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Section conique

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Types de sections coniques
Tableau de coniques, Cyclopaedia, 1728

En mathématiques , une section conique (ou simplement conique) est une courbe qui peut être formé par une intersection cône (plus précisément, une circulaire droite surface conique) avec un plan . Les sections coniques ont été nommés et étudiés il ya aussi longtemps que 200 avant JC, lorsque Apollonius de Perge a entrepris une étude systématique de leurs propriétés.

Types de coniques

Les cinq types de coniques sont le cercle , hyperbole, ellipse , parabole, hyperbole et rectangulaire. Le cercle et la ellipse se posent lorsque l'intersection du cône et plan est une courbe fermée . Le cercle est un cas particulier de l'ellipse dans le plan qui est perpendiculaire à l'axe du cône. Si l'avion est parallèle à une génératrice du cône, la conique est appelé une parabole. Enfin, si l'intersection est une courbe ouverte et le plan ne est pas parallèle aux lignes génératrices du cône, la figure est une hyperbole. (Dans ce cas, l'avion va croiser les deux moitiés du cône, produisant deux courbes séparées, bien que souvent on est ignoré.)

Cas dégénérés

Il existe plusieurs cas dégénérés, dans lequel le plan passe à travers le apex du cône. L'intersection de ces cas peut être une ligne droite (lorsque le plan tangent à la surface du cône); une Point (lorsque l'angle entre le plan et l'axe du cône est plus grand que ce); ou une paire de lignes qui se coupent (lorsque l'angle est petit). Il existe également un dégénéré où le cône est un cylindre (le sommet est à l'infini) qui peut produire deux lignes parallèles.

Excentricité

Ellipse (e = 1/2), la parabole (e = 1) et hyperbole (e = 2) avec mise au point fixe F et directrice.

Les quatre conditions ci-dessus peuvent être déterminantes combinés dans une condition qui dépend d'un point fixe F (le focus), une ligne L (la directrice) ne contenant pas de F et un nombre réel positif e (la excentricité). La section conique correspondant se compose de tous les points dont la distance est égale à F e fois leur distance L. Pour 0 <e <1, on obtient une ellipse, pour e = 1 une parabole, et e> 1 une hyperbole.

Pour une ellipse et une hyperbole, deux combinaisons accent-directrice peuvent être prises, en donnant à chacun la même ellipse ou hyperbole complète. La distance entre le centre de la directrice est un / eun \ est le demi-grand axe de l'ellipse, ou la distance du centre au sommet de l'hyperbole. La distance entre le centre de l'accent est ae \ .

Dans le cas d'un cercle, l'excentricité e = 0, et on peut imaginer la directrice infiniment éloigné du centre. Cependant, la déclaration que le cercle se compose de tous les points dont la distance est e fois la distance à L ne est pas utile, parce que nous obtenons zéro fois infini.

L'excentricité d'une section conique est donc une mesure de la façon dont elle se écarte de la mesure étant circulaire.

Pour une donnée un \ , Le plus proche e \ est proche de 1, plus petit est le demi-petit axe.

Les coordonnées cartésiennes

Dans le système de coordonnées cartésiennes , la graphique d'une équation du second degré à deux variables est toujours une section conique, et toutes les sections coniques se pose de cette manière. L'équation sera de la forme

Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 \; avec A \ , B \ , C \ pas tous nuls.

alors:

  • si B ^ 2 - 4AC <0 \ , L'équation représente une ellipse (à moins que la conique est dégénéré, par exemple x ^ 2 + y ^ 2 + 10 = 0 \ );
    • si A = C \ et B = 0 \ , L'équation représente un cercle ;
  • si B ^ 2 - 4AC = 0 \ , L'équation représente une parabole;
  • si B ^ 2 - 4AC> 0 \ , L'équation représente une hyperbole;
    • si nous avons aussi A + C = 0 \ , L'équation représente une hyperbole rectangulaire.

Notez que A et B ne sont que les coefficients de polynôme, pas les longueurs de demi-grand axe / mineure telles que définies dans les sections précédentes.

Grâce changement de coordonnées de ces équations peuvent être mises en formes standards:

  • Cercle: x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \,
  • Ellipse: {X ^ 2 \ sur une ^ 2} {+ y ^ 2 \ over b ^ 2} = 1 \ , {X ^ 2 \ over b ^ 2} {+ y ^ 2 \ sur une ^ 2} = 1 \
  • Parabola: y ^ 2 = 4AX \, \
  • Hyperbole: {X ^ 2 \ sur une ^ 2} - {y ^ 2 \ over b ^ 2} = 1 \ , {X ^ 2 \ sur une ^ 2} - {y ^ 2 \ over b ^ 2} = - 1 \
  • Rectangulaire Hyperbole: xy = c ^ 2 \

Ces formulaires seront symétrique autour de l'axe des x et pour le cercle, ellipse et hyperbole symétrique autour de l'axe des y.
L'hyperbole rectangulaire ne est toutefois symétrique sur les lignes y = x \ et y = -x \ . Par conséquent, sa fonction inverse est exactement la même que sa fonction d'origine.

Ces formulaires standard peuvent être écrites comme équations paramétriques,

  • Cercle: (A \ cos \ theta, un \ sin \ theta) \, ,
  • Ellipse: (A \ cos \ theta, b \ sin \ theta) \, ,
  • Parabola: (Un t ^ 2,2 t) \, ,
  • Hyperbole: (Un \ s \ theta, b \ tan \ theta) \, ou (\ H une \ cosh u, b \ sinh u) \, .
  • Rectangulaire Hyperbole: (Ct, {c \ over t}) \,

Coordonnées homogènes

En homogène coordonne une section conique peut être représenté par:

A_1x ^ 2 + A_2y ^ 2 + A_3z ^ 2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0.

Ou dans la matrice de notation

\ Begin {} bmatrix x & y & z \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix A_1 & B_1 & B_2 \\ B_1 & A_2 & B_3 \\ B_2 & B_3 & A_3 \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix x \\ y \\ z \ end {} bmatrix = 0.

La matrice M = \ begin {} bmatrix A_1 & B_1 & B_2 \\ B_1 & A_2 & B_3 \\ B_2 & B_3 & A_3 \ end {} bmatrix que l'on appelle la matrice de la section conique.

\ Delta = \ det (M) = \ det \ gauche (\ begin {} bmatrix A_1 & B_1 & B_2 \\ B_1 & A_2 & B_3 \\ B_2 & B_3 & A_3 \ end {bmatrix} \ droite) est appelé le facteur déterminant de la section conique. Si Δ = 0 alors la section conique est dit être dégénéré, cela signifie que la section conique est en fait une union de deux lignes droites. Une section conique qui se croise est toujours dégénéré, mais pas tous dégénèrent sections coniques se croisent, se ils ne le font pas, ils sont des lignes droites.

Par exemple, la section conique \ Begin {} bmatrix x & y & z \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix 1 & 0 & 0 0 \\ & -1 et 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix x \\ y \\ z \ end {} = 0 bmatrix réduit à l'union de deux lignes:

\ {X ^ 2 - y ^ 2 = 0 \} = \ {(x + y) (xy) = 0 \} = \ {x + y = 0 \} \ cup \ {xy = 0 \} .

De même, une section conique réduit parfois à un (unique) ligne:

\ {X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = 0 \} = \ {(x + y) ^ 2 = 0 \} = \ {x + y = 0 \} \ cup \ {x + y = 0 \} = \ {x + y = 0 \} .

\ Delta = \ det \ gauche (\ begin {} bmatrix A_1 & B_1 \\ B_1 & A_2 \ end {bmatrix} \ droite) est appelé le discriminant de la section conique. Si δ = 0 alors la section conique est une parabole, si δ <0, ce est un hyperbole et si δ> 0, ce est une ellipse . Une section conique est un cercle si δ> 0 et A 1 = A 2, ce est un hyperbole rectangulaire si δ <0 et A = 1 -A 2. Il peut être prouvé que dans le plan projectif complexe CP 2 deux sections coniques ont quatre points en commun (si on tient compte des multiplicité), donc il n'y a jamais plus de 4 points d'intersection et il ya toujours 1 point d'intersection (possibilités: quatre points distincts d'intersection, deux points d'intersection singuliers et 1 points d'intersection doubles, deux points d'intersection doubles, une singulière point d'intersection et une de multiplicité 3, 1 point de multiplicité 4 d'intersection). Se il existe au moins un point de multiplicité> une intersection, puis les deux sections coniques sont dits tangente . Se il n'y a qu'un seul point d'intersection, ce qui a multiplicité 4, les deux sections coniques sont dits être osculateur.

En outre, chaque ligne droite coupe deux fois par section conique. Si le point d'intersection est double, la ligne est dit être la tangente et elle est appelée la tangente . Parce que chaque ligne droite croise une section conique à deux reprises, chaque section conique a deux points infini (les points d'intersection avec le droite à l'infini). Si ces points sont réels, la section conique doit être un hyperbole, se ils sont imaginaires conjugués, la section conique doit être une ellipse , si la section conique a un point à double à l'infini ce est un parabole. Si les points à l'infini sont (1, i, 0) et (1, -i 0), la section conique est un cercle . Si une section conique a un réel et un point imaginaire à l'infini ou il a deux points imaginaires qui ne sont pas conjuguées il ne est ni une parabole, ni une ellipse ni une hyperbole.

Les coordonnées polaires

En coordonnées polaires , une section conique avec une mise au point à l'origine et, le cas échéant, l'autre sur l'axe des x est donnée par l'équation

r = {l \ over {1 + e \ cos \ theta}} ,

e \, est l'excentricité et l \, est le rectum semi-latus (voir ci-dessous).

Comme ci-dessus,

pour e \, = 0 , Nous avons un cercle,
pour 0 <e \, <1 on obtient une ellipse,
pour e \, = 1 une parabole,
et pour e \,> 1 une hyperbole.

Paramètres

Différents paramètres peuvent être associés à une section conique.

section conique équation excentricité (e) excentricité linéaire (c) demi-latus rectum (l) focal paramètre (p)
cercle x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 \,00r \,\ Infty
ellipse \ Frac {x ^ 2} {a} ^ 2 + \ frac {y ^ 2} {b} ^ 2 = 1\ Frac {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} {a}\ Sqrt {a ^ 2-b ^ 2}\ Frac {b ^ 2} {a}\ Frac {b ^ 2} {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}}
parabole y ^ 2 = 4AX \,1une2a \,2a
hyperbole \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b} ^ 2 = 1\ Frac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {a}\ Sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}\ Frac {b ^ 2} {a}\ Frac {b ^ 2} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
paramètres coniques dans le cas d'une ellipse

Pour chaque section conique, il existe un point fixe F, une ligne fixe L et un nombre non négatif e telle que la section conique se compose de tous les points dont la distance est égale à F e fois leur distance par rapport à L. e est appelé l'excentricité de la section conique.

Le linéaire excentricité (c) est la distance entre le centre et la mise au point (ou l'un des deux foyers).

Le latus rectum (2l) est la corde parallèle à la directrice et passant par le foyer (ou l'un des deux foyers).

Le rectum de semi-latus (l) est la moitié du latus rectum.

Le paramètre focal (P) est la distance de mise au point à partir de la (ou l'un des deux foyers) de la directrice.


La relation p = l / e détient.

Propriétés

Sections coniques sont toujours "en douceur". Plus précisément, ils ne contiennent jamais les points d'inflexion. Ce est important pour de nombreuses applications, tels que l'aérodynamique, où une surface lisse est nécessaire pour assurer écoulement laminaire et à éviter turbulence.

Applications

Sections coniques sont importants dans l'astronomie : la orbites des deux objets massifs qui interagissent selon la loi de Newton de la gravitation universelle sont les sections coniques si leur commune centre de masse est considéré comme au repos. Se ils sont liés entre eux, ils seront tous deux tracer des ellipses; se ils se écartent, ils seront tous deux suivre paraboles ou des hyperboles. Voir problème à deux corps.

En la géométrie projective, les sections coniques dans le plan projectif sont équivalents les uns aux autres jusqu'à transformations projectives.

Pour des applications spécifiques de chaque type de section conique, voir les articles cercle , ellipse , parabole, et hyperbole.

Intersection de deux coniques

Les solutions à un système à deux équations du second degré à deux variables peuvent être considérées comme les coordonnées des intersections de deux sections coniques génériques. En particulier deux coniques peuvent posséder aucune, deux, quatre points d'intersection éventuellement coïncidents. La meilleure méthode pour localiser ces solutions est de exploite l'homogène représentation matricielle des sections coniques, ce est à dire un 3x3 matrice symétrique qui dépend de six paramètres.

La procédure pour localiser les points d'intersection se déroule comme suit:

  • étant donné les deux coniques C_1 et C_2 considérer le faisceau de coniques donnée par leur combinaison linéaire \ Lambda C_1 + \ mu C_2
  • identifier les paramètres homogènes (\ Lambda, \ mu) ce qui correspond à la conique dégénérée du crayon. Cela peut être fait en imposant que det (\ lambda C_1 + \ mu C_2) = 0 , Ce qui se avère être la solution d'une équation du troisième degré.
  • compte tenu du cône dégénéré C_0 , Identifier les deux, peut-être en coïncidence, les lignes constituant ce
  • chaque intersection ligne identifiée par l'un des deux conique originale; cette étape peut être fait efficacement en utilisant la double représentation de conique C_0
  • les points d'intersection se représenter la solution du système d'équations initial

Théorème de Dandelin

Voir Théorème de Dandelin pour un argument élémentaire courte montrant que la caractérisation de ces courbes que intersections d'un avion avec un cône est équivalent à la caractérisation en termes de foyers ou d'une orientation et une directrice.

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