Equation différentielle

Une équation différentielle est un mathématique équation pour une inconnue fonction d'un ou plusieurs variables qui rapporte les valeurs de la fonction elle-même et de ses dérivés de divers ordres. Équations différentielles jouent un rôle de premier plan dans l'ingénierie , la physique , l'économie et d'autres disciplines.

Visualisation des flux d'air dans un conduit modélisé en utilisant les équations de Navier-Stokes , un ensemble d'équations aux dérivées partielles.

Introduction

équations différentielles se posent dans de nombreux domaines de la science et de la technologie; chaque fois qu'un relation déterministe impliquant certaines quantités évolution constante (modélisées par des fonctions) et leurs taux de variation (exprimé en dérivés) est connu ou postulé. Ce est bien illustré par la mécanique classique , où le mouvement d'un corps est décrit par sa position et la vitesse comme varie. moment les lois de Newton permettent de relier la position, la vitesse, l'accélération et différentes forces agissant sur le corps et l'état de cette relation comme une équation différentielle de la position inconnue du corps en fonction du temps. Dans de nombreux cas, cette équation différentielle peut être résolu explicitement, ce qui donne la loi du mouvement.

équations différentielles sont mathématiquement étudiés à partir de plusieurs points de vue différents, principalement concernés avec leurs solutions, les fonctions qui rendent l'équation vrai. Seuls les équations différentielles admettent des solutions les plus simples données par des formules explicites. Beaucoup de propriétés des solutions d'une équation différentielle donnée peuvent être déterminées sans trouver leur forme exacte. Si une formule autonome pour la solution ne est pas disponible, la solution peut être numériquement estimés à l'aide d'ordinateurs. La théorie de la systèmes dynamiques met l'accent sur l'analyse qualitative des systèmes décrits par des équations différentielles, alors que beaucoup méthodes numériques ont été développées pour déterminer les solutions avec un degré de précision donné.

Indications d'études

L'étude des équations différentielles est un vaste champ dans pure, les mathématiques appliquées , la physique et l'ingénierie . Toutes ces disciplines sont concernées par les propriétés des équations différentielles de divers types. Mathématiques pures se concentre sur l'existence et l'unicité de solutions, tout en mathématiques appliquées souligne la justification rigoureuse des méthodes de rapprochement des solutions. équations différentielles jouent un rôle important dans pratiquement tous les processus de modélisation physique, technique, ou biologique, du mouvement céleste conception de la passerelle, aux interactions entre les neurones. équations différentielles tels que ceux utilisés pour résoudre les problèmes de la vie réelle ne sont pas nécessairement directement solvable, ce est à dire ne ont pas solutions de forme fermée. Au lieu de cela, les solutions peuvent être estimés à l'aide méthodes numériques.

Mathématiciens étude a également solutions faibles (en se appuyant sur dérivés faibles), qui sont des types de solutions qui ne ont pas à être différentiables partout. Cette extension est souvent nécessaire pour des solutions d'exister, et il entraîne également physiquement plus raisonnables propriétés de solutions, telles que la présence possible de chocs pour les équations de Type hyperbolique.

L'étude de la stabilité des solutions d'équations différentielles est connue comme théorie de la stabilité.

Types d'équations différentielles

• Une équation différentielle ordinaire (ODE) est une équation différentielle, dans lequel la fonction inconnue est une fonction d'une seule variable indépendante.
• Une équation différentielle partielle (PDE) est une équation différentielle dans lequel la fonction est une fonction inconnue de plusieurs variables indépendantes et leur dérivées partielles.
• Un équation différentielle retard (DDE) est une équation différentielle, dans lequel la dérivée de la fonction inconnue à un moment donné est donnée en fonction des valeurs de la fonction à des moments précédents.
• Un équation différentielle stochastique (SDE) est une équation différentielle dans laquelle un ou plusieurs des termes est un processus stochastique, conduisant ainsi à une solution qui est lui-même un processus stochastique.
• Un équation algébrique différentielle (DAE) est une équation différentielle comprenant différentiel et termes algébriques, donnée sous forme implicite.

Chacune de ces catégories est divisée en sous-catégories linéaires et non linéaires. Une équation différentielle est linéaire si la variable dépendante et tous ses dérivés apparaissent à la puissance 1 et il n'y a pas de produits ou fonctions de la variable dépendante. Autrement, l'équation différentielle est non linéaire. Ainsi, si représente la première dérivée de la fonction , Alors l'équation

est linéaire, tandis que l'équation

est non linéaire. Les solutions d'une équation linéaire, dans lequel la fonction est inconnue ou de son dérivé ou de dérivés apparaissent dans chaque terme (équations homogènes linéaires) peuvent être ajoutés ensemble ou multipliés par une constante arbitraire, afin d'obtenir des solutions supplémentaires de cette équation, mais il n'y a pas de manière générale pour obtenir familles de solutions d'équations non linéaires, sauf quand ils présentent des symétries; voir symétries et invariants. Équations linéaires apparaissent fréquemment comme des approximations à des équations non linéaires, et ces approximations ne sont valables que dans des conditions restreintes.

Une autre caractéristique importante d'une équation différentielle est son ordre, qui est l'ordre de la plus grande dérivée (d'une variable dépendante) apparaissant dans l'équation. Par exemple, une équation différentielle du premier ordre ne contient que des dérivées premières, comme les deux exemples ci-dessus.

Connexion à des équations différentielles

La théorie des équations différentielles est étroitement liée à la théorie de la équations aux différences, dans lequel les coordonnées assument seules valeurs discrètes, et la relation implique des valeurs de la fonction inconnue ou fonctions et valeurs aux coordonnées proximité. De nombreuses méthodes pour calculer des solutions numériques d'équations différentielles ou d'étudier les propriétés des équations différentielles impliquent approximation de la solution d'une équation différentielle par la solution d'une équation de différence correspondante. Voir aussi: Temps de calcul à grande échelle.

Universalité de description mathématique

Un grand nombre de lois fondamentales de la physique et de la chimie peut être formulé sous forme d'équations différentielles. En biologie et l'économie équations différentielles sont utilisés pour modéliser le comportement de systèmes complexes. La théorie mathématique des équations différentielles du premier développé en collaboration avec les sciences où les équations étaient originaires et où les résultats trouvés application. Cependant, divers problèmes, provenant parfois dans des domaines scientifiques bien distinctes, peuvent donner lieu à des équations différentielles identiques. Lorsque cela se produit, théorie mathématique derrière les équations peut être considérée comme un principe unificateur derrière divers phénomènes. A titre d'exemple, envisager de propagation de la lumière et du son dans l'atmosphère, et des vagues à la surface d'un étang. Chacun d'entre eux peut être décrit par la même seconde afin équation aux dérivées partielles , le équation d'onde, ce qui nous permet de penser de la lumière et le son comme formes de vagues, un peu comme des vagues familiers dans l'eau. Conduction de la chaleur, dont la théorie a été brillamment développé par Joseph Fourier, est régie par une autre équation aux dérivées partielles du second ordre, le équation de la chaleur. Il se est avéré que beaucoup des processus de diffusion, en apparence différente, sont décrits par la même équation; Équation de Black-Scholes en finance est, par exemple, liée à l'équation de la chaleur.

Équations différentielles célèbres