici comment cela fonctionne.

Imaginez deux copies du plan complexe couper, les coupes se étendant le long de l'axe réel positif de z = 0 au point à l'infini. Sur une feuille de définir 0 ≤ arg (z) <π 2, de sorte que 1 1/2 = e 0 = 1, par définition. Sur la seconde feuille définir π ≤ 2 arg (z) <4 π, de sorte que 1 1/2 = e = -1, encore une fois, par définition. Maintenant retourner la seconde feuille à l'envers, de sorte que les points d'axe imaginaire dans la direction opposée de l'axe imaginaire sur la première feuille, avec les deux axes réels pointant dans la même direction, et "colle" les deux feuilles ensemble (de sorte que le bord sur la première feuille marquée = 0" est reliée au bord étiqueté "θ <π 4" sur la deuxième feuille, et le bord de la seconde feuille marquée = π 2" est reliée au bord étiqueté <2 π "sur la première feuille). Le résultat est le domaine de surface de Riemann sur lequel f (z) = z moitié est à valeur unique et holomorphe (sauf lorsque z = 0).

Pour comprendre pourquoi f est à valeur unique dans ce domaine, imaginer un circuit autour du cercle unité, en commençant par z = 1 sur la première feuille. Lorsque 0 θ 2 nous sommes toujours sur la première feuille. Lorsque θ = 2 π nous avons traversé sur la deuxième feuille, et nous sommes obligés de faire un deuxième circuit complet autour du point de ramification z = 0 avant de revenir à notre point de départ, où θ = 4 π est équivalent à θ = 0, parce de la façon dont nous collé les deux feuilles ensemble. En d'autres termes, que la variable z fait deux tours complets autour du point de branche, l'image de z dans le w-Plane retrace juste un cercle complet.

La différenciation formelle montre que

f (z) = z ^ {1/2} \ quad \ Rightarrow \ quad f ^ \ prime (z) = {\ textstyle \ frac {1} {2}} z ^ {- 1/2} \,

à partir de laquelle on peut conclure que la dérivée de f existe et est finie partout sur la surface de Riemann, sauf lorsque z = 0 (ce est-f est holomorphe, sauf lorsque z = 0).

Comment peut surface de Riemann de la fonction

w = g (z) = \ left (z ^ 2-1 \ right) ^ {1/2}, \,

également discuté ci-dessus , être construit? Une fois de plus nous commençons avec deux copies de la z-Plane, mais cette fois chacun est coupé le long du segment de droite réelle se étendant de z = -1 à z = 1 - ce sont les deux points de g (z) de la branche. Nous renversons un de ces tête en bas, de sorte que les deux axes imaginaires signalons dans des directions opposées, et coller les bords correspondants des deux feuilles coupées ensemble. Nous pouvons vérifier que g est une fonction à valeur unique sur cette surface en traçant un circuit autour d'un cercle de rayon unité centré à z = 1. Commençant au point z = 2 sur la première feuille mi-chemin nous nous tournons autour du cercle avant de rencontrer le couper en z = 0. Les forces de coupe-nous sur la deuxième feuille, de sorte que lorsque z a tracé un tour complet autour du point de branche z = 1, w a pris juste une moitié d'un tour complet, le signe de w a été inversée (depuis e = -1), et notre chemin nous a pris au point z = 2 sur la deuxième feuille de la surface. Poursuivant à travers un demi-tour, nous rencontrons l'autre côté de la coupe, où z = 0, et enfin atteindre notre point de départ (z = 2 sur la première feuille) après avoir fait deux tours complets autour du point de branche.

La façon naturelle d'étiqueter θ = arg (z) dans cet exemple est de mettre - π <θπ sur la première feuille, avec π <π θ ≤ 3 sur la seconde. Les axes imaginaires sur les deux feuilles pointent dans des directions opposées de sorte que le sens de rotation anti-horaire positif est conservée comme un contour fermé se déplace d'une feuille à l'autre (se rappeler, la seconde feuille est à l'envers). Imaginons cette surface noyée dans un espace à trois dimensions, avec les deux feuilles parallèles à la Plane xy. Ensuite, il semble y avoir un trou vertical dans la surface, où les deux découpes sont assemblées. Que faire si la coupe est faite à partir de z = -1 long de l'axe réel au point à l'infini, et à partir de z = 1, l'axe réel jusqu'à ce que la coupe se retrouve? . Encore une fois une surface de Riemann peut être construite, mais cette fois le «trou» est horizontale topologiquement parlant , les deux versions de cette surface de Riemann sont équivalentes - ils sont surfaces bidimensionnelles de orientables une genre.

Utilisation du plan complexe dans la théorie du contrôle

En théorie du contrôle , une utilisation du plan complexe est connu comme le 's-plan. Il est utilisé pour visualiser les racines de l'équation décrivant le comportement d'un système (le équation caractéristique) graphiquement. L'équation est normalement exprimée par un polynôme dans le paramètre "s" de la Transformée de Laplace, d'où le 's' nom avion.

Une autre utilisation correspondant du plan complexe est avec le Critère de stabilité de Nyquist. Ce est un principe géométrique qui permet la stabilité d'un système de commande à déterminer par une inspection Nyquist parcelle de sa réponse en fréquence de phase (ou fonction de transfert) dans le plan complexe.

Le "plan z 'est une version en temps discret de la s-plan, où z transformées sont utilisées au lieu de la transformation de Laplace.

Autres significations de "plan complexe"

Les sections précédentes de cet article traitent avec le plan complexe que l'analogue géométrique des nombres complexes. Bien que cette utilisation du terme "plan complexe" a une histoire longue et riche mathématiquement, il ne est nullement le seul concept mathématique qui peut être caractérisé comme «le plan complexe". Il existe au moins trois possibilités supplémentaires.

  1. 1 + 1 dimensions L'espace de Minkowski, également connu sous le plan de séparation du complexe, est un "plan complexe" dans le sens où la algébrique numéros de dédoublé complexe peuvent être séparés en deux composantes réelles qui sont facilement associés au point (x, y) dans le plan cartésien.
  2. L'ensemble des deux numéros sur les réels peuvent également être placés en correspondance un-à-un avec les points (x, y) du plan cartésien, et représentent un autre exemple d'un «plan complexe".
  3. L'espace vectoriel C × C, le Produit cartésien des nombres complexes avec eux-mêmes, est aussi un "plan complexe" dans le sens où il se agit d'un espace vectoriel à deux dimensions dont les coordonnées sont des nombres complexes.
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