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Distance

Sujets connexes: Mathématiques

Renseignements généraux

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La distance est une description numérique de quelle distance les objets sont. Dans la physique ou de la discussion de tous les jours, la distance peut se référer à une longueur physique, une période de temps, ou une estimation basée sur d'autres critères (par exemple, "deux comtés plus"). En mathématiques , la distance doit répondre à des critères plus rigoureux.

Dans la plupart des cas, il existe une symétrie et «distance de A à B" est interchangeable avec "la distance entre B et A".

Mathématiques

Géométrie

En géométrie neutre, la distance minimale entre deux points est la longueur du segment de droite entre eux.

Dans la géométrie analytique , la distance entre deux points du plan xy peuvent être trouvées en utilisant la formule de distance. La distance entre (x 1, y 1) et (x 2, y 2) est donnée par

d = \ sqrt {(\ Delta x) ^ 2 + (\ Delta y) ^ 2} = \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (Y_2-y_1) ^ 2}. \,

Le secteur même, donnés (x 1, y 1, z 1) et (x 2, y 2, z 2) dans l'espace tridimensionnel , la distance entre eux est

d = \ sqrt {(\ Delta x) ^ 2 + (\ Delta y) ^ 2 + (\ Delta z) ^ 2} = \ sqrt {(x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-Y_2) ^ 2 + ( z_1-Z_2) ^ 2}.

Qui est facilement prouvé par la construction d'un triangle rectangle avec une jambe sur le hypoténuse d'un autre (avec l'autre jambe orthogonal au plan contenant le premier triangle) et en appliquant le théorème de Pythagore .

Dans l'étude de géométries complexes, nous appelons ce type (le plus courant) de la distance Distance euclidienne, comme il est dérivé du théorème de Pythagore , qui ne tient pas en Géométries non-euclidiennes. Cette distance formule peut également être étendu dans le formule longueur d'arc.

Distance dans l'espace euclidien

Dans l' espace euclidien R n, la distance entre deux points est généralement donné par la Distance euclidienne (à distance 2-norme). Autres distances, fondées sur d'autres normes, sont parfois utilisés à la place.

Pour un point (x 1, x 2, ..., x n) et un point (y 1, y 2, ..., y n), la distance de Minkowski d'ordre p (distance p-norme) est définie comme :

La distance norme 1 = \ Sum_ {i = 1} ^ n \ left | x_i - y_i \ right |
La distance norme 2 = \ Left (\ sum_ {i = 1} ^ n \ left | x_i - y_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {1/2}
p -norme la distance = \ Left (\ sum_ {i = 1} ^ n \ left | x_i - y_i \ right | ^ p \ right) ^ {1 / p}
norme infinie la distance = \ Lim_ {p \ to \ infty} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n \ left | x_i - y_i \ right | ^ p \ right) ^ {1 / p}
= \ Max \ gauche (| x_1 - y_1 |, | x_2 - Y_2 |, \ ldots, | x_n - y_n | \ right).

p ne est pas nécessairement un nombre entier, mais il ne peut pas être inférieur à 1, car sinon le inégalité triangulaire ne tient pas.

La distance 2-norme est la Distance euclidienne, une généralisation du théorème de Pythagore à plus de deux coordonne. Ce est ce que l'on obtiendrait si la distance entre deux points ont été mesurés avec un règle: l'idée «intuitive» de la distance.

La distance norme 1 est plus imagée appelé la norme de taxi ou Distance de Manhattan, parce que ce est la distance d'une voiture serait conduire dans une ville aménagé dans des blocs carrés (se il n'y a pas de rues à sens unique).

La distance de l'infini norme est aussi appelé La distance Chebyshev. En 2D représente la distance rois doivent voyager entre deux carrés sur un échiquier.

Le p -norme est rarement utilisé pour des valeurs de p autres que 1, 2, et l'infini, mais voir super-ellipse.

Dans l'espace physique de la distance euclidienne est d'une manière la plus naturelle, car dans ce cas la longueur d'un corps rigide ne change pas avec rotation.

Cas général

En mathématiques , en particulier la géométrie , une fonction de distance sur une donnée M est défini une fonction d: M × M → R, où R est l'ensemble des nombres réels , qui satisfait aux conditions suivantes:

  • d (x, y) ≥ 0, et d (x, y) = 0 si et seulement si x = y. (Distance est positive entre deux points différents, et est nul précisément d'un point à lui-même.)
  • C'est symétrique: d (x, y) = d (y, x). (La distance entre x et y est la même dans les deux sens).
  • Il répond à la triangle inégalité: d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z). (La distance entre deux points est la plus courte distance le long d'une voie).

Une telle fonction de la distance est connue en tant que métrique. Avec l'ensemble, il fait un espace métrique.

Par exemple, la définition usuelle de la distance entre deux nombres réels x et y est: d (x, y) = | x - y |. Cette définition satisfait aux trois conditions ci-dessus, et correspond à la norme topologie du ligne réelle. Mais la distance sur un ensemble donné est un choix de définition. Un autre choix possible consiste à définir: d (x, y) = 0 si x = y, et 1 sinon. Ce définit également une métrique, mais donne une topologie complètement différent, le " topologie discrète ", avec ce nombre de définition ne peut être arbitrairement proche.

Les distances entre les ensembles et entre un point et un ensemble

d (A, B)> d (A, C) + d (C, B)

Diverses définitions de distance sont possibles entre les objets. Par exemple, entre les corps célestes ne faut pas confondre la distance surface-surface et la distance de centre à centre. Dans le premier cas est très inférieure à celle-ci, comme pour un LEO, la première tend à être cité (altitude), sinon, par exemple pour la distance Terre-Lune, ce dernier.

Il ya deux définitions communes pour la distance entre deux non vides sous-ensembles d'un ensemble donné:

  • Une version de la distance entre deux ensembles non vides est le infimum des distances entre deux de leurs points respectifs, ce qui est la signification de tous les jours de la parole. Ce est un symétrique prametric. Sur une collection d'ensembles dont certains tactile ou se chevauchent, il ne est pas "séparation", parce que la distance entre deux ensembles différents mais touchant ou se chevauchant est zéro. En outre, il ne est pas hemimetric, à savoir la inégalité triangulaire ne tient pas, sauf dans des cas particuliers. Par conséquent seulement dans des cas particuliers cette distance permet une collection d'ensembles d'un espace métrique.
  • Le Distance de Hausdorff est la plus grande des deux valeurs, l'une étant la borne supérieure, pour un point allant sur un ensemble, de la borne inférieure, pour un deuxième point allant sur l'autre ensemble, de la distance entre les points, et l'autre valeur étant également défini mais avec les rôles des deux ensembles échangés. Cette distance fait l'ensemble des non-vides compacts sous-ensembles d'un espace métrique elle-même un espace métrique.

Le Module: Metric_space ( parler · · hist · · liens · sous-pages essais - résultats) est la borne inférieure des distances entre le point et celles de l'ensemble. Cela correspond à la distance, selon la définition mentionnée en premier lieu ci-dessus pour la distance entre les ensembles, de l'ensemble contenant seulement ce point à l'autre ensemble.

En termes de cela, la définition de la distance de Hausdorff peut être simplifiée: ce est la plus grande des deux valeurs, l'une étant la borne supérieure, pour un point allant sur un ensemble, de la distance entre le point et le jeu, et l'autre valeur étant également défini mais avec les rôles des deux ensembles échangés.

Distance en fonction du déplacement

Distance long d'un chemin par rapport au déplacement

Distance ne peut pas être négative . La distance est une quantité scalaire, contenant seulement grandeur, tandis que déplacement est un équivalent vecteur quantité contenant à la fois l'ampleur et direction.

La distance parcourue par un véhicule (souvent enregistré par un odomètre), personne, un animal, un objet, etc. doit être distinguée de la distance entre le point de départ jusqu'au point final, même si ce dernier est pris pour signifier par exemple la plus courte distance le long de la route, car un détour pourrait être faite, et le point final peut même coïncider avec le point de départ.

Autres "distances"

  • La distance de Mahalanobis est utilisée dans les statistiques .
  • La distance de Hamming est utilisé dans théorie du codage.
  • Levenshtein
  • Distance de Tchebychev
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