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Division (mathématiques)

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Renseignements généraux

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En mathématiques , en particulier dans élémentaire arithmétique , la division est une opération arithmétique qui est l'inverse de la multiplication .

Plus précisément, si c fois B est égal à un, écrit:

c \ times b = a \,

b ne est pas nul , alors divisé par un b est égal à c, écrit:

\ frac ab = c

Par exemple,

\ Frac 63 = 2

depuis

2 \ fois 3 = 6 \, .

Dans l'expression ci-dessus, un se appelle le dividende, le diviseur b et c du quotient.

La division par zéro (à savoir lorsque le diviseur est zéro) ne est pas définie.

Notation

Division est le plus souvent représenté en plaçant le dividende sur le diviseur avec une ligne horizontale, également appelé vinculum, entre eux. Par exemple, un divisé par b est écrit

\ Frac ab.

Cela peut être lu à haute voix "a divisé par b" ou "a sur b". Une façon d'exprimer la division sur une seule ligne est d'écrire le dividende, puis un slash, le diviseur, comme ceci:

a / b. \,

Ce est la façon habituelle de préciser la division informatique dans la plupart des langages de programmation car elle peut facilement être saisi comme une simple séquence de caractères.

Une variation typographique, qui est à mi-chemin entre ces deux formes, utilise un solidus (barre de fraction), mais élève le dividende, et abaisse le diviseur:

a / b.

Chacune de ces formes peuvent être utilisés pour afficher une fraction . Une fraction est une expression de division où les deux dividende et le diviseur sont des nombres entiers (bien que généralement appelé le numérateur et le dénominateur), et il n'y a pas d'incidence que la division doit être évaluée plus loin.

Une manière moins commune pour montrer la division est d'utiliser la Obelus (ou signe de division) de cette manière:

un \ div b.

Cette forme est rare sauf dans l'arithmétique élémentaire. Le Obelus est également utilisé seul pour représenter l'opération de division elle-même, comme par exemple sous forme d'étiquette sur une touche d'un calculateur .

Dans certains non Anglais cultures -speaking, "a divisé par b" est écrit a: b. Cependant, dans l'usage de l'anglais colon est limité à exprimer le concept connexe de ratios (puis «A est à B").

division Informatique

Une personne qui connaît le tables de multiplication peuvent diviser deux nombres entiers en utilisant crayon et du papier et la méthode de division longue. Si le dividende a une fraction de partie (exprimée en fraction décimale ), nous pouvons continuer l'algorithme passé ceux lieu autant que souhaité. Si le diviseur a une partie fractionnaire, nous pouvons reformuler le problème en déplaçant la décimale vers la droite dans les deux chiffres jusqu'à ce que le diviseur ne comporte aucune fraction.

Les ordinateurs modernes calculent division par des méthodes qui sont plus rapides que la division de long: voir Division (numérique).

Une personne peut calculute division avec un boulier en plaçant plusieurs reprises le dividende sur l'abaque, puis en soustrayant le diviseur le décalage de chaque chiffre dans le résultat, en comptant le nombre de divisions possibles à chaque décalage.

En arithmétique modulaire , certains numéros ont une inverse multiplicatif par rapport au module. Nous pouvons calculer la division par la multiplication dans un tel cas. Cette approche est utile dans les ordinateurs qui ne ont pas une instruction de division rapide.

algorithme de division

Le algorithme de division est un théorème de mathématiques qui exprime précisément le résultat du processus habituel de division de nombres entiers. En particulier, le théorème affirme que entiers appelé le quotient q et le reste r existe toujours et qu'ils sont déterminés uniquement par le dividende et le diviseur un d, avec d ≠ 0. Formellement, le théorème est déclaré ce qui suit: Il existe q et r des nombres entiers uniques de telle sorte que a = qd + r et 0 ≤ r <| d |, où | d | dénote la valeur absolue de d.

Division de nombres entiers

Division de nombres entiers ne est pas fermée. Mis à part la division par zéro est définie, le quotient ne sera pas un nombre entier à moins que le dividende est un multiple entier du diviseur; par exemple 26 ne peut être divisé par 10 pour donner un entier. Dans un tel cas, il ya quatre approches possibles.

  1. Dire que 26 ne peut être divisé par 10; division devient un fonction partielle.
  2. Donnez la réponse comme une fraction décimale ou un nombre mixte , de sorte \ Frac {26} {10} = 2,6 ou 26/10 = 2 \ frac 35 . Ce est l'approche généralement pris en mathématiques.
  3. Donnez la réponse comme un entier et un quotient reste, de sorte \ Frac {26} {10} = 2 reste six.
  4. Donnez le quotient entier comme la réponse, donc \ Frac {26} {10} = 2 . Cela est parfois appelé la division entière.

Il faut être prudent lorsque vous effectuez division de nombres entiers dans un Programme d'ordinateur. Certains langages de programmation tels que C , traiteront division de nombres entiers comme dans le cas 4 ci-dessus, de sorte que la réponse sera un entier. D'autres langues, telles que MATLAB, va d'abord convertir les entiers en nombres réels, et ensuite donner un nombre réel comme la réponse, comme dans le cas 2 ci-dessus.

Les noms et les symboles utilisés pour la division entière comprennent div, /, \, et%. Les définitions varient en ce qui concerne la division entière lorsque le quotient est négatif: l'arrondissement peuvent être vers zéro ou vers moins l'infini .

règles de divisibilité peuvent parfois être utilisés pour déterminer rapidement si un entier divise exactement dans l'autre.

Division des nombres rationnels

Le résultat de la division de deux nombres rationnels est un autre nombre rationnel lorsque le diviseur ne est pas 0. Nous pouvons définir la division de deux nombres rationnels p / q et r / s par

{P / q \ over R / S} = {p \ over q} \ fois {s \ plus r} = {ps \ over QR}.

Tous les quatre grandeurs sont des entiers, et p peuvent seulement être 0. Cette définition se assure que la division est l'opération inverse de la multiplication .

Division de nombres réels

Division de deux nombres réels résultats dans un autre nombre réel lorsque le diviseur ne est pas 0. Il est défini comme a / b = c si et seulement si A = cb et b ≠ 0.

Division de nombres complexes

Divisant deux nombres complexes résultats dans un autre nombre complexe lorsque le diviseur ne est pas 0, définie ainsi:

{P + iq \ over r + est} = {+ qs PR \ plus r ^ 2 + s ^ 2 +} i {QR - ps \ over r ^ 2 + s ^ 2}.

Tous les quatre quantités sont des nombres réels. R et S peuvent pas être tous deux 0.

Division de nombres complexes exprimées sous forme polaire est plus simple que la définition ci-dessus:

{Pe ^ {} iq \ over re ^ {est}} = {p \ over r} e ^ {i (q - s)}.

Encore une fois tous les quatre quantités sont des nombres réels. R peut ne pas être 0.

Division des polynômes

On peut définir l'opération de division pour les polynômes . Puis, comme dans le cas des nombres entiers, on a un reste. Voir Division d'un polynôme.

Division de matrices

On peut définir une opération de division pour les matrices. La manière habituelle de le faire est de définir A / B = AB -1,B -1 désigne la inverse de B, mais il est beaucoup plus fréquent d'écrire AB -1 (ou B -1 A) explicitement pour éviter toute confusion.

Gauche et la division droit

Parce que la multiplication de matrices ne est pas commutative , on peut également définir un division ou soi-disant anti-slash-division gauche comme A \ B = A -1 B. Pour que cela soit bien défini, B -1 besoin existait pas, cependant Une -1 n'a pas besoin d'exister. Pour éviter toute confusion, la division tel que défini par A / B = AB -1 est parfois appelé division de droite ou une barre oblique-division dans ce contexte.

Notez qu'avec la division gauche et à droite défini de cette façon, A / (BC) est en général pas le même que (A / B) / C et ne est (AB) \ C le même que A \ (B \ C), mais A / (BC) = (A / C) / B et (AB) \ C = B \ (A \ C).

division de Matrix et pseudo-

Pour éviter les problèmes -1 lorsque A et / ou B -1 ne existent pas, la division peut également être définie comme la multiplication avec pseudo-inverse, ce est-A / B = AB + et A \ B = A + B,A + et B + représentent le pseudo-inverse de A et B.

Division en algèbre abstraite

Dans algèbres abstraites telles que la matrice et algèbres algèbres de quaternions, fractions telles que {A \ b} plus sont généralement définis comme un \ cdot {1 \ over b} ou un \ cdot b ^ {- 1}b est présumé être un élément inversible (ie il existe un inverse multiplicatif b ^ {- 1} tel que bb ^ {- 1} = b ^ {- 1} b = 11 est l'identité multiplicative). Dans un domaine intégrante où ces éléments ne existent pas, la division peuvent encore être effectuées sur les équations de la forme ab = ac ou ba = ca par annulation, respectivement à gauche ou à droite. Plus généralement "division" dans le sens de «annulation» qui peut être fait dans ne importe quel sonner avec les propriétés d'annulation susmentionnés. Si un tel anneau est fini, puis par l'application de la classer principe, chaque élément non nul de l'anneau est inversible, donc division par tout élément non nul est possible dans un tel anneau. Pour en savoir quand algèbres (au sens technique) ont une opération de division, reportez-vous à la page sur algèbres de division. En particulier Périodicité de Bott peut être utilisé pour montrer que toute réelle normé algèbre de division doit être isomorphe soit au nombres réels R, le nombre complexe C, le quaternions H, ou le octonions O.

Division et le calcul

Le dérivé du quotient de deux fonctions est donnée par la règle quotient:

{\ Left (\ frac fg \ right)} '= \ frac {f'g - fg'} {g} ^ 2.

Il ne existe aucune méthode générale pour intégrer le quotient de deux fonctions.

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