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Algèbre élémentaire

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Algèbre élémentaire est une forme fondamentale et relativement de base de l'algèbre enseignée aux étudiants qui sont présumés avoir peu ou pas de connaissance formelle de mathématiques au-delà de l'arithmétique . Alors que seulement en arithmétique numéros et leurs opérations arithmétiques (tels que +, -, ×, ÷) se produisent, en algèbre on utilise aussi des symboles (tels que x et y, ou a et b) pour désigner les numéros. Ils sont appelés Variables. Ce est utile parce que:

  • Il permet la généralisation des arithmétiques équations (et inégalités ) être énoncés comme des lois (comme a + b = b + a pour tout a et b), et est donc la première étape pour l'étude systématique des propriétés du système des nombres réels .
  • Il permet de faire référence à des numéros qui ne sont pas connus. Dans le contexte d'un problème, une variable peut représenter une certaine valeur est incertaine, mais peut être résolu grâce à la formulation et la manipulation d'équations.
  • Il permet l'exploration des relations mathématiques entre les quantités (tels que "si vous vendez x billets, alors votre bénéfice sera 3x - 10 dollars »).

Ces trois sont les principaux axes de l'algèbre élémentaire, qui doit être distinguée de l'algèbre abstraite , un sujet plus avancé généralement enseignée aux étudiants de niveau collégial.

En algèbre élémentaire, un " . expression «peut contenir des nombres, des variables et des opérations arithmétiques Ceux-ci sont généralement écrites (par convention) avec des termes« plus grande puissance »sur la gauche (voir polynomiale ); quelques exemples:

x + 3 \,
y ^ {2} + 2x - 3 \,
z ^ {7} + a (b + x ^ {3}) + 42 / y - \ pi \,.

En algèbre plus avancé, une expression peut également inclure fonctions élémentaires.

Un « équation »est l'affirmation que deux expressions sont égales. Quelques équations sont vraies pour toutes les valeurs des variables impliquées (comme a + b = b + a ); ces équations sont appelés " "." identités équations conditionnelles »sont vraies que pour certaines valeurs des variables concernées: x ^ {2} - 1 = 4. Les valeurs des variables qui rendent l'équation vraie sont appelés les «solutions» de l'équation.

Lois de l'algèbre élémentaire

a + b = b + a. \
a - b = a + (-b). \
Exemple: si 5 + x = 3 puis x = -2.
une fois \ b = b \ fois par \
  • Division est l'inverse de la multiplication.
  • Pour fracture est le même que pour multiplier par un réciproque:
{A \ over b} = a \ gauche ({1 \ over b} \ right).
  • Exponentiation ne est pas une opération commutative.
    • Par conséquent exponentiation a une paire de opérations inverses: logarithme et exponentielle avec des exposants fractionnaires (par exemple des racines carrées ).
      • Exemples: si 3 ^ x = 10 puis x = \ log_3 10. Si x ^ {2} = 10 puis x = 10 ^ {1/2}.
    • Les racines carrées de nombres négatifs ne existent pas dans le système des nombres réels. (Voir: système de nombre complexe )
  • Associatif propriété de plus: (A + b) + c = a + (b + c).
  • Associativité de la multiplication: (Ab) c = a (bc).
  • Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition: c (a + b) = ca + cb.
  • Distributivité de la exponentiation à l'égard de la multiplication: (A, b) ^ c = a ^ c b ^ c.
  • Comment combiner les exposants: un b ^ a ^ c = a ^ {b + c}.
  • Puissance à une propriété de puissance d'exposants: (A ^ b) ^ c = a ^ {bc}.

Lois de l'égalité

  • Si a = b et b = c , Puis a = c ( transitivité de l'égalité).
  • a = a ( réflexivité de l'égalité).
  • Si a = b puis b = a ( la symétrie de l'égalité).

Autres lois

  • Si a = b et c = d puis a + c = b + d.
    • Si a = b puis a + c = b + c pour tout c (propriété de plus d'égalité).
  • Si a = b et c = d puis un c = bd.
    • Si a = b puis ac = bc pour tout c (propriété de multiplication de l'égalité).
  • Si deux symboles sont égaux, alors on peut être substitué à l'autre à volonté (principe de substitution).
  • Si a> b et b> c puis a> c (Transitivité de l'inégalité).
  • Si a> b puis a + c> b + c pour ne importe quel c.
  • Si a> b et c> 0 puis ac> bc.
  • Si a> b et c <0 puis ac <bc.

Exemples

Équations linéaires à une variable

Les équations sont plus simples à résoudre des équations linéaires qui ont une seule variable. Ils ne contiennent que des nombres constants et une seule variable sans exposant. Par exemple:

2x + 4 = 12. \,

La technique centrale est d'ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux côtés de l'équation par le même nombre afin d'isoler la variable d'un côté de l'équation. Une fois que la variable est isolée, de l'autre côté de l'équation est la valeur de la variable. Par exemple, en soustrayant 4 des deux côtés de l'équation ci-dessus:

2x + 4-4 = 12-4 \,

ce qui simplifie à:

2x = 8. \,

Divisant les deux côtés par deux:

\ Frac {2x} {2} = \ frac {8} {2} \,

simplifie à la solution:

4. x = \,

Le cas général,

ax + b = c \,

suit le même format pour la solution:

x = \ frac {c-b} {a}

Équations du second degré

Équations du second degré peuvent être exprimées sous la forme ax 2 + bx + c = 0, où a est de zéro (si ce était zéro, l'équation ne serait pas mais quadratique linéaire ). Pour cette raison une équation quadratique doit contenir le terme hache 2, qui est connu comme le terme quadratique. Ainsi a ≠ 0, et ainsi nous pouvons diviser par un et réorganiser l'équation dans le formulaire standard

x ^ 2 + px = q \,

p = b / a et q = - c / a. Résoudre ce, par un procédé connu sous le nom complétant le carré, conduit à la formule quadratique .

Équations du second degré peuvent également être résolus en utilisant factorisation (le processus inverse de ce qui est l'expansion, mais pour deux termes linéaires sont parfois notés dorure). A titre d'exemple de factorisation:

x ^ {2} + 3x - 10 = 0. \,

Qui est la même chose que

(X + 5) (x - 2) = 0. \,

Il résulte de ce propriété zéro produit qui soit x = 2 ou x = -5 sont les solutions, car précisément l'un des éléments doit être égal à zéro . Tous les équations du second degré auront deux solutions dans le nombre complexe système, mais ne doivent pas nécessairement avoir un dans le nombre réel système. Par exemple,

x ^ {2} + 1 = 0 \,

n'a pas de solution de nombre réel puisque aucun nombre réel carré est égal à -1. Parfois, une équation quadratique a une racine de multiplicité 2, tels que:

(X + 1) ^ {2} = 0. \,

Pour cette équation, -1 est une racine de multiplicité 2.

Système d'équations linéaires

Dans le cas d'un système d'équations linéaires , comme, par exemple, deux équations à deux variables, il est souvent possible de trouver les solutions de ces deux variables qui satisfont les deux équations.

Première méthode de trouver une solution

Un exemple d'un système d'équations linéaires peut être le suivant:

\ begin {} cas 4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1. \ end {cas} \,

Multipliant les termes de la deuxième équation par 2:

4x + 2y = 14 \,
4x - 2y = 2. \,

En ajoutant les deux équations, pour obtenir:

8x = 16 \,

ce qui simplifie à

2. x = \,

Puisque le fait que x = 2 est connue, il est alors possible d'en déduire que y = 3 par l'une des deux équations originales (en utilisant à la place de x 2) La solution complète à ce problème consiste alors

\ Begin {} cas x = 2 \\ y = 3. \ end {cas} \,

Notez que ce ne est pas la seule façon de résoudre ce système spécifique; y auraient pu être résolus avant x.

Deuxième méthode de trouver une solution

Une autre façon de résoudre le même système d'équations linéaires est effectuée par substitution.

\ begin {} cas 4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1. \ end {cas} \,

Un équivalent de y peut être déduite à l'aide de l'une des deux équations. Utilisation de la deuxième équation:

2x - y = 1 \,

En soustrayant 2x à partir de chaque côté de l'équation:

2x - 2x - y = 1 - 2x \,
- Y = 1 - 2x \,

et en multipliant par -1:

y = 2x - 1. \,

En utilisant cette valeur de y dans la première équation dans le système d'origine:

4x + 2 (2x - 1) = 14 \,
4x + 4x - 2 = 14 \,
8x - 2 = 14 \,

Ajout de deux de chaque côté de l'équation:

8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,
8x = 16 \,

ce qui simplifie à

x = 2 \,

En utilisant cette valeur dans l'une des équations, la même solution que dans la méthode précédente est obtenue.

\ Begin {} cas x = 2 \\ y = 3. \ end {cas} \,

Notez que ce ne est pas la seule façon de résoudre ce système spécifique; dans ce cas aussi, y aurait pu être résolus avant x.

D'autres types de systèmes d'équations linéaires

Systèmes insolubles

Dans l'exemple ci-dessus, il est possible de trouver une solution. Toutefois, il existe également des systèmes d'équations qui ne ont pas de solution. Un exemple évident serait:

\ Begin {} cas x + y = 1 \\ 0x + 0y = 2 \ end {} \ cas,

La deuxième équation dans le système n'a pas de solution possible. Par conséquent, ce système ne peut pas être résolu. Cependant, tous les systèmes incompatibles sont reconnus à première vue. A titre d'exemple, le système est étudiée ci-dessous:

\ Begin {} cas 4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -4 \ end {cas} \,

En essayant de résoudre ce (par exemple, en utilisant le procédé de substitution ci-dessus), la seconde équation, après addition de - 2 x sur les deux côtés et en multipliant par -1, a pour résultat:

y = -2x + 4 \,

Et en utilisant cette valeur de y dans la première équation:

4x + 2 (-2x + 4) = 12 \,
4x - 4x + 8 = 12 \,
8 = 12 \,

Aucune variable sont à gauche, et l'égalité ne est pas vrai. Cela signifie que la première équation ne peut pas fournir une solution pour la valeur de y obtenu dans la deuxième équation.

Systèmes indéterminées

Il existe également des systèmes qui ont plusieurs solutions ou infinis, par opposition à un système avec une solution unique (sens, deux valeurs uniques pour x et y) Par exemple:

\ Begin {} cas 4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -6 \ end {cas} \,

Isolement de y dans la deuxième équation suivante:

y = -2x + 6 \,

Et l'utilisation de cette valeur dans la première équation dans le système:

4x + 2 (-2x + 6) = 12 \,
4x - 4x + 12 = 12 \,
12 = 12 \,

L'égalité est vrai, mais il ne fournit pas de valeur pour x. En effet, on peut facilement vérifier (en remplissant simplement dans certaines valeurs de x) que pour tout x il existe une solution tant que y = -2 x + 6. Il ya une infinité de solutions pour ce système.

Au-Systems sousdéterminés

Systèmes avec plus de variables que le nombre d'équations linéaires ne ont pas de solution unique. Un exemple d'un tel système est

\ begin {} cas x + 2y = 10 \\ y - z = 2 \ end {} cas

Un tel système est appelé sous-déterminé; en essayant de trouver une solution, une ou plusieurs variables ne peuvent être exprimées par rapport aux autres variables, mais ne peuvent être déterminées numériquement. Par ailleurs, un système avec un plus grand nombre d'équations que de variables, dont certaines équations nécessairement des sommes ou des multiples d'autres, est appelé surdéterminé.

Relation entre Solvabilité et Multiplicité

Compte tenu de tout système d'équations linéaires, il ya une relation entre la multiplicité et la solvabilité.
Si une équation est une multiple de l'autre (ou, plus généralement, un somme des multiples des autres équations), le système d'équations linéaires est indéterminée, ce qui signifie que le système a une infinité de solutions. Exemple:

\ begin {} cas x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \ end {} cas

Lorsque la multiplicité ne est que partielle (ce qui signifie que, par exemple, seuls les côtés de gauche de l'équation sont des multiples, tandis que les côtés de droite ne sont pas ou pas par le même nombre), puis le système est insoluble. Par exemple, dans

\ begin {} cas x + y = 2 \\ 4x + 4y = 1 \ end {} cas

les secondes rendements équation que x + y = 1/4 qui est en contradiction avec la première équation. Un tel système est incompatible aussi appelé dans le langage de l'algèbre linéaire . Lorsque vous essayez de résoudre un système d'équations linéaires, il est généralement une bonne idée de vérifier si une équation est un multiple de l'autre. Si tel est précisément l'affirmative, la solution ne peut pas être déterminée de façon unique. Si ce ne est que partiellement, ne existe pas la solution.
Ceci, cependant, ne signifie pas que les équations doivent être des multiples les uns des autres pour avoir une solution, comme indiqué dans les sections ci-dessus; en d'autres termes: la multiplicité dans un système d'équations linéaires est pas un condition nécessaire pour la solvabilité.

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